Vật lý đại cương a1 tập 1

Trong hệ SI: ñơn vị gia tốc là ; ñơn vị khối lượng là: kg ; ñơn vị của lực là Newtơn N Gia tốc của một vật khi chịu tác dụng của nhiều lực thì lực trong 1-1 ñưọc xác ñịnh bằng tổng vectơ

Khoa Sư Phạm

Vật Lý ðại Cương A1

Tác giả: Trần Thể Biên mục: sdms

Người biên soạn

TRẦN THỂ

LƯU HÀNH NỘI BỘ Tháng 9 năm 2002

Sự chuyển động của vật hệ quy chiếu

1.SỰ CHUYỂN ðỘNG CỦA VẬT - CHẤT ðIỂM:

Khái niệm chuyển động là một khái niệm cơ bản của cơ học Chuyển động cơ học là sự thay đổi vị trí của vật so với những vật khác được chọn làm mốc

Giả sử chọn vật A và B làm mốc để xét chuyển động của M TaÏi thời điểm t nào đĩ vị trí

M được xác định bằng các vectơ và Sau đĩ vị trí của M được xác định bằng vectơ

và Nếu vật B lại chuyển động so với vật A, thì vật B lại được xác định bằng vectơ , khác với vectơ lúc đầu

Tức là chuyển động của M so với A sẽ khác với chuyển động của M so với B Từ đĩ rút

ra kết luận: Chuyển động chỉ mang tính tương đối

Chuyển động đơn giản nhất của chất điểm là chuyển động trên đường thẳng Bấy giờ vị trí của chất điểm được xác định bằng = x so với một điểm O nào đĩ được chọn làm gốc tọa độ

Khi chất điểm chuyển động vị trí của nĩ trên đường thẳng thay đổi và toạ độ biến đổi theo thời gian

X = x (t) (1-1)

Phương trình (1-1) biểu diễn chuyển động của chất điểm trên đường thẳng Trong trường hợp tổng quát vị trí của chất điểm trong khơng gian hồn tồn xác định, nếu biết tọa độ của nĩ Thí dụ như tọa độ ðềcác (o x y z ) Tập hợp 3 đại lượng: x ,y,z làm thành vectơ tia xác định vị trí của chất điểm (cịn gọi là bán kính vectơ): Vectơ xuất phát từ gốc tọa độ tới vị trí của chất điểm (Hình 3-1)

Khi chất điểm chuyển dời, nĩ vạch nên quỹ đạo, và vectơ tia cũng như các tọa độ của nĩ biến đổi theo thời gian

= (t) (1-2)

X = x (t); y = y (t); z = z (t) (1-3)

Phương trình của vectơ tia hoặc 3 phương trình tọa ñộ biểu diễn chuyển ñộng của chất ñiểm, vì nếu biết sự phụ thuộc của vectơ tia hoặc của tọa ñộ theo thời gian ta có thể xác ñịnh vị trí của hạt ở bất ký thởi ñiểm nào

Biểu diễn chuyển ñộng trong không gian bằng 3 phương trình (1-3) của tọa ñộ chất ñiểm theo thời gian là chúng ta ñã phân tích chuyển ñộng thành 3 chuyển ñộng thẳng trên 3 trục tọa ñộ Nói cách khác chuyển ñộng bất kỳ của chất ñiểm trong không gian có thể xem như nó ñồng thời tham gia vào 3 chuyển ñộng thẳng

2.HỆ QUY CHIẾU:

Ta chỉ có thể nói tới chuyển ñộng của một vật trong không gian khi so sánh vị trí tương ñối của nó với những vật khác Như vậy là trong khi nghiên cứu chuyển ñộng của một vật chúng ta phải chọn những vật khác làm mốc Tập hợp những vật ñược chọn làm mốc (thường là quy ước nó ñứng yên) có gắn một hệ tọa ñộ dể xác ñịnh vị trí chuyển ñộng làm thành hệ quy chiếu

Vận tốc - Gia tốc

1 VẬN TỐC:

Ngoài vị trí chuyển ñộng của chất ñiểm còn ñược ñặc trưng bằng vận tốc của nó ðể xây dựng khái niệm vận tốc chúng ta hãy xét chuyển ñộng của một chất ñiểm, trên quỹ ñạo (c)

Vectơ xác ñịnh vị trí M1, vectơ xác ñịnh vị trí M2 Của chất ñiểm chuyển ñộng trong khoảng thời gian t

Như vậy trong thời gian t chất ñiểm ñi từ M1 tới M2. Cung biểu diễn ñường ñi của chất ñiểm Vectơ = ñược gọi là vectơ dịch

chuyển

= - (2-1)

- Vectơ vận tốc:

Tỷ số (2-2)

Gọi là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian t

-Vận tốc tại ñiểm M:

(2-3)

- Vậy vectơ vận tốc bằng ñạo hàm của vectơ vị trí theo thời gian

Vì các thành phần của vectơ trên các trục tọa ñộ là: x ,y,z nên hình chiếu của vectơ rên các trục tọa ñộ cũng bằng ñạo hàm của các tọa ñộ này theo thời gian

2.GIA TỐC:

Trong trường hợp tổng quát, vận tốc của chất ñiểm không ngừng biến ñổi cả về ñộ lớn lẫn phương chiều Vì vậy vectơ vận tốc không thể ñặc trưng ñầy ñủ cho chuyển ñộng của chất ñiểm, mà chúng ta phải xây dựng khái niệm mới: Vectơ gia tốc

Giả sử chất ñiểm chuyể ñộng trên ñường cong (c) Tại ñiểm M1 nó có vận tốc , tại ñiểm M2 nó có vận tốc (Hình 2-2)

Di chuyển về chung gốc với Ta có:

:là ñộ biến thiên vận tốc

-ðịnh nghĩa gia tốc:

Tỷ số (2-6)

Gọi là gia tốc trung bình trong khoảng thời gian t

Gia tốc tại một ñiểm: (2-7)

Vậy: gia tốc là ñại lượng vectơ, vectơ gia tốc bằng ñạo hàm của vectơ vận tốc theo thời gian

(2-8)

- ðơn vị của gia tốc: Trong hệ SI là: (mét trên giây bình phương)

3.GIA TỐC TIẾP TUYẾN VÀ GIA TỐC PHÁP TUYẾN:

Trên M1B lấy ñiểm C sao cho M1C, có ñộ lớn bằng v1 Nối A với C, ñặt

Ta có:

(2-10)

ðộ biến thiên của vận tốc gồm hai thành phần:

- : ñặc trưng cho sự thay ñổi về ñộ lớn của vận tốc

- : ðặc trưng cho sự thay ñổi về phương của vận tốc

Vì vậy: (2-18)

(2-19)

Giải bài toán ñộng học

Bài toán ñộng học là bài toán tìm mối quan hệ của chuyển ñộng của chất ñiểm như gia tốc, vận tốc, ñường ñi và tọa ñộ với thời gian xãy ra chyển ñộng Vì vậy việc giải bài toán ñộng học là mô tả chuyển ñộng của chất ñiểm trong một hệ quy chiếu nào ñó ñã ñược chọn Chúng sẽ nghiên cứu một số phương pháp mô tả chuyển ñộng của chất ñiểm như sau :

Vận tốc cũng là một ñại lượng vectơ

Gia tốc chuyển ñộng của ñiểm sẽ là:

(3-4) Trong ñóĺ là vận tốc và vectơ bán kính ở thời ñiểm ban ñầu (t = 0)

Trong các chuyển ñộng thay ñổi ñều, các ñiểm dịch chuyển theo quỹ ñạo thẳng nếu // Lúc ñó các phương trình (3-3) và (3-4) có thể biểu diễn vô hướng như sau:

Các thành phần của vec tơ vận tốc là: vx; vy; vg và các thành

phần của các vectơ gia tốc là:vx; vy; vg

-Theo trục ox:

(3-9)

Hướng của vectơ vận tốc tiếp tuyến với quỹ ñạo ở ñiểm

khảo sát chuyển ñộng Vận tốc thay ñổi cả về ñộ lớn lẫn hướng

Trên (Hình 3-4) Vectơ tại thời ñiểm t và tại thời ñiểm t + ðộ biến thiên vectơ vận tốc toàn phần sau thời gian là:

(3-13)

Trong ñó là sự thay ñổi về ñộ lớn; là sự thay ñổi

về phương

Gia tốc của chuyển ñộng gồm 2 phần: Tốc ñộ thay ñổi ñộ

lớn và tốc ñộ thay ñổi hướng

Ta có: S = v.t (4-2)

2.CHUYỂN ðỘNG THẲNG BIẾN ðỔI ðỀU:

Là chuyển ñộng với quỹ ñạo thẳng, vận tốc có ñộ lớn biến thiên (tăng hay giảm) những lượng bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kỳø bằng nhau

Nếu chất chuyển ñộng từ trạng thái nghỉ: v0 = 0

Khoảng thời gian ñể chất ñiểm chuyển ñộng ñược một vòng tròn là không ñổi và ñược gọi là chu kỳ của chuyển ñộng

Kí hiệu là T: (4-13)

Số vòng quay ñược trong một ñơn vị thời gian gọi là tần số

Kí hiệu là n:

5.CHUYỂN ðỘNG TRÒN BIẾN ðỔI ðỀU CHẤT ðIỂM

Khi chất ñiểm chuyển ñộng theo một quỹ ñạo tròn và vận tốc có ñộ lớn biến thiên những lượng bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kì thì chuyển ñộng ñó gọi

là chuyển ñộng tròn biến ñổi ñều

v = v0 + at (4-17)

(4-18)

6.CHUYỂN ðỘNG CỦA VẬT NÉM THEO PHƯƠNG NGANG:

Chuyển ñộng của vật ném theo phương ngang tuân theo nguyên lý về sự ñộc lập của chuyển ñộng Tức là khi nghiên cứu một vật ném theo phương ngang, thì chuyển ñộng theo phương thẳng ñứng không ảnh hưởng gì ñến chuyển ñộng theo phương ngang Phương trình ñường ñi ñược viết là:

(4-19)

Trong ñó: v0 là vận tốc ban ñầu theo phương ngang

7.CHUYỂN ðỘNG THEO ðƯỜNG ðẠN:

Chuyển ñộng này cũng ñược phân tích thành hai chuyển ñộng theo hai phương ñộc lập Chọn thời ñiểm ban ñầu t0 = 0 ta có :

Sự tương tác của vật này lên vật khác ñuợc biễu diễn bằng một vectơ gọi là lực

Ví dụ:

Như vậy khi các vật tương tác với nhau chúng sẽ thay ñổi vận tốc, tức là thay ñổi chuyển ñộng Vì vậy lực là nguyên nhân làm biến ñổi chuyển ñộng hoặc là nguyên nhân làm vật chuyển ñộng có gia tốc

ðại lượng vật lí ñặc trưng cho ñộ ỳ (quán tính) của vật gọi là khối lượng Khối lượng còn

có mặt trong ñịnh luật vạn vật hấp dẫn (sẽ nói trong phần sau) ở ñó khối lượng ñặc trưng cho mức ñộ tác dụng hấp dẫn tương hỗ của các vật Tuy nhiên các kết qủa thu ñược từ thí nghiệm ñều chứng tỏ rằng khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn của cùng một vật

là bằng nhau Vì vậy người ta nói rằng khối lượng dặc trưng cho mức ñộ quán tính và cả tính chất hấp dẫn của vật

2.2 ðịnh luật Newtơn thứ hai:

Gia tốc của vật chuyển ñộng do lực tác ñộng lên vật gây ra, tỉ lệ thuận với lực này và tỷ

lệ nghịch với khối lượng m của vật Hướng của gia tốc cùng hướng với lực tác dụng

Trong hệ SI: ñơn vị gia tốc là ; ñơn vị khối lượng là: kg ; ñơn vị của lực là Newtơn (N)

Gia tốc của một vật khi chịu tác dụng của nhiều lực thì lực trong (1-1) ñưọc xác ñịnh bằng tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng lên vật Nghĩa là:

(1-2)

Biểu thức (1-2) là nguyên lý chồng chất lực

2.3 ðịnh luật Newtơn thứ ba:

Lực tương tác giữa hai vật có cùng phương và ñộ lớn, nhưng có chiều ngược nhau ðặt vào hai vật khác nhau

Trong ñó là lực ñặt lên vật thứ nhất; là lực ñặt lên vật thứ hai; m1, m2 là khối lượng tương ứng của hai vật; a1; a2 là gia tốc của hai vật

Các ñịnh luật Newtơn chỉ ñúng cho hệ quy chiếu quán tính Biểu thức toán học của ñịnh luật Newtơn thứ hai là phương trình cơ bản của ñộng lực học chất ñiểm

Trong hệ quy chiếu không quán tính thì trong phương trình cơ bản của ñộng lực học chất ñiểm, ngoài lực còn phải kể ñến lực quán tính Chẳng hạn trong hệ quy chiếu chuyển ñộng thẳng có gia tốc thì phương trình là:

Với gọi là lực quán tính

Các ñịnh lý về xung lượng, Mômem xung lượng ñộng năng và cơ năng

1.XUNG LƯỢNG - MÔ MEN XUNG LƯỢNG:

1.1 Xung lượng và bảo toàn xung lượng:

Xét bài toán va chạm của hai hạt tự do, giả sử lúc ñầu chúng không tương tác gì với nhau, chuyển ñộng thẳng ñều với các vận tốc tương ứng là về phía nhau và xảy ra va chạm giữa chúng Sau khi va chạm vận tốc của mỗi hạt biến thiên một lượng là

với

là vận tốc của các hạt tương ứng sau va chạm Thực nghiệm vật lý chứng tỏ rằng sau va chạm vận tốc của các hạt thay ñổi cả về hướng và ñộ lớn Nhưng ñộ biến thiên vận tốc là của chúng bao giờ cũng cũng cùng phương ngược chiều và luôn luôn tỷ lệ với nhau

Tổng gọi là xung lượng toàn phần của hai hạt

Xung luợng toàn phần của hai hạt tương tác lẫn nhau và không tương tác với những hạt khác là một ựại lượng không thay ựổi theo thời gian Một ựại lượng không thay ựổi theo thời gian gọi là ựại lượng bảo toàn

điều phát biểu trên không chỉ ựúng cho trường hợp hai hạt, mà còn ựúng với với một hệ kắn bất kỳ, nghĩa là ựúng với một tập hợp các chất ựiểm tương tác lẫn nhau, nhưng không tương tác với những vật thể bên ngoài

Gọi là xung lượng toàn phần của hệ kắn ta có:

Như vậy xung lượng toàn phần của một hệ kắn ựược bảo toàn đó là nội dung của ựịnh luật bảo toàn xung lượng, một trong những ựịnh luật cơ bản và tổng quát của vật lý và của tự nhiên

Trong trường hợp hệ chịu tác dụng của ngoại lực thì xung lượng của hệ không ñược bảo toàn Lúc ñó ta có ñịnh lí:

ðộ biến thiên xung lượng của hạt (hoặc hệ hạt) trong một ñơn vị thời gian bằng ngoại lưc tác dụng lên hệ

Tổng quát:

1.2 Mô men xung lượng và ñịnh luật bảo toàn mô men xung lượng:

Xét chất ñiểm khối lượng m chuyển ñộng theo ñường tròn bán kính r tâm O, dưới tác dụng của lực có ñộ lớn không ñổi và hợp với tiếp tuyến của góc (Hình 2-1)

Nhân 2 vế với r:

Với của lực ñối với tâm O, vì m và r không ñổi nên ta có:

2.THẾ NĂNG - đỘNG NĂNG - BẢO TOÀN CƠ NĂNG:

2.1.Công của lực :

Dưới tác dụng của lực , chất ựiểm chuyển dời một ựoạn thì ta có:

đó là biểu thức công nguyên tố của lực trên ựoạn ựường

Trong hệ toạ ựộ ựề các vuông góc:

Suy ra:

dA = Fs.dS (3-18)

Với :là hình chiếu của trên

Nếu chất ựiểm dịch chuyển trên ựường cong (c) từ (1) ựến (2)

thì công thực hiện là:

(3-19)

(3-20) Công là một ñại lượng vô hướng, có thể dương (cos >0 và cũng có thể âm (cos < 0)

( Công trong chuyển ñộng quay khi mô men lực M không ñổi và vật quay ñược một góc là:

( Công suất N là ñại lượng vật lý ñặc trưng cho tốc ñộ sinh công của lực và ñược ño bằng công sinh ra trong một ñơn vị thời gian

Với: là vận tốc của vật

Công suất của vật chuyển ñộng quay:

Với: M là mô men lực, là vận tốc góc

So sánh hai vế ta ñược:

2.3.ðộng năng:

Trở lại biểu thức công nguyên tố:

Vớũ

Với: I là mô men quán tính của vật; vận tốc góc

2.4.Năng lượng và bảo toàn năng lượng:

Năng lượng là ñại lượng ñặc trưng cho mức ñộ vận ñộng của vật chất Khi vật ở trạng thái xác ñịnh thì nó có một năng lượng xác ñịnh Nghĩa là: Năng lượng là một hàm của trạng thái, vì vậy khi các vật tương tác với nhau, trạng thái của các vật thay ñổi dẫn tới năng lượng của các vật cũng thay ñổi theo

Từ các kết quả nghiên cứu lí thuyết và thực nghiệm ñã ñi ñến kết luận: “ñộ biến thiên năng lượng của một hệ trong quá trình biến ñổi nào ñó có giá trị bằng công mà hệ nhận ñược từ bên ngoài trong quá trình ñó”

Nếu hệ không tương tác với bên ngoài, thì công thực hiện bằng không (tức là năng lượng của hệ không thay ñổi)

“Năng lượng không tự nhiên sinh ra, không tự nhiên mất ñi, năng lượng chỉ chuyển từ hệ này sang hệ khác, hoặc từ dạng này sang dạng khác”

ðối với hệ cơ học thì năng lượng bao gồm cả thế năng và ñộng năng Vì vậy bảo toàn năng lượng cơ học là bảo toàn cơ năng Các dạng năng lượng có thể chuyển hoá lẫn nhau

Chương III: Cơ học chất ñiểm - Vật rắn

Các ñịnh luật bảo toàn bài toán va chạm

Các ñịnh luật bảo toàn trong cơ học ñược vận dụng ñể xét sự va chạm giữa các hạt Vì bài toán va chạm trong trường hợp tổng quát là rất phức tạp và không thể trình bày trong giáo trình này Vì vậy chúng ta chỉ vận dụng các ñịnh luật bảo toàn trong chương III ñể khảo sát bài toán va chạm giữa hai hạt

1.VA CHẠM KHÔNG ðÀN HỒI:

Trong vật lý va chạm chỉ quá trình tương tác giữa các hạt với ý nghĩa rộng, chứ không phải là sự ñụng ñộ trực tiếp giữa các vật với nhau Sự va chạm giữa các vật thường xảy ra trong ñiều kiện thông thường, hầu như bao giờ cũng ít nhiều không ñàn hồi, một phần năng lượng của chuyển ñộng các hạt ñã chuyển thành nhiệt năng làm nóng vật, hoặc một phần năng lượng ñã làm vật biến dạng Tuy vậy va chạm ñàn hồi cũng ñóng một vai trò rất quan trọng trong vật lý, bởi vì nó thường gặp trong lĩnh vực các hiện tượng nguyên tử,

và nhiều trường hợp va chạm thông thường cũng có thể xem là ñàn hồi với mức ñộ chính xác khá lớn

Trước hết chúng ta xét trường hợp ñơn giản của va chạm hoàn toàn không ñàn hồi, ñó là kết quả va chạm hai vật dính liền làm một

Gọi khối lượng của các hạt va chạm là m1 và m2, chọn hệ quy chiếu sao cho một hạt có vận tốc bằng không, giả sử Theo ñịnh luật bảo toàn xung lượng ta có:

Trước va chạm ñộng năng của hạt là:

ðộ tăng nội năng:

Là phần ñộng năng ñã mất ñể biến thành nhiệt năng hoặc công làm biến dạng Phần ñộng năng còn lại làm cho hai vật sau va chạm tiếp tục chuyển ñộng với vận tốc

2.VA CHẠM HOÀN TOÀN ðÀN HỒI:

Ta xét va chạm ñàn hồi của hai vật khối lượng m1 và m2 Gọi vận tốc trước và sau va chạm của hạt 1 là , của hạt 2 là Giả sử hạt 2 ñứng yên trước va

Trong va chạm ñàn hồi nội năng của các hạt trước và sau va chạm không thay ñổi vì vậy chúng ta không cần chú ý tới nội năng của các hạt này Áp dụng ñịnh luật bảo toàn năng luợng và xung lượng ta có:

Và:

Xét một vài trường hợp riêng:

2.1.Hạt ñưng yên có khối lượng rất lớn: m2 >>m1

Từ (2-9) ta có:

Vận tốc của hạt 2 sau va chạm rất bé, coi nhu bằng không Vì vậy sau va chạm năng lượng của hạt 1 không thay ñổi, tức là ñộ lớn của vận tốc ñược giữ nguyên, chỉ thay ñổi phương của vận tốc

2.2.Hai hạt có khối lượng bằng nhau: m2 = m1

Lúc ñó ñịnh luật bảo toàn sẽ là:

(2-11) (2-12) Hệ thức (2-12) cho thấy các vectơ vận tốc

làm thành một tam giác và hệ thức (2-11) Cho thấy

tam giác ñó vuông với cạnh huyền là

Vậy hai hạt cùng khối lượng sau va chạm sẽ chuyển ñộng theo hai phương vuông góc với nhau

2.3.Va chạm chính diện:(va chạm xuyên tâm)

Ta có:

Suy ra:

Nghĩa là ñộ lớn xung lượng của mỗi hạt ñều không thay ñổi Như vậy ñiều duy nhất xảy

ra trong va chạm là sự quay của vectơ vận tốc của mỗi hạt, còn ñộ lớn thì vẫn giữ

nguyên, vận tốc của hạt này luôn ngược chiều với vận tốc của hạt kia

Khối tâm - Chuyển ñộng của khối tâm

ðối với một hệ cô lập nhiều chất ñiểm, trong lúc các chất ñiểm của hệ có thể chuyển ñộng với vận tốc thay ñổi theo thời gian do tương tác giữa chúng với nhau Nhưng xung lượng toàn phần của hệ ñược bảo toàn, vì vậy xét chung trong chuyển ñộng của hệ, thì coi hệ như một vật tự do Như vậy trong hệ cô lập có tồn tại một ñiểm ñặc biệt, mà ñiểm ñặc biệt này ñặc trưng cho chuyển ñộng của toàn bộ hệ ðiểm ñặc biệt ấy ñược gọi là khối tâm của hệ

Nếu gọi khối lượng của chất ñiểm thứ i là mI; bán kính vectơ xác ñịnh vị trí của nó là

thì vị trí của khối tâm ñược xác ñịnh bởi như sau:

Khối tâm có tính chất ñặc biệt: Trong lúc từng hạt riêng lẻ của hệ cô lập có thể chuyển ñộng với vectơ vận tốc biến thiên theo thời gian, thì khối tâm chuyển dời với vận tốc không thay ñổi Ta có biểu thức của vận tốc như sau:

Từ (1-5) ta suy ra:

Biểu thức (1-6) cho thấy xung lượng toàn phần của hệ có dạng giống như biểu thức xung lượng của từng hạt riêng lẻ Do ựó chúng có thể xem toàn bộ hệ cô lập như là một chất ựiểm ựang chuyển ựộng tự do, có khối lượng bằng tổng khối lượng của các hạt riêng lẻ của hệ và tập trung ở khối tâm Vận tốc không ựổi của khối tâm có thể xem là vận tốc của

hệ cô lập trong chuyển ựộng toàn bộ của nó

Tắnh chất trên của hệ cô lập còn cho ta thấy rằng khối lượng có tắnh chất công ựược và khối lượng của một vật phức tạp bằng tổng khối lượng của các thành phần của nó đó chắnh là nội dung của ựịnh luật bảo toàn khối lượng, nó ựược suy ra từ ựịnh luật bảo toàn xung lượng

Vì vận tốc khối tâm của hệ cô lập không ựổi theo thời gian nên hệ quy chiếu gắn liền với khối tâm là một hệ quy chiếu quán tắnh Hệ như vậy còn ựược gọi là hệ quy chiếu khối tâm, và khối tâm còn gọi là tâm quán tắnh Xung lượng toàn phần trong hệ quy chiếu khối tâm thường ựược quy ước là bằng không

Chuyển ựộng của vật rắn Phương trình cơ bản của chuyển ựộng quay của vật rắn

1 CHUYỂN đỘNG CỦA VẬT RẮN:

Vật rắn là vật mà khoảng cách giữa hai ựiểm bất kỳ của nó không thay ựổi, trong các ựiều kiện của bài toán ựã cho Nói cách khác, kắch thước và hình dạng của vật rắn không thay ựổi trong quá trình chuyển ựộng của vật Vật rắn tuyệt ựối thường ựược coi là hệ chất ựiểm liên kết chặt chẽ với nhau Chuyển ựộng của vật rắn ựược xác ựịnh bởi các ngoại lực ựặt vào nó Một chuyển ựộng phức tạp của vật rắn có thể phân tắch thành hai chuyển ựộng: chuyển ựộng tịnh tiến và chuyển ựộng quay

1.1.Chuyển ựộng tịnh tiến của vật rắn:

đối với mỗi ựiểm của vật ựều có thể áp dụng ựịnh luật thứ II của Newtơn Trong

ựó là khối lượng và vận tốc của chất ựiểm thứ I, còn là nội lượng tác dụng lên chất ựiểm thứ i

Xét toàn vật rắn và chú ý: Ta có:

Hay:

Hoặc là

Nếu vật chỉ chuyển ñộng tịnh tiến, thì gia tốc của các ñiểm của nó là như nhau và chú ý

(khối lượng của vật)

Ta có:

Với:

Phương trình (3-5) gọi là phương trình chuyển ñộng tịnh tiến của vật rắn Từ phương trình (3-5) ta thấy rằng chuyển ñộng tịnh tiến của vật rắn có thể coi là chuyển ñộng của chất ñiểm có khối lượng bằng khối lượng của cả vật và dưới tác dụng của lực bằng tổng các ngoại lực

1.2.Chuyển ñộng quay của vật rắn:

Trong chuyển ñộng quay của vật rắn, chúng ta nhận thấy rằng khả năng làm quay vật của một lực phụ thuộc không những vào cường ñộ của lực mà cả vào khoảng cách giữa lực và trục quay Vì khả năng làm quay vật rắn của lực quanh một trục ñược ñặc trưng bằng một ñại lượng gọi là mô men lực ñổi với trục quay

Mặt khác khi tác dụng các lực có cường ñộ và hướng như nhau vào hai vật có cấu tạo khác nhau (hình dạng khác nhau nhưng cùng khối lượng) thì các lực này cũng gây ra gia tốc quay khác nhau ðiều ñó chứng tỏ rằng, khối lượng của vật quay và sự phân bố khối lượng ñối với trục quay cũng có ảnh hưởng lớn ñến gia tốc quay của vật dưới tác dụng làm quay của một lực xác ñịnh ðại lượng xác ñịnh bởi các yếu tố kể trên ñược gọi là

mô men quán tính của vật ñối với trục quay

Tóm lại: ðể nghiên cứu chuyển ñộng quay ta cần phải xét tới hai ñại lượng vật lý ñó là: Mômen lực và mômen quán tính

2.PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ðỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN:

2.1.Momen lực ñối với trục quay:

Giả sử một vật quay quanh trục dưới tác dụng của lực (trục vuông góc với mặt phẳng chứa lực )

Gọi là vectơ tia từ trục ñến ñiểm ñặt lực (Hình 1-3)

Mômen lực ký hiệu là:

· Nếutrục Thì không gây ra chuyển ñộng quay

· Nếu có phương bất kỳ thì phân tích thành 2 thành phần:

Thành phần lại ñược thành hai thành phần:

: Tiếp tuyến với quỹ ñạo và vuông góc với

: Hướng dọc theo trục

Lúc ñó chỉ có thành phần gây ra chuyển ñộng quay:

2.2.Phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay:

Giả sử có lực tác dụng lên chất ñiểm thứ i có khối luợng Chúng ta phân tích như

ñã làm ở trên, chú ý tới thành phần lực và áp dụng ñịnh luật II Newtơn ta có:

Nhân hữu hướng hai vế với

Vậy:

Với d là khoảng cách giữa trục

2.PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ðỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN:

2.1.Momen lực ñối với trục quay:

Giả sử một vật quay quanh trục dưới tác dụng của lực (trục vuông góc với mặt phẳng chứa lực )

Gọi là vectơ tia từ trục ñến ñiểm ñặt lực (Hình 1-3)

Mômen lực ký hiệu là:

· Nếutrục Thì không gây ra chuyển ñộng quay

· Nếu có phương bất kỳ thì phân tích thành 2 thành phần:

Thành phần lại ñược thành hai thành phần:

: Tiếp tuyến với quỹ ñạo và vuông góc với

: Hướng dọc theo trục

Lúc ñó chỉ có thành phần gây ra chuyển ñộng quay:

2.2.Phương trình cơ bản của chuyển ñộng quay:

Giả sử có lực tác dụng lên chất ñiểm thứ i có khối luợng Chúng ta phân tích như

ñã làm ở trên, chú ý tới thành phần lực và áp dụng ñịnh luật II Newtơn ta có:

Nhân hữu hướng hai vế với

Với d là khoảng cách giữa trục

Chuyển ñộng của vật có khối lượng thay ñổi

Trong thiên nhiên và trong kỹ thuật hiện ựại, thường gặp những chuyển ựộng mà khối lượng của vật không ngừng thay ựổi Vắ dụ như chuyển ựộng của tên lửa, máy bay phản lực Ầ

Chúng ta hãy thiết lập phương trình chuyển ựộng của tên lửa Gọi M là khối lượng của tên lửa; là vận tốc của tên lửa ở một thời ựiểm t nào ựó Gọi là vận tốc của dòng khắ phụt ra phắa sau Sau khoảng thời gian dt, khối lượng của tên lửa biến thiên và trở thành

M + dM, khối lượng khắ phụt ra là: -dM, vận tốc của tên lửa là; Xung lượng của tên lửa ở thời ựiểm t là : còn ở thời ựiểm t + dt sẽ là:

độ biến thiên xung lượng toàn phần của hệ là:

(4-2) Trong ựó chúng ta ựã bỏ qua ựại lượng vô cùng bé bậc hai dM Gọi tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ là , chia (4-2) cho dt và áp dụng phương trình chuyển ựộng ta có:

đó là phương trình chuyển ựộng của chất ựiểm mà ta ựã biết

Nếu chú ý rằng: chắnh là vận tốc tương ựối của khắ phụt ra so với tên lửa

Số hạng có thứ nguyên của lực, gọi là phản lực

Như vậy vectơ gia tốc của tên lửa phụ thuộc vào tổng các ngoại lực (Trọng lực, lực cản

…) và cả phản lực nữa Thay ñổi phản lực về ñộ lớn và chiều có thể ñiều khiển cho tên lửa ñi theo quỹ ñạo mong muốn

Trong trường hợp ngoại lực bằng không, hoặc có thể bỏ qua, và ñặt vận tốc tương ñối của khí phụt ra là có giá trị không ñổi mà hướng về phía sau tên lửa, chúng ta

có thể xác ñịnh ñược vận tốc của tên lửa theo ñộ biến thiên khối lượng của nó

Chúng ta hãy thiết lập phương trình chuyển ñộng của tên lửa Gọi M là khối lượng của tên lửa; là vận tốc của tên lửa ở một thời ñiểm t nào ñó Gọi là vận tốc của dòng khí phụt ra phía sau Sau khoảng thời gian dt, khối lượng của tên lửa biến thiên và trở thành

M + dM, khối lượng khí phụt ra là: -dM, vận tốc của tên lửa là; Xung lượng của tên lửa ở thời ñiểm t là : còn ở thời ñiểm t + dt sẽ là:

(M + dM) (4-1)

độ biến thiên xung lượng toàn phần của hệ là:

(4-2) Trong ựó chúng ta ựã bỏ qua ựại lượng vô cùng bé bậc hai dM Gọi tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ là , chia (4-2) cho dt và áp dụng phương trình chuyển ựộng ta có:

đó là phương trình chuyển ựộng của chất ựiểm mà ta ựã biết

Nếu chú ý rằng: chắnh là vận tốc tương ựối của khắ phụt ra so với tên lửa

Số hạng có thứ nguyên của lực, gọi là phản lực

Như vậy vectơ gia tốc của tên lửa phụ thuộc vào tổng các ngoại lực (Trọng lực, lực cản

Ầ) và cả phản lực nữa Thay ựổi phản lực về ựộ lớn và chiều có thể ựiều khiển cho tên lửa ựi theo quỹ ựạo mong muốn

Trong trường hợp ngoại lực bằng không, hoặc có thể bỏ qua, và ựặt vận tốc tương ựối của khắ phụt ra là có giá trị không ựổi mà hướng về phắa sau tên lửa, chúng ta

có thể xác ựịnh ựược vận tốc của tên lửa theo ựộ biến thiên khối lượng của nó

Chương IV: Trường lực thế và trường hấp dẫn

Khái niệm và tính chất của trường lực thế Thế năng và cơ năng trong trường lực thế

Các trường lực thế thường gặp ñó là: trường lực hấp dẫn của trái ñất (gọi là trường trọng lực): trường lực ñàn hồi…

2.TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG LỰC THẾ:

Tính chất của trường lực thế ñó là: Công của lực của trường ñể ñưa một chất ñiểm từ ñiểm này ñến ñiểm khác không phụ thuộc vào dạng quãng ñường ñi, mà chỉ phụ thuộc vào ñiểm ñầu và ñiểm cuối

Nói cách khác nếu ta lấy hai ñiểm bất kỳ (1) và (2)

nối chúng lại bằng hai ñường cong tùy ý a và b, thì

công A12 ñể ñưa chất ñiểm từ (1) ñến (2) theo ñường

cong a hay ñường cong b là như nhau.(Hình 1-1)

Chú ý rằng, vì trường lực không ñổi nên ñổi chiều

chuyển dời ngược lại thì công ñổi dấu

A1a2 = A1b2 = -A2b1 (1-1)

A1a2 + A2b1 = 0 (1-2)

Công sinh ra theo một ñường cong kín trong trường lực thế thì bằng không

(1-3)

3.THẾ NĂNG VÀ CƠ NĂNG CỦA TRƯỞNG LỰC THẾ:

ðể ñơn giản chúng ta xét trường lực thế ñại diện và trường gặp nhất ñó là trọng trường

Vì công của trọng trường chỉ phụ thuộc vào ñiểm ñầu và ñiểm cuối nên ta có ñịnh nghĩa sau:

Thế năng của chất ñiểm trong trọng trường là một ñại lượng phụ thuộc vị trí của chất ñiểm sao cho ñộ giảm thế năng chất ñiểm từ (1) ñến (2) có trị số bằng công của trọng trường ñể ñưa chất ñiểm từ (1) ñến ñiểm (2)

Ký hiệu thế năng của chất ñiểm trong trọng trường là Et ta có:

(Et)1 - (Et)2 = A12 (1-4)

Với (Et)1 là thế năng tại ñiểm (1): (Et)1= mgh1 + C

(Et)2 là thế năng tại ñiểm (2): (Et)2 = mgh2 + C

C: là hằng số tích phân, xác ñịnh dựa vào các ñiều kiện ban ñầu của bài toán, có thể ñược chọn tùy ý

Vậy thế năng của chất ñiểm có khối lượng m, ở cách mặt ñất chiều cao h ñược cho bởi công thức:

Et = mgh + C (1-5)

Thế năng của một số trường lực khác như sau:

3.1.Trường lực ñàn hồi:

3.2.Trọng trường:

3.3.Trường tĩnh ñiện:

Cơ năng của trường lực thế:

Cũng như các trường lực khác khi chất ñiểm chuyển ñộng trong trường với vận tốc thì

nó có ñộng năng là Eñ và chúng ta có biểu thức công tương ứng như sau:

Hệ quả: Nếu chất ñiểm chuyển dời theo ñường cong kín trong trường lực thế thì công của lực tác dụng bằng không

Trong trường lực thế có thể ñịnh nghĩa thế năng như sau: Công của lực tác dụng lên chất ñiểm trong trường lực thế có trị số bằng ñộ giảm thế năng của chất ñiểm trong trường lực ñó Thế năng của chất ñiểm Et trong trường lực thế phụ thuộc vị trí của chất ñiểm, nói cách khác thế năng là một hàm của tọa ñộ x, y, z của chất ñiểm

Sơ ñồ thế năng

Nếu chuyển ñộng của chất ñiểm chỉ giới hạn trên một ñường cong xác ñịnh thì ta gọi ñó

là chuyển ñộng với một bậc tự do hoặc là chuyển ñộng một thứ nguyên Muốn xác ñịnh

vị trí của hạt thì chỉ cần một tọa ñộ là khoảng cách dọc theo ñường cong tới một ñiểm nào

ñó, cùng trên ñường cong, ñược chọn làm gốc tọa ñộ Thế năng của hạt chuyển ñộng một thứ nguyên là hàm chỉ của tọa ñộ ấy mà thôi Gọi tọa ñộ là x ta có:

E(t) = E(x) (2-1)

Theo ñịnh luật bảo toàn năng lượng:

(2-2)

Vì ñộng năng luôn luôn dương nên:

ðiều ñó có nghĩa là hạt chỉ có thể có mặt ở những vùng mà thế năng của nó không lớn quá năng lượng toàn phần, các nghiệm của phương trình (2-2) sẽ cho ta những vị trí giới hạn trong chuyển ñộng của hạt Như vậy biết dạng cụ thể của ñường biểu diễn thế năng

và năng lượng toàn phần của hạt, ta có thể xác ñịnh ñược hạt có thể chuyển ñộng trong những vùng nào, và cả tính chất chuyển ñộng của hạt ñó

Thí dụ: Giả sử thế năng E(x) có dạng như hình (1-2) có một cực ñại x4, một cực tiểu ở x2, triệt tiêu khi x = , và bằng vô cùng khi x = 0 Ta sẽ ñường E(x) = E, song song với trục

x và giả sử cắt ñường thế năng E(x) tại các ñiểm x1, x3, x5 chia không gian làm 4 vùng

Vì hạt chỉ có thể có mặt ở những vùng mà thế năng bé hơn năng lượng toàn phần, cho nên chuyển ñộng chỉ có thể xãy ra ở vùng II và vùng IV và hạt không thể lọt sang vùng I

giảm thế năng, lúc ñó lực dương hạt chuyển ñộng nhanh dần tới x2 ở ñây thế năng cực tiểu, lực bằng không hạt lại có ñộng năng và vận tốc cực ñại Vượt quá ñiểm x2 thế năng tăng, nên lực âm sẽ làm cho hạt giảm tốc ñộ cho tới x3, ở ñó năng lượng toàn phần bằng thế năng, ñộng năng và vận tốc của hạt bằng không Dưới tác dụng của lực âm hạt quay lại và chuyển ñộng về x2, chuyển ñộng như vậy cứ lặp lại mãi mãi Tức là hạt chuyển ñộng có tính chất tuần hoàn với chu kỳ bằng thời gian nó ñi từ x1 ñến x3 quay trở lại x1

ðiểm x2 ở ñó thế năng cực tiểu, lực bằng không gọi là vị trí cân bằng của hạt Khi hạt lệch ra ngoài thì xuất hiện các lực có xu hướng kéo nó trở về vị trí cũ Vậy ñiểm ứng với thế năng cực tiểu là vị trí cân bằng bền

Bây giờ ta xét chuyển ñộng trong vùng IV Trong vùng này hạt có thể ñi ra xa vô cực Giả sử hạt chuyển ñộng từ ñiểm x5 ở ñây thế năng bằng không năng lượng toàn phần, ñộng năng và vận tốc của hạt bằng không Dưới tác dụng của lực dương, hạt sẽ chuyển ñộng về phía phải và không ngừng gia tốc, ở vô cực thế năng bằng không và lúc ñó vận tốc của hạt là V = 2mE Nếu ngược lại, hạt bắt ñầu chuyển ñộng từ vô cực lại thì nó sẽ không ngừng giảm tốc cho tới ñiểm x5 thì vận tốc của nó triệt tiêu Ở ñiểm này hạt quay trở lại và ñi xa vô cực, không trở về nữa

ðiều ñáng chú ý là hạt với năng lượng E có khả năng chuyển ñộng ở cả hai vùng II và

IV, nhưng một khi nó ở vùng này thì không thể sang vùng khác bởi vì hai vùng này ñược ngăn cách bởi vùng III – gọi là vùng cấm Ở ñó thế năng lớn hơn năng lượng toàn phần của hạt Vùng cấm ñược gọi là hàng rào thế Vùng II là vùng buộc hạt chuyển ñộng giới nội gọi là hố thế Bề dày của hàng rào thế hay hố thế phụ thuộc vào năng lượng của hạt Trong trường hợp ñang xét trên khi năng lượng giảm bề dầy hàng rào thế năng tăng, còn

bề dày của hố thế sẽ giảm và cuối cùng chỉ thu lại một ñiểm E = Emin Ngược lại khi năng lượng tăng, hàng rào thế năng hẹp lại

Vùng chuyển ñộng giới nội mở mãi và cuối cùng khi E > Emax, hàng rào thế biến mất, bấy giờ cũng mất luôn vùng dao ñộng của hạt, chỉ còn là ra xa vô cực

Như vậy chuyển ñộng trong một trường lực có thể giới nội hay ra xa vô cực tùy theo năng lượng của hạt

Trong lĩnh vực phân tử và nguyên tử, chúng ta thường gặp dạng thế năng ở (Hình 2-2) Trong trường hợp ấy, hạt có năng lượng âm sẽ bị ràng buộc trong hố thế và chuyển ñộng giới nội Năng lượng dương sẽ ứng với chuyển ñộng ra xa vô cực

Một cách tổng quát nếu thế năng bằng không ở vô cực thì chuyển ñộng với năng lượng

âm bắt buộc phải giới nội Bởi vì nếu hạt ra xa vô cực bấy giờ nó chỉ có ñộng năng mà thôi (thế năng bằng không) mà ñộng năng thì không thể âm ñược

Trường hấp dẫn

Nhiều hiện tượng trong tự nhiên chứng tỏ rằng mọi vật có khối lượng luôn luôn tác dụng lên nhau những lực hút Trong lực là lực hút quả ñất ñối với các vật xung quanh nó Quả ñất quay xung quanh mặt trời là do lực hút của mặt trời, mặt trăng quay xung quanh quả ñất là do lực hút của quả ñất Giữa các sao trong vũ trụ cũng có lực hút lẫn nhau

v.v…Các lực hút ñó là lực hấp dẫn vũ trụ Giữa các vật xung quanh ta cũng có lực hấp dẫn vũ trụ, nhưng nó rất nhỏ ta không quan sát ñược Newton là người ñầu tiên nêu lên ñịnh luật cơ bản về lực hấp dẫn vũ trụ, còn gọi là ñịnh luật vạn vật hấp dẫn

1.ðỊNH LUẬT VẠN VẬT HẤP DẪN:

Hai chất ñiểm khối lượng m1 và m2 ñặt cách nhau một khoảng r sẽ hút nhau bằng những lực có phương là ñường thẳng nối hai chất ñiểm ñó, có trị số tỷ lệ thuận với hai khối lượng m1 và m2 và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách r

(3-1) Trong ñó G là một hệ số tỷ lệ chung, không phụ thuộc bản chất các vật tương tác Dấu trừ chỉ lực F luôn là lực hút ðại lượng G còn gọi là hằng số hấp dẫn vũ trụ: G = 6,68.10-11m3/Kg.s2

Về nguyên tắc, biểu thức của lực hấp dẫn (3-1) ñưa nó vào phương trình chuyển ñộng

ta sẽ rút ra các ñặc ñiểm chuyển ñộng của chất ñiểm Ngoài ra chúng ta ñã biết mối liên hệ giữa lực và thế năng cho nên từ biểu thức của lực hấp dẫn ta có: