Lý thuyết chuỗi fourier và ứng dụng

Tuy đóng vaitrò quan trọng nhưng chuỗi Fourier chỉ được giới thiệu như một mảng nhỏ nằmtrong chuỗi hàm mà chưa được giảng dạy sâu vào những tính chất quan trọng vàứng dụng rộng rãi của n

Lời Nói Đầu

Trong toán học và trong vật lý chúng ta thường hay bắt gặp những phươngtrình dạng

y = sin(ωx + ϕ)hoặc nghiệm của một số phương trình vi phân sẽ có dạng

y = c1sin(x) + c2cos(x), (c1, c2) ∈ (R)2.Rất nhiều những dạng như vậy, vì các hàm sin, cos có những tính chất đặcbiệt như liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2π, v.v Nên việc tạo nên một chuỗi hàm từnhững hàm sin, cos là một công cụ mạnh để nghiên cứu về chuỗi hàm và có ứngdụng rất nhiều trong thực tế

Vào năm 1811, Joseph Fourier1.1 đã công bố công trình của mình về chuỗiFourier và đặc biệt sử dụng nó để giải quyết phương trình truyền nhiệt, chuỗiFourier được ông nhắc đến trong quyển "Théorie analytique de la chaleur" công

bố vào năm 1822 Theo quan điểm của toán học hiện đại, các kết quả của chuỗiFourier có một số phần chưa hoàn chỉnh vào đầu thế kỷ XIX Vì thế Dirichlet

và Riemann đã diễn đạt lại công trình của Fourier một cách chính xác và hoànchỉnh hơn Tuy vậy, Fourier đã là người đầu tiên phát hiện và xây dựng lý thuyếtcho một chuỗi hàm, mà nó đã được đặt theo tên của ông "Chuỗi Fourier " ChuỗiFourier có dạng

kỹ thuật ngày nay những chuyên gia về xử lý tín hiệu số (lĩnh vực âm thanh vàhình ảnh) là những người hiểu hơn ai hết vai trò quan trọng của chuỗi Fourier

Có thể nói rằng, hầu hết các thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh và âm thanh

mà chúng ta sử dụng hôm nay đều do con "chip" làm nhiệm vụ chuyển đổi hệ sốFourier thành hàm số (tín hiệu số) và đôi khi nó cũng kiêm luôn chức năng khửnhiễu hay hiệu chỉnh tín hiệu dựa trên các phép biến đổi Fourier Tuy đóng vaitrò quan trọng nhưng chuỗi Fourier chỉ được giới thiệu như một mảng nhỏ nằmtrong chuỗi hàm mà chưa được giảng dạy sâu vào những tính chất quan trọng vàứng dụng rộng rãi của nó do thời gian của chương trình giảng dạy Để làm rõ hơn

về chuỗi Fourier tôi đã nghiên cứu đề tài "Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng"

1.1 Jean Baptiste Joseph Fourier (21 tháng 3 măn 1768 - 16 tháng 5 năm 1830) là một nhà toán học và nhà vật lý người Pháp.

Tuy đã rất nỗ lực và cố gắng nhưng vẫn còn nhiều thiếu sót và hạn chế nêntôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn đọc

An Giang, ngày 01 tháng 07 năm 2012

Người nghiên cứuDương Giao Kỵ

Lời Cảm Ơn

Trước hết tôi xin chân thành gửi lởi cảm ơn đến Ban giám hiệu và khoa Sưphạm của trường Đại học An Giang đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện bài nghiêncứu này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ThS Võ Thành Tài đã hướng dẫn và giúp đỡtận tình trong suốt quá trình nghiên cứu

Tôi cũng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ThS Phạm Thị Thu Hường và anh NguyễnQuốc Hưng đã đóng góp ý kiến cho bài nghiên cứu được hoàn chỉnh hơn

Và cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp DH10A, nơi tôi đã họcsuốt ba năm đại học và ủng hộ tin thần cho tôi thực hiện bài nghiên cứu này

An Giang, ngày 01 tháng 07 năm 2012

Người nghiên cứuDương Giao Kỵ

Phần Tóm Tắt

Đề tài "Lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng" đi từ việc xây dựng lại địnhnghĩa chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên [−π; π], sau đó tiếp theo là nghiêncứu sự hội tụ, những tính chất quan trọng và những ứng dụng của chuỗi Fouriervào các lĩnh vực khác nhau

Sau phần mở đầu là phần nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày cách xây dựng chuỗi Fourier, cách xác định chuỗiFourier của hàm f khả tích trên [−π; π] và nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier.Chương 2: Nghiên cứu sâu vào những tính chất của chuỗi Fourier, chuỗiFourier của tích hai hàm f, g có chuỗi Fourier cho trước, định lý Parseval’s,xấp xỉ hàm f bằng chuỗi lượng giác hay là bằng đa thức và phần quan trọng nữa

là nghiên cứu chuỗi Fourier của hàm f0 dựa vào chuỗi Fourier của hàm f

Chương 3: Là phần ứng dụng của chuỗi vào việc tính giá trị của một số chuỗi

số, tính tích phân, tìm tổng chuỗi hàm, giải quyết một số bài toán truyền nhiệt,

bộ lọc điện, trong xử lý tín hiệu và âm nhạc

Mục lục

I Chuỗi Fourier 11

1 Chuỗi lượng giác - Đa thức lượng giác 11

2 Định nghĩa chuỗi Fourier 12

2.1 Cơ sở trực chuẩn của lớp hàm khả tích trên đoạn [−π; π] 12

2.2 Định nghĩa chuỗi Fourier 15

2.3 Chuỗi Fourier với hệ số phức 18

3 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b] 20

3.1 Chuỗi Fourier của hàm khả tích f trên đoạn [−l; l] 20

3.2 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên đoạn [a; b] 22

4 Thác triển thành hàm tuần hoàn 23

4.1 Chuỗi Fourier của hàm số chẵn, hàm số lẻ và khả tích trên [−π; π] 23

4.2 Thác triển chẵn, lẻ hàm số f khả tích trên [0; π] 25

5 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 27

II Tính chất của chuỗi Fourier 38

1 Phép toán trên chuỗi Fourier - Định lý Parseval’s 38

1.1 Tổng và hiệu chuỗi Fourier 41

1.2 Tích hai chuỗi số 42

1.3 Xấp xỉ bởi đa thức 46

2 Đạo hàm - Tích phân của chuỗi Fourier 47

III Phần ứng dụng 63

1 Xấp xỉ bởi đa thức lượng giác 63

2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 69

2.1 Tìm tổng của chuỗi số 69

2.2 Xét sự hội tụ của chuỗi hàm 73

2.3 Tìm đạo hàm của chuỗi Fourier 75

MỤC LỤC 8

2.4 Tính tích phân thông qua chuỗi 77

2.5 Tìm tổng của chuỗi hàm 80

3 Cực trị hình học 85

4 Phương trình truyền nhiệt 88

4.1 Nhiệt lượng của thanh ngang với hai đầu được giữ ở không độ 89

4.2 Nhiệt lượng của thanh trụ với hai đầu được giữ nhiệt độ hằng 92

4.3 Nhiệt lượng của thanh trụ với hai đầu có nhiệt độ thay đổi theo thời gian 94

5 Bộ lọc điện 95

6 Ứng dụng trong tín hiệu 97

7 Chuỗi Fourier với âm nhạc 100

IV KẾT LUẬN 103

1 Kết quả đạt được 103

2 Hướng mở rộng 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

MỤC LỤC 10

Mở Đầu

1 Mục tiêu và nội dụng nghiên cứu

- Mục tiêu nghiên cứu: Trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier, những tínhchất quan trọng của chuỗi Fourier và dùng những tính chất đó giải quyết nhữngvấn đề thực tế như là trong lý thuyết chuỗi, hình học, vật lý, tín hiệu, v.v Hơnthế nữa nó còn là tài liệu hữu ích cho sinh viên ngành Toán và những ngành cóliên quan

- Nội dung nghiên cứu: Trình bày định nghĩa của chuỗi Fourier, sự hội tụ củachuỗi Fourier và một số tính chất khác của chuỗi Fourier Bên cạnh đó, còn sửdụng những tính chất đã nghiên cứu về chuỗi Fourier của một hàm f liên tụctrên [−π; π], tuần hoàn chu kỳ 2π vào việc xấp xỉ nó bởi một chuỗi lượng giáchoặc một đa thức với hệ số thực, tìm tổng của một số chuỗi đặc biệt, tìm tổngcủa chuỗi hàm, giải quyết một số bài toán về sự truyền nhiệt, bộ lọc, xử lý tínhiệu

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Chuỗi hàm

3 Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu

- Cơ sở lý luận: Lý thuyết không gian vectơ, lý thuyết về chuỗi hàm, lý thuyếttích phân, lý thuyết của phương trình truyền nhiệt, hình học vi phân, tín hiệu

- Phương pháp nghiên cứu: Vận dụng lý thuyết của chuỗi hàm xây dựng nên

lý thuyết về chuỗi Fourier, từ đó vận dụng lý thuyết chuỗi Fourier và của các lĩnhvực khác để giải quyết những vấn đề thực tế của lĩnh vực đó

Chương I

Chuỗi Fourier

1 Chuỗi lượng giác - Đa thức lượng giác.

Các hàm số lượng giác như cos, sin là những hàm lượng giác thường gặp trongtoán học và có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý, y học, v.v Ví dụ: phươngtrình dao động điều hòa của con lắc đơn

y = A cos(ωx + ϕ)với ω là tần số góc đơn vị rad/s

Mặt khác ta sử dụng công thức khai triển sau

A cos(ωx + ϕ) = A cos(ωx) cos(ϕ) − A sin(ωx) sin(ϕ) = a cos(ωx) + b sin(ωx)

ở đây

a = A cos(ϕ), b = −A sin(ϕ)

Từ chỗ

ω = 2πTnếu chu kỳ

2 Định nghĩa chuỗi Fourier 12

Từ đó ta có được một dạng mới của phương trình dao động của con lắc đơn

Vì cos, sin cũng là các hàm số nên từ đó ta xây dựng một chuỗi hàm các hàmlượng giác thì sao ? Vì có nhiều tính chất quan trọng như: liên tục, tuần hoàn,giới nội, v.v

Định nghĩa 1.1 Cho dãy các hàm số sau

1, cos x, sin x, cos (2x) , sin (2x) , , cos (nx) , sin (nx) ,

2 Định nghĩa chuỗi Fourier.

Trong mục này, ta sẽ xây dựng một định nghĩa chân chính cho một chuỗi hàm

mà ta gọi là chuỗi Fourier Trước hết ta gọi ℘ là tập hợp những hàm số khả tíchRiemann trên [−π; π] (sau này ta gọi tắt là khả tích trên [−π; π])

Định lý 1.1 ℘ là một không gian vectơ với (x, y) ∈ (℘)2, α ∈ R với

và phép toán này là một tích vô hướng trên ℘

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện Với (f, g, h) ∈ (℘)3, λ ∈ R

√

2, cos x, sin x, cos (2x) , sin (2x) , , cos (nx) , sin (nx) ,



là cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ ℘

Chứng minh Rõ ràng các hàm số đã cho đều thuộc ℘ và lập thành hệ độc lậptuyến tính Ta lại có

= 1π

2 Định nghĩa chuỗi Fourier 14

cos(mx) cos(nx) = cos ((m + n)x) + cos ((m − n)x)

√

2, cos (x) , sin (x) , , cos (nx) , sin (nx) ,



là một cơ sở trực chuẩn của ℘ với số chiều vô hạn

Như vậy với mọi f ∈ ℘ thì

Trong không gian vectơ ℘ thì nếu f được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tínhcủa một cơ sở nào đó của ℘ thì đó là biểu diễn duy nhất Ta sẽ đồng nhất mỗi

f ∈ ℘ với bộ số (a0; a1; b1; a2; b2; ; an; bn; ) ta tạm sử dụng ký hiệu này nếukhông có gì nhầm lẫn f ≡ (a0; a1; b1; a2; b2; ; an; bn; )

2 Định nghĩa chuỗi Fourier 16

Với cách xác định hệ số như sau

an= 1π

[ancos (nx) + bnsin (nx)] (I.1)

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f trên [−π; π] Và nếu f được biểu diễndưới dạng tổ hợp tuyến tính thì đó là duy nhất nên ta có được chuỗi Fourier của

hàm f ∈ ℘ là duy nhất Sau này, để cho tiện việc nghiên cứu ta có thể viết khaitriển Fourier của hàm f trên [−π; π]

Vậy ta được điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2.1 Tìm chuỗi Fourier của hàm f với

f (x) = 2x + 1, x ∈ [−π; π]

Giải

Rõ ràng f là hàm liên tục trên [−π; π], vậy f đủ điều kiện khai triển thànhchuỗi Fourier trên [−π; π], hay chuỗi Fourier của f tồn tại mà sau này nếu không

1.2 Được giới thiệu trong quyển Fourier Series của Georgi P Tolstov Nó cho chúng ta thấy

sự khác biệt của chuỗi Fourier của hàm khả tích và hàm có đạo hàm khả tích (Bất đẳng thức Parseval’s).

2 Định nghĩa chuỗi Fourier 18

có gì thì việc nêu lên như thế ở những bài về sau là không cần thiết Áp dụngcông thức ta có

a0 = 1π

π

−π

− 1π

π

−π

+ 1π

Với f ∈ ℘, giả sử f có chuỗi Fourier trên [−π; π] là (I.1) Sử dụng công thức Ơ-le

 x2+ x

in e

inx



π

−π

− 12π

 x2+ x

in e

inx− 2x + 1(in)2 e

inx+ 2(in)3e

inx



π

−π

= 12π

= (−1)n 2

n2 − in

.Tương tự như vậy

cn = (−1)n 2

n2 + in



Từ đó suy ra chuỗi Fourier của f trên [−π; π] với hệ số phức là

3 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b] 20

3 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b].

Bây giờ, ta nghĩ đến việc khai triển hàm f khả tích trên [−l; l], l ∈ R∗+ thànhchuỗi Fourier mà không phải là đoạn [−π; π] Nhưng từ cách xây dựng ta chỉ cóthể khai triển hàm f trên [−π; π], bằng một song ánh ta co dãn [−l; l] thành[−π; π] Xét song ánh sau:

u : [−l; l] → [−π; π]

x 7→ u (x) = πx

l .Giả sử f là hàm khả tích trên [−l; l], thì

Lúc này ta có thể khai triển hàm g thành chuỗi Fourier trên [−π; π]

Xác định an, bn, n ≥ 1

an = 1π

bn = 1l

[ancos (nu) + bnsin (nu)], −π ≤ u ≤ π

Bằng phép đổi về biến x bằng phép đổi biến u = πx

l ta được

f (x) = g

πxl

+ bnsin

nπxl

i, −l ≤ x ≤ l

Ví dụ 3.1.1 Xác định chuỗi Fourier của hàm f trên [−3; 3]

f (x) = |x|, −3 ≤ x ≤ 3

Giải

Áp dụng công thức ta có

a0 = 13

dx

nπx3



3 Chuỗi Fourier của hàm f khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b] 22

Bây giờ, ta lại quan tâm đến lớp hàm khả tích trên một đoạn bất kỳ [a; b], chúngvốn không đối xứng như vậy nhờ một phép tịnh tiến biến đoạn [a; b] thành đoạnđối xứng Xét song ánh

t : [a; b] → a − b

2 ;

b − a2



an= 2

b − a

b − a2Z

a − b2

a − b2



Ta được

với a ≤ x ≤ b

4 Thác triển thành hàm tuần hoàn.

Ta trở lại với các hàm f ∈ ℘ vì những tính chất của chuỗi Fourier ở trên [−π; π]

ta có thể sử dụng cho đoạn [a; b] Không cần phải mang tính tổng quát ta chỉnghiên cứu sâu ở lớp hàm ℘

Giả sử ta có f ∈ ℘ Ta sẽ tạo ra một hàm số f∗ như sau

 f∗(x) = f (x) , x ∈ [−π; π]

f∗(x) = f∗(2π + x) , x ∈ R .

Mô tả bằng hình học: Ta lấy phần đồ thị trên đoạn [−π; π], tiếp đó ta tịnhtiến phần đồ thì này theo hai vectơ ~v1 = (2π; 0) và ~v2 = (−2π; 0) Thực hiệntiếp việc tịnh tiến phần đồ thị vừa mới tạo ra theo hai vectơ tương ứng đã tạo rachúng, cứ như vậy tức là ta đã được f∗ là hàm tuần hoàn và khả tích trên [−π; π]hơn nữa nó cũng khả tích trên R Gọi ℘∗ là lớp hàm khả tích trên [−π; π], tuầnhoàn với chu kỳ 2π được sinh ra bởi ℘ Hiển nhiên ℘∗ cũng là một không gianvectơ

4 Thác triển thành hàm tuần hoàn 24

là hàm số chẵn trên [−π; π]

Nếu f là hàm chẵn và khả tích trên [−π; π] thì hệ số Fourier bn= 0, ∀n ≥ 1

Vì

bn = 1π

π

Z

−π

f (x) sin (nx) dx

mà hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên bn= 0, ∀n ≥ 1

b/ Hàm số f được gọi là hàm số lẻ trên [−π; π] khi và chỉ khi

π

Z

−π

f (x) cos (nx) dx

mà hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên an= 0, ∀n ≥ 0

Ví dụ 4.1.3 Tìm chuỗi Fourier của hàm số

f (x) = x2+ x, 0 < x ≤ π

x2− x, −π ≤ x ≤ 0 .Giải Rõ ràng thì f là hàm chẵn và khả tích trên [−π; π]

Vậy chuỗi Fourier của f trên [−π; π] là

 π2

3 +

π2

+

∞

X

n=1

2π

(−1)n2π + 1

n2 − 1

n2

cos (nx)

Ta thu được hàm số f∗ ∈ ℘∗ , đặc biệt f∗ là hàm chẵn trên [−π; π] Cách làmnhư vậy gọi là thác triển chẵn hàm f trên [0; π]

Ta thu được hàm số f∗ ∈ ℘∗ , đặc biệt f∗ là hàm lẻ trên [−π; π] Cách làmnhư vậy gọi là thác triển lẻ hàm f trên [0; π]

Ví dụ 4.2.1 Ta xét lại hàm f

f (x) = x2+ x, x ∈ [0; π]

1/ Tìm chuỗi Fourier của f∗ trên [−π; π] khi thác triển chẵn hàm f

Nếu như ta xem đây là thác triển f thành hàm chẵn f∗ trên [−π; π] thỏa mãn

f∗(x) = f (x), ∀x ∈ [0; π]

4 Thác triển thành hàm tuần hoàn 26

và

f∗(x) = f∗(−x), ∀x ∈ [−π; π],

f∗ tuần hoàn chu kỳ 2π Vậy f∗ thỏa mãn điều kiện khai triển thành chuỗi

Fourier trên [−π; π] Như cách xây dựng hàm f∗ là hàm chẵn trên [−π; π] Ta

 ... chuỗi Fourier 32

u



du =

Đây điều cần chứng minh Vây ta chứng minh a/ Áp dụng tượng tựcho b/ với miền xét ϕ [−π; 0) Kết hợp hai kết a/ b/ ta chứngminh xong định lý. ..

Áp dụng định lý 5.2 suy điều phải chứng minh

Hệ 5.2 Nếu f liên tục, đạo hàm khả tích [−π; π] tuần hồn vớichu kỳ 2π chuỗi Fourier f hội tụ đến R

Chứng minh Ta dễ dàng suy từ định lý. .. data-page="38">

Chương II

Tính chất chuỗi Fourier.

Giả sử f ∈ ℘ có chuỗi Fourier (I.1) Nếu liên tục, trơn khúc vàtuần hồn chu kỳ 2π chuỗi Fourier f hội tụ đến thân nên ta

[ancos