LY DO CHON DE TAI Trong chương trình toán của Lào, lý thuyết tích phân được học từ lớp 10, II, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân đóng một vai trò khá quan trọng trong việc học và g
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO
DAI HOC DA NANG
XAYAPHET KEODAVANH
LY THUYET TICH PHAN
VA UNG DUNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40
TOM TAT LUAN VAN THAC Si KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2012
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI
Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 2: PGS TSKH Trần Quốc Chiến
Luận văn sẽ được báo vệ trước Hội đông châm Luận văn tôt nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày tháng
Có thể tìm hiểu tại:
- Trung tam Thông tin —- Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Trang 2MO DAU
I LY DO CHON DE TAI
Trong chương trình toán của Lào, lý thuyết tích phân được học từ
lớp 10, II, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân đóng một vai trò
khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán Trong
chương trình toán ở bậc trung học, phần kiến thức về tích phân chiếm
một tỷ lệ lớn Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát
hiện ra rằng thông thường các học sinh đều cảm thấy lúng túng khi
giải các bài toán về tích phân, chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một
phân lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng
dạy ở trường phổ thông Đó là lý do dé tôi chọn để tài “Lý thuyết tích
phân và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình
II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dựa vào sự ứng dụng sau này của để tài nên chúng tôi sử dụng
các phương pháp giải quyết vấn để thiên về cách chứng minh của
toán sơ cấp Mặc dù thế trong một vài tỉnh huống đặc biệt chúng tôi
cũng mạnh dạn mở rộng van dé theo hướng toán học hiện đại
Phương pháp chủ yếu được sử dụng trong luận văn này là kết hợp các
kết quả đã có trong các tài liệu chuyên khảo có liên quan đến đề tài
và sự liên hệ đến các ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ
thông
HI ĐÓI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết tích
phân và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậc phổ thong trung
học và có thể dùng để giảng dạy cho các sinh viên đại học Ngoài ra
chứng tôi có xét một vài trường hợp mở rộng để chứng tỏ lĩnh vực này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng
IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm
vi về lý thuyết tích phân theo độ đo, khuyếch độ đo và các ứng dụng của tích phân trong vật lý Sau đó chúng tôi có đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc ứng dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học phổ thông
V Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIÊN CỦA ĐÈ TÀI
5.1 Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về tiếp cận lý thuyết tích phân và sử dụng tích phân vào việc giải một số bài toán thực tế 5.2 Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên ở các trường đại học, cao đăng
và học sinh ở trường trung học phố thông, các bạn yêu toán
VI CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:
e Mở đầu
e Chuong l1: Độ đo dương
e Chương 2: Lý thuyết tích phân
® Chương 3: Các ứng dụng của tích phân
e Két luan
Trang 3Chuong 1- DO DO DUONG 1.1 TAP HOP
Định lý 1.1.1 [2] Nếu |A|=n thì | #(A)|=2"
Định lý 1.1.2 [2] Quan hệ bao hàm cĩ các tính chất sau đây
- Phản xạ: Với mọi tập A thì A C A
- Phan doi xung: Voi moi tap A,B sao cho ACB va Bc Athi A=B
- Bắc cầu: Với mọi tập ABCsao cho AC B và BC Cthì ACC
1.2 CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP
Cho các tập A va B Ta định nghĩa các phép tốn sau:
e phép hiệu: Hiệu của A và Ư, ký hiệu A\B la tap
A\B ={x|xe Ava xé B }
e Phần bù: Cho tập X và AC X Phần bù của A (trong X )
là tập ký hiệu bởi Cy ( A) và được xác định bởi: Œ.(Al=X\A
e Phép hợp: Hợp của A và Ư, ký hiệu AtJð là tập được
xác định bởi: AC) B =lalxe A hoặc x€ B}
e Phép giao: Giao cua A và Ư, ký hiệu Ar¬/ là tập được
xác định bởi: À¬ B =lalxe A va xe B}
e Phan hoach m6ot tap hợp:
Néu Arw=ú, ta nĩi A và B rời nhau Nếu các tập XX), X50 X,,
thỏa mãnvà chúng rời nhau ting d6i mot, ta ndi {X,,X,, ,X, } la
một phân hoạch của tập hợp A
Định lý 1.2.1|2| Giá sử {X,, X; , X„} là một phân hoạch của
tập Š Khi đĩ: |S|=|X,|+|X,|+ +|X,
s— Hệ quá: |AA)B|=|A|+|B|-|A¬Bi,
Định lý 1.2.2[2Ì Cho các tập A,B,Ctrong tập vũ trụU, khi đĩ ta cĩ:
- Luật kết họp:
(AUB)UC=AU(BUC) (ANB)AC=AN(BNC)
- Luật giao hốn:
AUB=BUA ANB=BoOA
- — Luật phân bố:
AU(BOC)=(AUB)A(AUC) AN(BUC)=(ANB)U(ANC)
- Luật bù kép (đối họp):
- Luật đối ngẫu De Morgan:
AUB=AnB, AnB=AUB
AUA,U 0A, =A, OA, 0.04,
AAA AWA, =AUAU UA,
1.3 CAC CAU TRUC TRONG DAI SO TAP HOP
1.3.1 Vanh Boole (Boole, Boolean ring)
Dinh nghia 1.3.1 [1] Mot vanh Boole (Boole, Boolean ring), các tập
Trang 4hop 1A mét tap hop KR Cac tap hop thoa man néu Ae KR, Be K thi
AUBeRva A\BER
Mệnh đề 1.3.7|1] cho 3Ì là một vành Boole, khi đó c 3, các
pháp hiệu đối xứng và giao của hai tập hợp là đóng trong ŸẦ
1.3.2 Đại số Boole (Boolean algebra)
Dinh nghia 1.3.2 [1] Một lớp các tập hợp A duoc goi 1a mot dai số
Boole nếu thỏa mãn:
a/Nếu Ae 9 và Be 9 thì AUBER
b/Nếu Ae Sï thì A° e9, (A“ là phần bù của A)
Rõ rang mỗi đại số Boole là một vành Boole vì:
Mệnh đề 1.3.2 H cho RK là một vành Boole các tập con của X
Vành S là một đại số khi và chỉ khi X e SÑ
1.4 VÀNH SINH (generated ring), ø - VÀNH (Ø - ring )
Định nghĩa 1.4.1 H cho £ là một lớp các tập hợp Vành nhỏ nhất
chứa £ được gọi là vành sinh bởi lớp £ và được ký hiệu bởi ®(£)
Định lý 1.4.1[1| Néu£ là lớp các tập hop bat ky thi ton tai một vành
sinh bởi lớp £ duy nhất R(€)
Định lý 1.4.2 [I|' Nếu £ là một lớp bắt kỳ các tập hợp thì mỗi tập
trong R ( £) được phủ bởi một họ hữu hạn các tập trong €
Định lý 1.4.3 [I| Nếu £ là một lớp đếm được các tập hop, thi R(e)
là đếm được
Định nghĩa 1.4.2 [1| Một lợp không rỗng Š các tập hợp được gọi là
Ø - vành nếu nó thỏa mãn:
a/NêuEe § và Fe §$ thì E\FƑe §
b/Nếu{E,}_„cŠ thì L]E,e S
neN
Định nghĩa 1.4.3 [1| Cho một lớp bắt kỳ các tâp hợp £,Ø - vành nhỏ
nhất chứa lớp £ được gọi là Ø - vành sinh bởi lớp £ là được ký hiệu
bởi Ø(£)
Định lý 1.4.4 [1| Nếu £ là một lớp bắt kỳ các tập hợp và E là một
tập bắt kỳ trong Ơ (£) thì tôn tại một lóp đếm được D của € sao
cho E€ Ø ( D)
Định lý 1.4.5 [1| Nếu £ là lóp bắt kỳ các tập hợp con của tập X và
A là tập con bắt kỳ của X thi Ø(£)¬=A=ơ(£nA)
1.5 CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes) 1.5.1 Giới hạn trên (the superior limit) Dinh nghia 1.5.1 [1] Cho {E, by là một dãy các tập con của X,
tập ” gồm tất cả các phần tử của X thuộc È„ với vô hạn các giá
trị của 7 được gọi là giới hạn trên của day {E,} và ký hiệu:
E* =limsup E,
Trang 51.5.2 Gidi han dw6i (the inferior limit)
Dinh nghia 1.5.2 [1] Cho {E, } „ là một dãy các tap con cua X , tập
EF gốm tất cả các phần tử của X thuộc mọi „ trừ một số hữu hạn
các giá trị của z được gọi là giới hạn dưới của dãy {E, } và ký hiệu:
E, = fim inf E
Nếu xảy ra trường hợp E” =E, thì ta ký hiệu E” =E, = lim E„ và
gọi là giới hạn của dãy {E, }
- Dãy các tập hợp {E,} được gọi là tăng (đồng biến) nếu
E,CE,„uVneN
- Dãy các tập hợp {E, } được gọi là giảm (nghịch biến) nếu
E.,, CE,,Vne N Một dãy các tập hợp tăng hay là giảm được
gọi dãy đơn điệu (monotone)
Định nghĩa 1.5.3 [1] Một lớp không rỗng Zcác tập được gọi là đơn
điệu nếu mọi dãy đơn điệu các tập {E,} trong Zta có lim E,€ 4
Dinh nghia 1.5.4 [1] Lớp đơn điệu nhỏ nhất chứa lớp £ được gọi là
lớp đơn điệu sinh bởi lớp £ và được ký hiệu bởi M (£)
Định lý 1.5.1|l| Một lớp £ là một Ø - vành khi và chỉ khi nó là
vành đơn điệu
1.6 DO DO; KHONG GIAN DO; DO DO DU; DO DO o-
HUU HAN
Dinh nghia 1.6.1 [1] Anh xa Miko [0, +0] được gọi là một độ đo
dương trên Ø - đại số À nếu với mọi họ đếm được các tập đôi một không giao nhau {A, } ¿e„: tong đó Á,€ À với mọi ke N, taco:
“(U a j= lay va (9) =0
Dinh nghia 1.6.2 [1] Tập X với Ø- đại số À các tập con của X và
độ đo dương / trên À thì bộ ba ( X,ÀM ) được gọi là một không gian đo
Định nghĩa 1.6.3 H Ta nói / là Ø - hữu hạn nếu X là hợp của một
họ đếm được các tập có độ đo hữu hạn
Định nghĩa 1.6.4 [1| Nếu với mọi Á€ A thỏa mãn / (4) =0 và với
mọi Á CA tacó: Ác À thì ta nói rằng Ø - đại số À là jT— đủ (tức là đủ theo độ đo // )
Định nghĩa 1.6.5 H Bộ ba ( X,ÀM ) được gọi là một không gian
có độ đo đủ, Ø - hữu hạn nếu /4là độ do dương Ø - hữu hạn và À là /„— đủ
1⁄7 CÁC TÍNH CHÁT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH
1.7.1 Độ đo ngoài Định nghĩa 1.7.1.1 H Một lớp không rỗng các tập hợp £ được gọi là
l6p di truyén néu voi moi tap Ee Eva F CE thi Fee
Trang 6Dinh nghia 1.7.1.2 [1] Ø - vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp £ được
gọi là Ø -vành di truyền sinh ra bởi lớp £ và được ký hiệu bởi # (£ )-
Định nghĩa 1.7.1.3 H Một hàm tập HA có giá trị trên tập số thực mở
rộng, xác định trên lớp £ được gọi là:
- Dưới cộng tính nếu với mọi tập Eceec,hccvàbEb\u)FCec
thì://(EOF)</Z(E)+# ()
- Dưới công tính hữu hạn nếu với mọi hữu hạn tap Ei, £,, ,F
và [JE,eeth: wf ‘UE <5 (E,)
- Ø- dưới công tính (dưới cộng tính đếm được) nếu với mọi dãy các
tap {E,}ma UE, € £ th: wv ‘UE <5 {E,)
- Đơn điệu nếu Ee £, Fe £ và EC F thì (E)< u(F)
Định nghĩa 1.7.1.4 [1| Một hàm tập //' nhận giá trị trên tập số thực
mở rộng, xác định trên Ø - vành di truyền H được gọi là một độ đo
ngoài nếu nó không âm, đơn điệu, Ø - dưới cộng tính và ự ( ó) =0
Dinh ly 1.7.1.1 [1] Nếu {Lla mét dé do trén vanh € và nếu với mọi
tập Ee H(e) đặt: uw" (E) =inf dale ):Eee£, Vi:EC UE
Thì / 1a mot do do ngoai trén H (€) va la mot mở rộng của //
Nếu /là (hoàn toàn) Ø- hữu hạn thì /Ÿ cũng vậy Độ đo ngoài
# được gọi là cảm sinh bởi độ đo //
1.7.2 Các tập đo được Định nghĩa 1.7.2.1 [1| Cho /Z là một độ đo ngoài trên Ø - vành di
truyền H Một tập Ec H được gọi là / đo được nếu với mọi tập
AeH, tacó: /È(A)=/(AoE)+(AnE]}
E" là phần bù của E
Định lý 1.7.2.1 H Nếu g” là một độ đo ngoài trên một Ø - vành di
truyền H vanéu § la mot lop tat ca cdc tap Ul - đo được thì S la mot vành
Dinh ly 1.7.2.2 [1] Nếu Lf la mot 46 đo ngoài trên Ø- vành di
truyền H và nếu Š là lớp tắt cả các tập {L do duoc, thi S la mot
Ø - vành Nếu Ac H và nếu {E,} là dãy rời nhau các tập trong S
co
với UE, = E, thi: (ANE)= > u (AN E,)
Dinh ly 1.7.2.3 [1] Nếu Lf la mot 46 đo ngoài trên Ø- vành di
truyền H và nếu S là lớp tắt ca cdc tap LM’ - đo được, thì mỗi tập có
độ ao ngoài bằng Ö thuộc vào S va ham tập u xác định trên S
được cho bởi (E) =u (E) VEE S là một độ đo ấu trên Ss
Trang 7D6 do L duoc goi la dé do cam sinh bởi độ do ngoai Ml" D6 do ML
là hạn chế của độ đo ngoài HÙ trên Š và được ký hiệu = Lt :
Định lý 1.7.1 [1] Moi tap trong Ø(£) là các tập wt" do duoc
Định lý 1.7.2 [I|Néu Ee H (e) thì:
4# (E) =inf{(E):Ec Fe S}
=inf{(F):Ec Fe ø(£)}
Nghĩa là, độ do ngoài cảm sinh bởi „Ai trên O(€) và độ đo ngoài
cảm sinh bởi L trên Š trùng nhau
Định nghĩa 1.7.1 [1| Tập Feơ{£) được gọi là một phủ đo được của
tập EeH(E) nếu moi tap Ge o(e) ma GCF\E thi u(G)=0
Dinh ly 1.7.3 |1|Néu mét tap Ee H(€) c6 dé do ngodi o - hữu
hạn thì tôn tại một phủ đo được F (€) € Ø (£) sao cho: JŸ(E) =4)
Dinh ly 1.7.4[1| Néu F,,F, là các phủ đo được của Ee H (€) thì
M(FAF,)=0, nếu F` là phủ đo được của E thì wu’ (E)=nu(F)
Định lý 1.7.511] Nếu độ ão l trên Ơ - vành £ là Ø- hữu hạn thì
u
và ua cling O - httu han
ơ(£) Š
1.8 KHUYECH , DAY DU VA XAP XI MOT DO DO
Dinh ly 1.8.1 [1] Nếu #t la a6 do o - hitu han trén vanh €, thi ton
tai mot d6 do duy nhat u trên ỞƠ - vành Ø (e) sao cho U= ul
Dinh ly 1.8.2 [1] Cho 4! là độ do trên Ø - vành K và đặt:
K=|EAN:Es K.,3Be K,NC B.,u(B)=0)}
Khi đó K_ là một Ø- vành và hàm tập Ul xác định bởi
M(EAN) = u(E) là một độ đo đủ trên K
Định lý 1.6.3 [1| Nếu ,M là độ đo Ø - hữu hạn trên vành € va Ml là
độ đo ngoài được cảm sinh bởi độ đô ,L thì tính ấu của độ đo mở
rong cua Ll trén Ø (e) dong nhdat véi tinh du cua LL" trén lép tat ca
các tập MM - do duoc
Dinh ly 1.8.4[1] Nếu là độ ảo Ơ - hữu hạn trên vành £, thì với
mọi tập E có độ ao hữu hạn trong Ø{(£) và với mọi số đương €,
ton tại tập E, € € sao cho (EAE, ) <£
1.9 ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures)
Định lý 1.9.1 [1|Néu Ee H(S), thi:
u,(E)<sup{u(F):E> Fe S| (1.12)
Mặt khác do định lý 2.3.] với mọi F`€ S ton tai tap Ge S sao cho
GCF va (F)= u{G) Nên:
Trang 8sup{(F) :EFe s} =sup{u(G):E>Ge S$}
Từ (2.3.1) và (2.3.2) suy ra điều phải chứng mình
Định nghĩa 1.9.1[I| Tập e Š được gọi là hạt nhân đo được của
tap Ee H(S) néu CEvà mọi tập ŒcŠ mà GCE\Ƒ thì (G)=0
Định lý 1.9.2 [I| Mọi tập Ee H (S) có một hạt nhân đo được
Định lý 1.9.3[1| Neu Ee H(S) va F lahat nhan do duoc cua E
thi u(F)=u,(E), néu F, va F, déu la cdc hat nhân đo được của
E thi u(FAF,)=0
Dinh ly 1.9.4 [1] Neu {E,} là đấy các tập rời nhau trong H(S)
n=l n=l
Dinh ly 1.9.5[1] Nếu Ac H (5) và nếu {E,} la day các tập roi
nhau voi UE =E thi: (AnE)=> ú.(AnE,)
Ngwoc lainéu Ee H(S )va W(E )= U(E)<oo thi EES
Định lý 1.9.7 [1] New Ee H(S).Fe H(S) va ENF =@ thi:
<
A(EOF)SM(E)+(F)S (EOPF)
Định lý 1.9.8 [1| Nếu Ee Š thì với mọi tập con AC ÄX có:
(AnE)+/[A'aE)=(E)
1.10 DO DO LEBESGUE (Lebesgue measure) Dinh ly 1.10.1 [1| Mỗi tập đếm được trong Ñ là một tập Borel có độ
do khong (tập A được gọi là có độ ảo không néu L(A) =0)
Định lý 1.10.2 |1| Goi u la lép tat ca các tập mở rộng 3 khi do:
o(P)=o(u)
Dinh ly 1.10.3|1]Néu EC thi: uw’ (E) =inf {u(U): EcU eu} Dinh ly 1.10.4 |[1|Néu T la mot ham tee R được xác định bởi
T (x) =ax+ B, trongdd AER, Pe Rva a #0, thi:
ui (E)=le a (#) va gw (7(E)) =a (2)
Chuong 2- LY THUYET TICH PHAN
(The Theory of the Integral)
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM
Định nghĩa 2.1.1 l3] Nếu ƒ là đo được không âm trên không gian
đo ( L:F, “) thì tích thân của ƒ theo độ đo // được xác định như
Suyra: tim f, (x) (dx) =lim g,, (x) (at).
Trang 9Dinh nghia 2.1.2 [3] Tích phân bắt định của một hàm do duoc f 1A
hàm tập xác định trên lớp các tập đo được È bởi v(E)= I, ƒ(x)u(a9:
Định nghĩa 2.1.3 |3| Với ƒ là hàm đo được ta đặt ƒ” = max( ƒ;0)
và ƒ Ì= —min( ƒ;0)
Giả sử min | ƒ ƒ` (4x) : | fu (dx) < œ, ta xác định tích phân
của ƒ theo độ đo bởi: [f (x)4a{ dx) = [Fr (a) l(ch)— là _Ixiad
Dãy cơ bản theo trung bình và sự hội tụ theo độ đo
Định lý 2.1.1 l3] Một dãy hàm cơ bản theo trung bình { f,} các hàm
khả tích cũng là đấy hàm cơ bản theo độ do
Định lý 2.1.2 l3] Nếu if, là dãy cơ bản theo trung bình các hàm
đơn giản khá tích và tích phân bất định của ƒ, là v„,ne N thì
v(E) = limy, (E) Tôn tại với mỗi tập do duoc E va ham tập V có
giá trị hữu hạn và cộng tính dém duoc (0 cộng tính)
Định lý 2.1.3 I3] Nếu { f,} là dãy cơ bản theo trung bình các hàm
khả tích và tích phân bắt định của ƒ⁄,là v„.ne N thì hàm tập v, là
liên tục tuyệt đối đều
Định lý 2.1.4 I3] Nếu {/,} và {£„} là các dãy hàm cơ bản theo
trung bình các hàm đơn giản khả tích hội tụ theo độ đo tới cùng mỘt
giới hạn là hàm do duoc f và nếu v, va A, lần lượt là các tích
phân bất định của f, va g, Voi moi tap do duoc E, ta dd:
v(E)=limy, (E) và A(E)=lim/, (E)
Thì các ham tap v va A tring nhau
Định lý 2.1.5 [3] Néu { ƒ,} là một dãy các hàm khả tích hội tụ theo
trung bình tới ƒ thì { ƒ,} hội tụ tới ƒ' theo độ do
2.2 CAC TINH CHAT CUA TÍCH PHAN
Dinh ly 2.2.1[3]
al Néu f lamét ham do duoc va c là một hằng số thì:
fet (xu(dx) =f f (xu (ax)
b/Néu f va g cdc ham do duoc va f < g thi:
[7)(a)< [s(x)w(4)
Định lý 2.2.2 |3]
al Néu| f (x) (dx) 16m tại | [ ƒ (x)(ax)|< [[7 (x)J(a)
b! Nếu JZ(xz}(œ) tôn tại thì [Zz)z.)(œ) ton tại với mỗi A€ #; néu | f (x)u(dx) hitu han thi [ ƒ (x)#4(x) (4)
cũng hữu hạn
cÍ Nếu ƒ và g là các hàm do duoc không âm hay
[lf (|e (de) <2 va Jls(+©|¿()<= thì:
[[Z7()+s(x)]z(4&)= [Z(x)#(ax)+ [ø(x)#(4)
Định lý 2.2.3|3] Nếu ƒ' là một hàm khả tích không âm hấu khắp
Trang 10nơi, thì điều kiện cần và đu đề [fQ) ,(d x)= Ola f=Oae
Định lý 2.2.4|3| Nếu f la ham kha tích và dương hầu khắp nơi
trên tap do duoc E va | f (x)u(dx) =0, thi “u(E)=
E
Định lý 2.2.5 [3] Nếu ƒ là hàm khả tich sao cho | f (x)u(dx) =0
với mọi tập ảo được ƒ, thì ƒ =0 hầu khắp nơi
Định lý 2.26|3|NếóuƑlà một hàm khả tích thì
tập N( f) ={x: f (x) #0}
có độ do Ø -hữu hạn
2.3 ĐẤY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function)
Dinh ly 2.3.1 [4] Nếu {/,} là dãy hàm cơ bản theo trung bình các
hàm đơn giản khả tích hội tụ Theo độ do toi ham khả tích ƒ thì:
)=||Z (x)~ Z,(x)2(dx) —› 0 khí n —3 s
Định lý 2.3.2 sụn Nếu { ƒ,} là dãy hàm cơ bản khả tích tôn tại hàm
khả tích ƒ sao cho Ø0(,.ƒ) —>U
2.4 DINH LY VE HOI TU BI CHAN
Cho dãy ánh xạ ( ƒ, : Ï —> R) oy Nếu:
se Với mọi n thuộc N, ƒ„ liên tục từng khúc trên I
° (7, ) en hội tụ đơn trên Ï đến một ánh xạ ký hiệu là ƒ
e ƒ liên tục từng khác trên Ï
se Có @:l —>3Ñ liên tục từng khúc, không âm khả tích trên I
„| < Ø (giả thiết bị chặn) Thì:
® Với mọi n thuộc N, ƒ, khả tích trên Ï
e ƒ khá tích trên Ï
© [tao] fi)
Ménh dé 2.4.1 [4] Cho một dãy ánh xa(ƒ, :ử —> K} Nếu:
e V6i moi n thudc N, f, liên tục và khả tích trên 7
© (7,),„v„ hội tụ đều trên 7 đến một ánh xạ ký hiệu là ƒ
® j bichặn Thì:
e ƒ liên tục và khả tích trên /
° | /„(x)—>|Œ&
2.5 HỘI TỤ DEU VA LAY TICH PHAN TREN MOT DOAN Định lý2.5.I [4] Gia swe(a, b) ER sao choa <b va S [a:b] > E)
n>0
là một chuối ánh xạ Nêu:
e Với mọi ne N,ƒ„ liên tục trên [a:b]
° Df, hội tụ đều trên [a:b]
n>0
Thì: