Lý thuyết các tập hợp số

Trong phạm vi chương này, tài liệu sẽ giới thiệu hai phương pháp xây dựng tập hợp số tự nhiên dựa vào khái niệm bản số và dựa vào hệ tiên đề Peano, qua đó chứng minh được tập hợp số tự n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

Tài liệu giảng dạy “Lý thuyết các tập hợp số” do tác giả Phạm Mỹ Hạnh, công tác tại Khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Khoa thông qua ngày 24 tháng 05 năm 2018

Tác giả biên soạn

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết các tập hợp số là môn học cơ bản của Toán cao cấp và đã có rất nhiều giáo trình, tài liệu biên soạn về nội dung này Đây chính là nguồn tư liệu học tập và tham khảo bổ ích cho các sinh viên và giảng viên

Đối với trường Đại học An Giang, môn Lý thuyết số được giảng dạy cho sinh viên năm thứ tư chuyên ngành Toán Đây là một trong những môn học chuyên ngành giúp hệ thống cách xây dựng các tập hợp số và mối quan hệ giữa chúng Các kiến thức về tập hợp số cũng là những kiến thức cơ bản và cần thiết mà sinh viên chuyên ngành Toán cần nắm vững và áp dụng vào giảng dạy một cách thành thạo

Theo tác giả, muốn nắm vững kiến thức môn học này, sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm cơ bản, trình bày được các ví dụ cụ thể và giải nhiều dạng bài tập để củng

cố thêm kiến thức Dựa trên chương trình khung của ngành Sư phạm Toán và chương trình chi tiết môn Lý thuyết số thì tài liệu được bố cục thành các chương sau:

Chương 7 Tập hợp số trong chương trình toán phổ thông

Mặc dù trong quá trình biên soạn, bản thân tác giả đã có nhiều cố gắng, nhưng tài liệu vẫn không tránh khỏi những mặt hạn chế và các thiếu sót nhất định Tác giả mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của quý đồng nghiệp và sinh viên để tài liệu này ngày càng hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cám ơn./

LỜI CẢM TẠ

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô bộ môn Toán, khoa Sư phạm

đã nhiệt tình đọc bản thảo tài liệu và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để tài liệu ngày càng được hoàn thiện hơn

Tác giả cũng xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến Thầy Đinh Quốc Huy, bộ môn Giáo dục Tiểu học đã giúp đỡ và cung cấp nhiều tài liệu tham khảo quý báu trong quá trình biên soạn tài liệu

An Giang, ngày 01 tháng 6 năm 2018

Người thực hiện

PHẠM MỸ HẠNH

LỜI CAM KẾT

Tôi xin cam đoan đây là tài liệu giảng dạy của riêng tôi Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng

An Giang, ngày 01 tháng 06 năm 2018

Người biên soạn

PHẠM MỸ HẠNH

2.3 Lý thuyết chia hết trong tập hợp số nguyên 27

3.1 Xây dựng tập hợp số hữu tỉ  từ tập hợp    * 34 3.2 Xây dựng tập hợp số hữu tỉ dương từ tập hợp số tự nhiên  37

3.4 Liên phân số, số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn 41

6.3 Thực hành các phép toán trong hệ ghi cơ số g 83

6.4 Dấu hiệu chia hết 86

CHƯƠNG 7 TẬP HỢP SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 92

7.2 Phương pháp xây dựng các tập hợp số trong chương trình THPT 94 7.3 Sơ lược về các tập hợp số trong chương trình phổ thông 98

CHƯƠNG 1 TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN

Trong lịch sử toán học, số tự nhiên ra đời do nhu cầu nhận biết và đếm số lượng của đồ vật Con người nhận thức số lượng một đồ vật nào đó bằng cách so sánh nó với một tập hợp đã biết rõ số lượng Tập hợp này được gọi là tập hợp chuẩn Từ đó hình thành sự tương ứng một-một, hay một song ánh từ tập hợp cần đếm số lượng đến tập hợp chuẩn Khái niệm hai tập hợp tương đương, hay các tập hợp có cùng lực lượng cũng được hình thành

Trong chương trình toán tiểu học, khi hình thành các số tự nhiên đầu tiên cho học sinh, một số yếu tố của lý thuyết tập hợp đã được giáo viên sử dụng dưới dạng trực giác và ngầm ẩn Để hình thành các biểu tượng “nhiều hơn”, “ít hơn”, “bằng nhau”, người ta sử dụng các tập hợp đồ vật và sự tương ứng hay ngầm hình thành số tự nhiên dựa vào khái niệm bản số Việc so sánh số tự nhiên cũng gắn liền với hình thành các biểu tượng về tập hợp con và bản sổ của một tập hợp

Trong phạm vi chương này, tài liệu sẽ giới thiệu hai phương pháp xây dựng tập hợp số tự nhiên dựa vào khái niệm bản số và dựa vào hệ tiên đề Peano, qua đó chứng minh được tập hợp số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường là tập sắp thứ

tự tốt và Archimede

1.1 Bản số của tập hợp

1.1.1 Quan hệ tương đương trên các tập hợp

Định nghĩa 1.1 Cho A và B là hai tập hợp tùy ý Tập hợp A được gọi là tương

đương với tập hợp B nếu tồn tại một song ánh từ A đến B

Ký hiệu: A B

Nhận xét:

1) Quan hệ hai ngôi giữa các tập hợp được xác định như trên là một quan hệ tương đương, vì thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu

2) Dựa vào quan hệ tương đương này ta có thể hình thành các lớp tương đương

và phần tử đại diện cho từng lớp tương đương đó

Ví dụ 1 Trong tam giác ABC, tập hợp các điểm của cạnh AB, ký hiệu [AB] và

tập hợp các điểm của cạnh CB, ký hiệu [CB] là hai tập hợp tương đương

Ví dụ 2 Tập hợp các điểm nằm trên nửa đường tròn đường kính AB và tập hợp

các điểm của đoạn thẳng AB là hai tập hợp tương đương

Định lý 1.2 Quan hệ tương đương giữa các tập hợp bảo toàn qua phép lấy tích

Descartes và phép lấy hợp hai tập hợp Cụ thể,

i) Nếu A A và 1 B B thì 1 A B A1 B 1.

Định lý 1.3 (Định lý Cantor) Với A và B là hai tập hợp tùy ý, luôn xảy ra ít

nhất một trong hai trường hợp sau đây:

i) A tương đương với một tập hợp con của B

ii) B tương đương với một tập hợp con củaA

Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì A và B tương đương với nhau

2) Tập hợp A là hữu hạn khi mọi đơn ánhf từ Avào chính nó đều là toàn ánh

3) Tập hợp A tương đương với một tập con của tập hợp B nếu tồn tại một đơn

ánh f từ A đến B

Ví dụ 3

1) Tập hợp A { ; }a b là tập hữu hạn vì A có hai tập con thực sự là a và b

và không có tập con thực sự nào của Atương đương với chính nó

2) Tập hợp rỗng là tập hợp hữu hạn vì nó không có tập con thực sự nào

3) Tập hợp các điểm của đoạn thẳng AB (với A B) là tập hợp vô hạn Vì nếu

C là một điểm nằm giữa AB, thì đoạn thẳng AC là một bộ phận của đoạn thẳng AB

nhưng tương đương với AB vì cùng tương đương với AD

Định lý 1.5

i) Mọi tập hợp tương đương với tập hữu hạn là tập hợp hữu hạn

ii) Mọi tập hợp con của một tập hợp hữu hạn là hữu hạn Mọi tập hợp chứa một tập hợp con vô hạn là tập hợp vô hạn

iii) Mọi tập hợp tương đương với một tập hợp con của một tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn

iv) NếuA và B là hai tập hợp hữu hạn và chúng tương đương với nhau thì

Nếu A B ta xét hai khả năng sau:

a) Nếu A B thì A B\ A và B A\ B từ đó suy ra điều phải chứng minh

b) Nếu A B giả sử A B\ không tương đương với B A\ áp dụng định

lý Cantor, tập hợp A B\ tương đương với tập hợp con thực sự B của 1 B A\ Khi

Chứng minh được f là một song ánh nên A B (mâu thuẫn) 2

v) Để chứng minh tính chất v) từ tính chất iv) suy ra A2\ A1 A1\ A 2 Khi đó tồn tại song ánh g A : 2\ A1 A1\ A Chứng minh được ánh xạ 2.

Vì B B là các tập hợp hữu hạn nên , B B \ B \ B và B \ B B A khi

đó \ B B B A suy ra tồn tại một song ánh : g B B \ B A

Ta có AB ( \ )A B (AB)( \ )B A áp dụng trường hợp trên với

ChoA B, là hai tập hợp hữu hạn, ta cần chứng minh tập hợpA B cũng là một tập hợp hữu hạn

Kiểm tra đượcf là song ánh nên a B B

Nếu tập hợp Acó nhiều hơn một phần tử thì biểu diễn { }

a A

trên A Blà tập hợp hữu hạn ■

1.1.3 Bản số của một tập hợp

Định nghĩa 1.8 Nếu hai tập hợp A và Btương đương với nhau thì chúng được

gọi là có cùng một lực lượng hay có cùng bản số

Ký hiệu: Bản số của tập hợp A là: Card A

Card A a Card B b Khi đó "a được gọi là nhỏ hơn hay bằng b"

Ký hiệu: a b khi và chỉ khi A B và 1 B1 B

Nếu A tương đương với một tập con thực sự B của 1 B thì a b

Nếu anhỏ hơn hay bằng b thì b được gọi là lớn hơn hay bằng a

Ký hiệu: b a

Nhận xét:

Mỗi tập hợp những bản số cùng với quan hệ hai ngôi “  ” vừa được định nghĩa là một tập hợp sắp thứ tự toàn phần, tức là tồn tại một quan hệ thứ tự và với hai phần tử ,

a b bất kỳ đều có a b hoặc b a

Định nghĩa 1.10 Với mỗi tập hợp E những bản số đã cho, E , tồn tại các bản số a và b được gọi là cận dưới (có thể hiểu là chặn dưới lớn nhất) và cận trên (có thể hiểu là chặn trên bé nhất) của E.

Ký hiệu: a inf( )E và b sup( )E thỏa mãn các điều kiện sau:

1) a x b , x với mọi x E

2) Nếu ylà một bản số sao cho y x với mọi x E thì y a

3) Nếu z là một bản số sao cho z x với mọi x E thì z b

Nếu chọn X = {1  } thì X là tập hữu hạn và bản số của nó là một số tự nhiên 1

Ký hiệu: 1, hay Card X 1 1 Hiển nhiên: 0 < 1

Đặt X = {2  , {  }} ta được Card X 2  2.

Tiếp tục làm như thế ta sẽ có các số tự nhiên quen thuộc 3  4  …

Từ đó, ta xây dựng được một dãy các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4,…

Nhận xét:

1) Vì tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp nên 0 là số tự nhiên bé

nhất, hay 0 x , x

2) Với x ,x 0 thì x 1.

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong tập hợp số tự nhiên

Định nghĩa 1.13 Cho x y, là hai số tự nhiên và X Y, là hai tập hợp hữu hạn thỏa

( )

Card X x và Card Y( ) y. Ta nói “x nhỏ hơn hay bằng y”

Ký hiệu: x y nếu X tương đương với một tập hợp con của Y

Nhận xét:

1) Giả sử a Card A( ) và b Card B( ) khi đó a b nếu tồn tại một đơn ánh

2) Vì tập hợp tất cả các số tự nhiên là một tập hợp những bản số, nên cùng với quan hệ thứ tự đã xác định giữa các bản số là một tập hợp sắp thứ tự toàn phần

Định nghĩa 1.14 Cho x y, là hai số tự nhiên, x y Giả sử X Y, là hai tập hữu hạn mà Card X( ) x và Card Y( ) y ta chọn hai tập hợp X Y, sao cho X Y khi

đó y được gọi là số kề sau của x (hay x được gọi là số kề trước của y ) nếu

i) Số 0 không phải là số kề sau của bất kỳ một số tự nhiên nào

ii) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số kề sau của một số tự nhiên

iii) Nếu a b, là hai số tự nhiên mà a b thì a b.

Chứng minh:

i) Vì tập hợp rỗng không chứa bất kỳ tập con thực sự nào nên 0 không là số

kề sau của bất kỳ số tự nhiên nào

ii) Cho a là số tự nhiên khác 0, a Card A( ) với tập hợp A Khi đó tồn tại x A Xét tập hợp A A \ { } x khi đó A là tập hữu hạn và alà số kề sau của

a CardA b CardB Vì A B nên B A\ khi đó tồn tại x B A\ Suy

raA { }x B. Vậy a Card A ( { }) x là số kề sau của a và a b.■

Đinh lý 1.16 Tập hợp  tất cả các số tự nhiên là một tập hợp vô hạn

Chứng minh:

Xét ánh xạ f : xác định bởi f x ( ) x Dựa vào các tính chất của số kề sau, chứng minh được f là một đơn ánh nhưng không là toàn ánh vì 0 f( ).

Vậy  * hay tập hợp  tất cả các số tự nhiên là một tập hợp vô hạn ■

1.2.3 Các phép toán trên các số tự nhiên

Vì phép lấy hợp và lấy tích Descartes các tập hợp hữu hạn là những tập hợp hữu hạn, đồng thời phép lấy hợp và tích Descartes bảo toàn tính tương đương giữa các tập hợp nên ta định nghĩa phép cộng và phép nhân hai số tự nhiên như sau

Định nghĩa 1.17 Cho a b, là các số tự nhiên Giả sử A B, là hai tập hợp hữu hạn

mà CardA a CardB, bvà A B

 Phép toán     

( , ) a b a b Card A B( )

được gọi là phép cộng các số tự nhiên, kết quả của phép cộng trên các số a b,

được gọi là tổng của a b,

 Phép toán     

a b , a b = Card A B( )

được gọi là phép nhân các số tự nhiên, kết quả của phép nhân trên các số a b,

được gọi là tích của avà b

4) Với mọi số tự nhiên a b c, , nếu a b a c thì b c.

5) Phép nhân có tính chất giao hoán, với mọi số tự nhiên a b, thì a b b a

6) Phép nhân có tính chất kết hợp, với mọi số tự nhiên a b c, , thì

.( ) ( )

a b c a b c

7) Số 1 là phần tử trung hòa của  đối với phép nhân (phần tử đơn vị), với mọi số

tự nhiên a, thì a.1 1.a a

8) Với mọi số tự nhiên a b c, , và a 0 nếu a b a c thì b c

9) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, với mọi số tự nhiên a b c, , thì

a b c a b a c

Định nghĩa 1.18 Cho a b, là hai số tự nhiên, nếu tồn tại số tự nhiên x thỏa

x b a thì x được gọi là hiệu của a và b (theo thứ tự a trước, b sau) Phép

tìm hiệu hai số tự nhiên được gọi là phép trừ

Nhận xét:

1) Không có điều kiện cụ thể để xác định sự tồn tại thương a b: trong đó

q r thỏa a b q r với 0 r b Khi đó q và r được gọi là thương và dư trong

phép chia acho b. Khi r 0 thì ađược gọi là chia hết cho b

Định nghĩa 1.20 Cho alà một số tự nhiên và n *khi đó lũy thừa bậc ncủa

Định nghĩa 1.21 Tập hợp Acùng với một quan hệ thứ tự được gọi là sắp thứ tự

tốt nếu mọi tập hợp con khác rỗng của nó đều có phần tử nhỏ nhất

Tập hợp  các số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường là một tập sắp thứ tự tốt, nghĩa là mọi tập hợp con khác tập hợp rỗng của  đều có phần tử nhỏ nhất

Nhận xét:

1) Mọi tập hợp con M khác tập hợp rỗng và bị chặn trên của tập hợp  đều có

phần tử lớn nhất, hay tồn tại số tự nhiên a sao cho x a với mọi x M

2) Tính sắp thứ tự tốt của tập hợp số tự nhiên được sử dụng nhiều trong các dạng toán tìm phần tử của một tập hợp thỏa điều kiện cho trước

i) Với mọi số tự nhiên a b, thì a a b

ii) Với mọi số tự nhiên , ( a b b 0) thì a a b

iii) Với mọi số tự nhiên a b c, , thì a b a c b c

iv) Với mọi số tự nhiên , , ( a b c c 0) thì a b a c b c

1.3.2 Nguyên lý quy nạp

Định nghĩa 1.24 Cho n *, tập hợp sn x | x n được gọi là đoạn

n số tự nhiên đầu tiên hay gọi tắt là đoạn đầu s n.

Ví dụ 4 s0 , s1 0

Nhận xét:

1) Card s { }n n

2) Nếu Xlà một tập hợp hữu hạn và Card X( ) x thì X và s là hai tập hợp x

tương đương

Định lý 1.25 (Tiên đề qui nạp) Mọi tập hợp conM của tập hợp các số tự nhiên

 nếu thỏa mãn hai điều kiện:

Định lý 1.26 (Phép chứng minh bằng quy nạp) Nếu một hàm mệnh đề T n( )

nào đó phụ thuộc vào số tự nhiên n thỏa mãn các điều kiện sau:

i) T(0)là mệnh đề đúng

ii) Nếu T n( )là mệnh đề đúng thì mệnh đề ( ) T n đúng với nlà số liền sau của n

Khi đó mệnh đề T n( )đúng với mọi số tự nhiên n

Khi đó T n( ) là mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n

2) Nếu một hàm mệnh đề T n( )nào đó phụ thuộc vào số tự nhiên nthỏa mãn các điều kiện sau đây:

a) T a( )đúng

b) Nếu T n( ) đúng ( n a ) thì ( ) T n đúng

Khi đó T n( )là mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n a

3) Định lý trên gồm hai phần, việc kiểm tra cả hai điều kiện cần được áp dụng đầy đủ, nếu bỏ đi một trong hai điều kiện đó thì sẽ nhận được kết luận sai

Điều kiện đầu tạo ra cơ sở để thực hiện qui nạp Điều kiện sau đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác

Ví dụ 5 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên kề sau nó

(Ta chứng minh theo phương pháp qui nạp nhưng bỏ bước kiểm tra điều kiện đầu)

Giả sử mệnh đề đúng với n k nghĩa là k k 1

Ta sẽ chứng minh đẳng thức: k 1 k 2.

Suy ra tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau! (Vô lý)

1.3.3 Một số dạng chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Đây là phương pháp chứng minh một khẳng định mang tính khái quát bằng cách xét hết tất cả các trường hợp có thể xảy ra Khi vận dụng phương pháp chứng minh này cần lựa chọn tiêu chí hợp lý để không bỏ sót các trường hợp khi phân chia và thuận lợi cho việc khai thác các dữ liệu đã cho

Chứng minh trực tiếp bằng phương pháp quy nạp toán học Bao gồm các dạng

sau:

+ Dạng quy nạp thông thường: Để chứng minh một kết luận ( ) nào đó về số

tự nhiên n đúng với mọi số tự nhiên, ta chỉ cần thực hiện ba bước sau:

1 Kiểm tra khẳng định ( ) đúng khi n 0.

2 Giả sử khẳng định đúng với một số tự nhiên k bất kỳ, chứng minh rằng khẳng định đó đúng với k 1.

3 Khẳng định kết luận đúng với mọi số tự nhiên

+ Dạng quy nạp suy rộng Để chứng minh một kết luận ( ) nào đó về số tự nhiên n đúng với mọi số tự nhiên ta chỉ cần thực hiện ba bước sau:

1 Kiểm tra khẳng định ( ) đúng khi n a

2 Giả sử khẳng định đúng với một số tự nhiên k bất kỳ lớn hơn hay bằng a

chứng minh được khẳng định đó đúng với k 1.

3 Khẳng định kết luận đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn hay bằng a

+ Dạng quy nạp lùi Để chứng minh một kết luận ( ) nào đó về số tự nhiên n

đúng với mọi số tự nhiên ta chỉ cần thực hiện bốn bước sau:

4 Khẳng định kết luận đúng với mọi số tự nhiên

1.4 Xây dựng tập hợp số tự nhiên bằng hệ tiên đề Peano

Ngoài cách xây dựng tập hợp số tự nhiên dựa vào bản số, người ta còn xây dựng tập hợp số tự nhiên bằng phương pháp tiên đề Nghĩa là thừa nhận một số tối thiểu mệnh đề cơ bản đặc trưng cho tập hợp này (các tiên đề) từ đó suy ra tất cả các tính chất của tập hợp số tự nhiên Hệ tiên đề sau đây được giới thiệu bởi nhà toán học Italia tên Giuseppe Peano (1891)

1.4.1 Hệ tiên đề Peano

Khái niệm cơ bản: Số tự nhiên (ký hiệu bởi các chữ cái thường)

Quan hệ cơ bản: Số kề sau

Ký hiệu tập hợp tất cả các số tự nhiên là

Các tiên đề:

I/ Có số tự nhiên 0 không là số kề sau

II/ Mỗi số tự nhiên có một và chỉ một số kề sau

III/ Mỗi số tự nhiên là số kề sau của không quá một số (nếu có)

IV/ Nếu tập hợp con M tùy ý của tập hợp số tự nhiên thỏa hai tính chất:

1) 0 M

2) Nếu n thỏa điều kiện nMthì số kề sau của nó n M

Khi đó tập hợpM trùng với tập hợp số tự nhiên

1.4.2 Các phép toán trên  trong hệ tiên đề Peano

Phép cộng các số tự nhiên được định nghĩa là một ánh xạ xác định bởi

+ :     

a b , a b

sao cho a : a 0 a và a b , : ( a b ) ( a b )

Phép nhân các số tự nhiên được định nghĩa là một ánh xạ xác định bởi

q r thỏa điều kiện m q2 r với 0 r 2.q 1.

3 Cho hai số tự nhiên a b, với a 0 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên m

sao cho m a b

4 Xét song ánh f : Chứng minh các mệnh đề sau:

a) Tồn tại số tự nhiên n sao cho f(0) f n( ).

b) Tồn tại các số tự nhiên k m n, , thỏa k m n và

b) 1 3 5 2 n 1 n 2

c) 2 4 6 2n n n( 1)

8 Chứng minh các khẳng định sau:

a) Phương trình 8x4 4y4 2z4 t4không có nghiệm tự nhiên nào khác ngoài nghiệm (0, 0, 0, 0)

b) Phương trình x2 y2 z2 u2 2xyzu không có nghiệm tự nhiên nào khác ngoài nghiệm (0, 0, 0, 0)

9 Một số gồm 3 chữ số liên tiếp Chứng minh rằng hiệu giữa số có các chữ số viết theo thứ tự ngược lại và số đó bao giờ cũng bằng 198

10 Chứng minh rằng tập hợp số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường

là tập sắp thứ tự tốt

11 Chứng minh rằng tập hợp số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường

là tập sắp thứ tự Archimede

12 Chứng minh rằng số gồm 3nchữ số giống nhau chia hết cho 3 n

13 Cho ánh xạ f : * * thỏa mãn f n( 1) f f n( ( )),với n *

Chứng minh rằng ( ) n với mọi n *.

14 Một sinh viên gửi bức thư sau bằng tiếng Anh về nhà để xin tiền:

S E N D + M O R E

M O N E Y Nếu mỗi chữ cái ký hiệu một chữ số và hai chữ cái khác nhau ký hiệu cho hai chữ số khác nhau Hỏi bạn sinh viên đó muốn xin bao nhiêu tiền?

15 Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp với n 0 có đúng một số chia hết cho n

16 Chứng minh rằng trong n 1 số tự nhiên tùy ý có ít nhất hai số có hiệu chia hết cho n

17 Chứng minh các tính chất sau đối với phép cộng và phép nhân trong tập hợp

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Vì f là song ánh nên tồn tại n thỏa điều kiện f n( ) f(0) 1.

Vậy tồn tại số tự nhiên nsao cho f(0) f n( )

b) Xét tập hợp con A n | ( ) f n f (0) của tập hợp số tự nhiên

Kiểm tra A là tập khác rỗng và 0 A nên phần tử nhỏ nhất của A là một số

Nếu n m thì f n( ) f m( ) f(0) vô lý Suy ra n m

Do đó, chọn k 0 thì tồn tại các số tự nhiên k m n, , thỏa k m n và

7 Dùng phương pháp quy nạp chứng minh

8 a) Giả sử phương trình có nghiệm và x m y , n z , p t , r là một

nghiệm trong đó x mlà số dương nhỏ nhất trong các nghiệm

Bởi vậy x m y1, n z1, p t1, r cũng là nghiệm của (*) 1

Mâu thuẫn với giả thiết m là số dương nhỏ nhất vì m1 m Vậy phương trình

chỉ có nghiệm tầm thường

b) Chứng minh tương tự như câu a)

9 Giả sử x k k( 1)(k 2) k.100 (k 1).10 k 2 với k 0 khi đó ta

Nếu m 0 thì A {0} và m A

Nếu m 0 và nếu m A thì a m , a A

Gọi c là số tự nhiên mà c m khi đó a c, a A

Suy ra c thuộc vào Bmâu thuẫn với giả thiết m là số nhỏ nhất của B.

Vậy m A và m là số lớn nhất của A.

CHƯƠNG 2 TẬP HỢP SỐ NGUYÊN

Trong các hoạt động thực tiễn cuộc sống, tập hợp số tự nhiên  không đáp ứng

đủ nhu cầu tính toán của con người, cụ thể phép trừ hay phép chia trong tập hợp số tự nhiên không phải bao giờ cũng thực hiện được Vì thế, cần phải mở rộng tập hợp số

tự nhiên thành tập hợp số mới chứa nó trong đó phép trừ và phép chia luôn thực hiện được

Trong lịch sử toán học, con người biết đến số tự nhiên, số hữu tỉ dương, rồi đến tập hợp số nguyên Ngoài ra, học sinh tiểu học sau khi đã tiếp thu các kiến thức về số

tự nhiên sẽ được giáo viên hướng dẫn về tập hợp số hữu tỉ dương thông qua khái niệm phân số a

b với a b  , và b 0. Tập hợp số nguyên được giới thiệu cho học

sinh trong đầu chương trình toán bậc trung học cơ sở

Tuy nhiên, nhằm đảm bảo tính liên tục dựa trên cấu trúc đại số, tài liệu này sẽ trình bày theo hướng mở rộng từ vị nhóm cộng giao hoán thành một nhóm cộng giao hoán các số nguyên chứa , sau đó xây dựng cấu trúc vành, miền nguyên trên và xây dựng trường số hữu tỉ 

2) Mỗi phần tử của  là một lớp tương đương, đại diện bởi cặp số tự nhiên

2.1.2 Các phép toán trên tập hợp số nguyên 

Định nghĩa 2.2 Với x ( , )a b và y ( , )c d là hai số nguyên tùy ý, ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau:

Chứng minh tương tự cho trường hợp phép nhân thông qua kiểm tra hai khẳng định sau: ( , ).( , )a b c d ( , ).( , )a b  c d và ( , ).( , )a b  c d ( , ).( , ).a b  c d  ■

2.1.3 Xây dựng vành số nguyên 

Định lý 2.4 Tập hợp  cùng với phép cộng lập thành một nhóm giao hoán

Chứng minh:

Với x ( , );a b y ( , );c d z ( , )e f là các số nguyên tùy ý

Kiểm tra được phép cộng thỏa các tính chất sau:

- Phép cộng trong có tính chất kết hợp, (xy)  z x (yz)

- Phép cộng có tính chất giao hoán, x   y y x

- Tồn tại phần tử trung hòa là: ( , ).n n

- Phần tử đối xứng của phần tử x ( , )a b là  x ( , ).b a

Vậy (  ,+) là một nhóm giao hoán.■

Định lý 2.5 Tập hợp  cùng với phép nhân lập thành một vị nhóm giao hoán Chứng minh:

Với x ( , );a b y( , );c d z ( , )e f là các số nguyên tùy ý, kiểm tra được các tính chất sau:

- Phép nhân có tính chất kết hợp ( ).x y z x y z.( )

- Phép nhân có tính chất giao hoán x y y x

- Tồn tại phần tử đơn vị (n1, ).n

Vậy tập hợp  cùng với phép nhân lập thành một vị nhóm giao hoán.■

Định lý 2.6 Tập hợp số nguyên  cùng với phép cộng và phép nhân lập thành

một vành giao hoán có đơn vị

Vậy (, +, ) là một vành giao hoán có đơn vị.■

Định lý 2.7 Vành số nguyên  không có ước của không, hay  là một miền

nguyên

Chứng minh:

Với x ( , )a b và y ( , )c d là hai số nguyên khác không tùy ý

Khi đó a b c, d không mất tính tổng quát ta giả sử a  b

Theo định nghĩa phép nhân x y ( a cb d a d , b c )

Nếu x y  thì 0 a cb d a d b c suy ra a cb c a d b d  c d.Vậy y( , )c d  c c, mâu thuẫn với giả thiết y khác phần tử không

Do đó, tập hợp số nguyên  cùng với phép cộng và phép nhân là một miền nguyên.■

Hệ quả 2.8 Trong vành số nguyên , luật giản ước được thực hiện đối với mọi

phần tử khác phần tử không Cụ thể,

, , ( 0),

Định lý 2.9 Một số nguyên bất kỳ đều có thể viết được dưới dạng x ( , 0)n với

n   và số đối của số nguyên x là x (0, ).n

Chứng minh:

Giả sử x là một số nguyên bất kỳ x ( , )a b với a b  , khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 a  suy ra a b b    và  a b, (ab, 0) Đặt n a b thì ( , 0)

Trường hợp 2 a  thì b a b    và ( , )a b (0,b a ) Đặt m  b a thì (0, )

:( , 0)

Ngoài ra, với n m  , thì f n( m)f n( )f m( ) và f n m( )f n f m( ) ( )

Do đó, mỗi số tự nhiên n đồng nhất với ảnh ( ) f n ( , 0)n hay  và (0, )n   n

Vậy mỗi số nguyên là một số tự nhiên hay là số đối của một số tự nhiên

3) Phép toán cộng và phép nhân trên tập hợp số nguyên  khi thu hẹp trong tập

hợp số tự nhiên thì trùng với các phép cộng và phép nhân đã xác định trong 

Định lý 2.10 Vành các số nguyên  là một vành cực tiểu duy nhất chứa tập hợp

số tự nhiên  như là nửa nhóm con đối với phép toán cộng và nửa nhóm con đối với

phép toán nhân

Chứng minh:

Giả sử  là một vành con của vành số nguyên  và   chứa  Vì  là vành nên nó cũng chứa các phần tử đối của các số tự nhiên, do đó  chứa 

Ngược lại, giả sử X là một vành cực tiểu chứa tập hợp số tự nhiên như là nửa

nhóm con cộng và nửa nhóm con nhân, xét tập hợp

X  x X x  a b a b 

Kiểm tra được X  là một vành con của vành Xvà X 

Do đó X  trùng với Xvì đây là vành cực tiểu chứa X

Vậy mỗi phần tử của X hoặc là số tự nhiên hoặc là số đối của số tự nhiên, hay

Kiểm tra được f là một song ánh Vậy  ~ hay  có lực lượng đếm được

2.2 Quan hệ thứ tự trên vành số nguyên

Định nghĩa 2.12 Vành giao hoán Acùng với một quan hệ thứ tự toàn phần “”

được gọi là vành sắp thứ tự nếu hai điều kiện sau thỏa:

Với mọi x y, thuộc vành Athì:

1) Nếu x  thì x y    với mọi z y z zA

2) Nếu x 0,y thì 0 x y 0

Nhận xét:

1) Trong vành sắp thứ tự, phần tử lớn hơn 0 được gọi là phần tử dương, phần tử

nhỏ hơn 0 được gọi là phần tử âm

2) Nếu A là một vành sắp thứ tự thì tập hợp A x A x| 0 được gọi là

tập con dương của A và tập hợp Ax A| x A được gọi là tập con âm

của A

Định nghĩa 2.13 Chox y, là hai số nguyên tùy ý

Khi đó x được gọi là nhỏ hơn hay bằng y nếu y  x

1) Quan hệ thứ tự  xác định như trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong 

2) Phần tử x  khi và chỉ khi 0 x   Nếu x   mà x   thì x 0

3) Quan hệ thứ tự trên tập hợp số nguyên khi thu hẹp vào tập hợp số tự nhiên

 cho ta quan hệ thứ tự quen thuộc trên 

Định lý 2.14 Vành số nguyên  cùng quan hệ thứ tự vừa định nghĩa là một

3) Vì giữa số nguyên x và x  không có số nguyên nào khác nên vành số 1

nguyên  được gọi là sắp thứ tự rời rạc

Định lý 2.15 Vành số nguyên  thỏa tính chất sắp thứ tự Archimede Cụ thể với

mọi số nguyên x y, mà y  thì tồn tại số tự nhiên n sao cho 0 nyx

Chứng minh:

Nếu x  ta chọn 0 n 1 khi đó ny    y 0 x

Nếu x 0 chọn n   khi đó x 1 ny (x1)y x y  y x y x

Vậy vành số nguyên là vành sắp thứ tự Archimede.■

Định nghĩa 2.16 Giá trị tuyệt đối của số nguyên x ký hiệu , x là một số ,nguyên được xác định bởi:

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên luôn là một số tự nhiên

Định nghĩa 2.17 Tập hợp conM của tập số nguyên  được gọi là bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu tồn tại một số nguyên a sao cho x  (x a  ) với mọi a x M.Tập hợp con M được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và bị chặn dưới

2.3 Lý thuyết chia hết trong tập hợp số nguyên

2.3.1 Ước chung và ước chung lớn nhất

Định nghĩa 2.18 Cho a b, là hai số nguyên và b 0 Số nguyên a được gọi là chia hết cho b nếu tồn tại số nguyên q để a b q khi đó b được gọi là chia hết a

Nếu a chia hết cho bthì a được gọi là một bội của b, đồng thời b được gọi là một ước của a

3) Với mọi a,a0 thì a chia hết cho chính nó

4) Với hai số nguyên a b, tùy ý thỏa điều kiện a là ước của b và ngược lại b là

một ước của a thì a  b

5) Nếu a là một ước của b và b là một ước của c thì a là một ước của c

Định nghĩa 2.19 Nếu số nguyên d là ước của số nguyên a, đồng thời nó cũng

là ước của số nguyên b, thì d được gọi là một ước chung của a và b

Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất

Ký hiệu: ( , ).a b

Nếu ( , )a b 1 thì hai số a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau

Các số nguyên a a1 2, , ,a n được gọi là đôi một nguyên tố cùng nhau nếu với bất

kỳ hai số nguyên ,a a mà i i j  thì ( , )j a a  i j 1

Nhận xét:

1) Nếu d là ước chung của a và b thì d là ước của ( , ).a b

2) Với a b m, , là các số nguyên tùy ý thì ( , )m a m b m a b.( , )

3) Nếu ab q r với ab, 0  thì r b ( , )a b ( , ).b r

2.3.2 Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Định nghĩa 2.20 Cho a là một số nguyên khác 0, tập hợp tất cả các bội của a có

dạng X { |m a m }

Giả sử  là một bội của các số nguyên khác không x x1, , ,2 x n thì  được gọi

là bội chung của các số nguyên x x1, , , 2 x n

Nếu x là bội dương nhỏ nhất trong các bội chung của hai số nguyên khác không

Định nghĩa 2.21 Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước tự nhiên là

1và p thì p được gọi là số nguyên tố

Số tự nhiên m với , m  0,m  và m không phải là số nguyên tố thì nó được 1

gọi là một hợp số Khi đó m    với  , là hai số tự nhiên

Nhận xét:

1) Tập hợp số tự nhiên  gồm các số 0, 1 các số nguyên tố và các hợp số 2) Có vô số số nguyên tố

3) Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố nếu không kể đến thứ tự các thừa số

b) Tích của hai số nguyên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

c) Trong ba số nguyên liên tiếp có duy nhất một số chia hết cho 3

d) Cho x y z, , là 3 số nguyên liên tiếp thì x3y3z3 chia hết cho 9

3 Cho m là một số nguyên dương Hai số nguyên , a b được gọi là đồng dư với

nhau theo mô đun m nếu chúng có cùng số dư khi chia cho m ký hiệu ,(mod )

Chứng minh rằng quan hệ đồng dư này là quan hệ tương đương trong 

4 Chứng minh rằng vành số nguyên  cùng với quan hệ thứ tự thông thường là một vành sắp thứ tự

5 Cho A là tập hợp con của  thỏa điều kiện A   đóng kín đối với phép trừ

9 Tìm các số nguyên dương x y z, , thỏa mãn điều kiện xyz    1 x y z

10 Tìm số nguyên dương a để tổng 1 a a2a3a4 là số chính phương

11 Trong vành số nguyên, chứng minh rằng với mọi số nguyên a b c, , thì

n 

không thể đồng thời

là số nguyên

13 Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 Từ đó chứng minh rằng với mọi a  , thì a311a chia hết cho 6

14 Với giá trị nào của số nguyên n thì 2

1

n n

là tổng của ba số nguyên liên tiếp

16 Tìm tất cả các giá trị nguyên dương n sao cho 3n4, 4n5, 5n3 đều

22 Chứng minh rằng tập hợp số nguyên có lực lượng đếm được

23 Chứng minh rằng vành số nguyên cùng với quan hệ thứ tự thông thường là một vành sắp thứ tự Archimede

24 Giải bài toán sau:

Nguyên Tiêu gió mát trăng trong Phố phường nhộn nhịp đèn chong sáng lòa

Một mình dạo đếm đèn hoa Dăm trăm đốm sáng biết là ai hay

Kết năm chẵn số đèn này Bảy đèn kết một còn hai ngọn thừa Chín đèn thời bốn ngọn dư Đèn bao nhiêu ngọn mà ngơ ngẩn lòng?

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 2

1 Dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:

Tích a b là số lẻ khi và chỉ khi cả hai thừa số a và b đều là số lẻ

Tích hai số a b là số chẵn khi a là số chẵn hoặc b là số chẵn

Tổng a là số chẵn khi và chỉ khi cả hai số hạng đều là số chẵn hoặc đều là số b

Nếu k là số chẵn thì a chia hết cho 4 và a  không chia hết cho 4 2

Ngược lại nếu k là số lẻ thì a không chia hết cho 4 nhưng a  chia hết cho 4 2Các câu còn lại chứng minh tương tự

3 Chứng minh quan hệ đồng dư thỏa tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu

4 Chứng minh quan hệ thứ tự thông thường trên vành số nguyên là một quan hệ thứ tự toàn phần và  cùng với quan hệ thứ tự này thỏa các tính chất của một vành sắp thứ tự

5 a) Với mọi ,x y  thì A x  x 0 A Suy ra 0   x x A

Nếu a6 2b6 4 (*)c6 thì a2a a1  1 . Khi đó thay a vào đẳng thức (*)

chứng minh tương tự ta được b2 ,b c1 2 c1

Vậy a b c là bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn đề bài, mâu thuẫn với điều 1 1 1, , kiện max( , , )a b c  có giá trị nhỏ nhất 0

Vậy a   b c 0

7.Giả sử Z  là một vành con của  và Z .

Với k   thì kZ nên  k Z  Vậy Z  hay Z 

8 a) Ta có

a  b a  b  a a  b b  vì x | |x ,  x 

Vậy tổng hai số tự nhiên a | |a và b | |b bằng 0 khi và chỉ khi

a  a  b b  suy ra a và b là hai số nguyên âm

b) Ta có a b | |a | |b  b | |b | |a  a

Nhận thấy b | |b  nếu b nguyên âm và 0 b | |b 2 ,b b  

Ngoài ra |a| a 0,a  và a   a 2a nếu a nguyên âm

Vậy a b | |a | |b khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: a   và b nguyên âm

Trường hợp 2: b,a  b

c) Ta có a  b (| |a | |)b suy ra a b | |b | |a (*) áp dụng b có (*)

xảy ra khi và chỉ khi xảy ra 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: b ,anguyên âm

Trường hợp 2: a ,b a

9 Do , ,x y z có vai trò như nhau nên có thể giả sử 1   khi đó x y z

2 2

2 2