Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê toán

Phép thử, không gian mẫu Thí nghiệm ngẫu nhiên hay phép thử là loại thí nghiệm có đặc trưng: trước khi thực hiện, chúng ta không đoán trước được kết quả nào sẽ xảy ra, nhưng chúng ta c

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

Trang 2

Tài liệu giảng dạy “Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê Toán”, do tác giả Đinh Quốc Huy, công tác tại khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Khoa thông qua ngày …/6/2016, và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày …/…/2016

Tác giả biên soạn

ĐINH QUỐC HUY

Trang 3

LỜI CẢM TẠ

Xin cám ơn các đồng nghiệp và sinh viên đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành tài liệu giảng dạy này

Xin cám ơn các tác giả của những tài liệu mà tôi đã sử dụng trong quá trình

hoàn thành tài liệu giảng dạy này

An Giang, ngày 19 tháng 5 năm 2016

Người thực hiện

Trang 4

LỜI CAM KẾT

Tôi xin cam đoan đây là tài liệu giảng dạy của riêng tôi Nội dung tài liệu

giảng dạy có xuất xứ rõ ràng

An Giang, ngày 19 tháng 5 năm 2016

Người biên soạn

Trang 5

MỤC LỤC

Chương 1 XÁC SUẤT 1

1.1 PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ 1

1.1.1 Phép thử, không gian mẫu 1

1.1.2 Biến cố 1

1.1.3 Định nghĩa 2

1.1.4 Chú ý 4

1.2 KHÁI NIỆM XÁC SUẤT 4

1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT 6

1.3.1 Định lý 6

1.3.2 Thí dụ 7

1.4 XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN – BIẾN CỐ ĐỘC LẬP 8

1.4.2 Định lý 8

1.4.5 Định lý 9

1.4.6 Thí dụ 10

1.5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 11

1.5.1 Công thức xác suất đầy đủ 11

1.5.2 Công thức Bayes 12

1.5.3 Thí dụ 12

1.6 QUÁ TRÌNH BERNOULLI 15

1.6.2 Định lý 15

1.6.3 Thí dụ 16

BÀI TẬP 17

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 24

Trang 6

2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 24

2.1.3 Định lý 25

2.1.4 Thí dụ 25

2.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TÍCH LŨY 26

2.2.2 Định lý 26

2.3 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 27

2.3.3 Định lý 29

2.3.4 Chú ý 29

2.4 VECTƠ NGẪU NHIÊN 30

2.4.2 Định lý 30

2.5 HÀM PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI, HÀM MẬT ĐỘ ĐỒNG THỜI 31

2.6 HÀM MẬT ĐỘ BIÊN, MẬT ĐỘ ĐIỀU KIỆN 32

2.6.2 Định lý 32

2.7 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN 34

2.7.1 Kỳ vọng 34

2.7.2 Mode 35

2.7.3 Phương sai 35

2.7.4 Thí dụ 36

2.8 HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 38

2.8.2 Định lý 39

Trang 7

2.8.4 Định lý 39

BÀI TẬP 40

Chương 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG DÙNG 47

3.1 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 47

3.1.2 Các số đặc trưng 47

3.1.3 Định lý 47

3.1.4 Thí dụ 47

3.1.5 Định lý De Moivre - Laplace địa phương 49

3.1.6 Định lý De Moivre - Laplace tích phân 49

3.1.7 Áp dụng trong tính gần đúng 49

3.1.8 Thí dụ 50

3.2 PHÂN PHỐI SIÊU HÌNH HỌC (SIÊU BỘI) 51

3.3 PHÂN PHỐI POISSON 52

3.3.3 Định lý Poisson 52

3.3.4 Định lý 53

3.3.5 Thí dụ 53

3.4 PHÂN PHỐI CHUẨN 54

3.4.3 Phân phối chuẩn tắc 55

3.4.4 Thí dụ 56

3.5 PHÂN PHỐI CHUẨN HAI CHIỀU 57

3.5.1 Định lý 57

3.5.3 Định lý 58

3.6 PHÂN PHỐI CHI – BÌNH PHƯƠNG 58

Trang 8

3.6.4 Một số tính chất 59

3.7 PHÂN PHỐI STUDENT 59

3.7.4 Định lý 60

BÀI TẬP 61

Chương 4 LÝ THUYẾT MẪU 67

4.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 67

4.1.1 Tổng thể 67

4.1.2 Mẫu 67

4.1.3 Quan sát 67

4.1.4 Tiêu thức thống kê 67

4.2 PHÂN PHỐI MẪU 68

4.3 PHÂN PHỐI MẪU CỦA TRUNG BÌNH 69

4.3.2 Định lý 69

4.3.3 Hệ quả 70

4.3.4 Định lý giới hạn trung tâm 70

4.4 PHÂN PHỐI MẪU CỦA PHƯƠNG SAI 71

4.4.2 Định lý 70

4.4.3 Hệ quả 71

4.5 TRÌNH BÀY DỮ LIỆU 71

4.5.1 Bảng thống kê 72

Trang 9

4.5.2 Biểu đồ 73

4.6 TÍNH CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG SAI MẪU 74

4.6.1 Thí dụ 74

BÀI TẬP 75

Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 80

5.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 80

5.1.3 Ước lượng điểm một số tham số của tổng thể 81

5.2 KHÁI NIỆM ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 81

5.3 KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ 82

5.3.1 Trường hợp 1 82

5.4 KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ 85

5.4.1 Thí dụ 85

5.5 KHOẢNG TIN CẬY CHO PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ 86

5.5.3 Thí dụ 87

5.6 XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU 87

5.6.1 Thí dụ 88

5.7 KHOẢNG TIN CẬY MỘT BÊN 88

5.7.1 Thí dụ 89

BÀI TẬP 90

CHƯƠNG 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 97

6.1 KHÁI NIỆM 97

6.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TRUNG BÌNH TỔNG THỂ 99

Trang 10

6.2.3 Thí dụ 100

6.2.4 Trắc nghiệm một đuôi 101

6.2.5 Thí dụ 101

6.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TỈ LỆ TỔNG THỂ 102

6.3.1 Thí dụ 102

6.4 SO SÁNH HAI TRUNG BÌNH (HAI MẪU ĐỘC LẬP) 103

6.5 SO SÁNH HAI TỈ LỆ VỚI HAI MẪU LỚN ĐỘC LẬP 105

6.5.1 Thí dụ 106

6.6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ PHƯƠNG SAI 106

6.6.1 Thí dụ 107

6.7 TRẮC NGHIỆM c 107 2 6.7.1 Định lý 108

6.7.2 Thí dụ 109

BÀI TẬP 113

Chương 7 TƯƠNG QUAN & HỒI QUI TUYẾN TÍNH 120

7.1 HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU 120

7.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 120

7.2.1 Bài toán kiểm định 120

7.2.2 Bài toán kiểm định 120

7.2.3 Thí dụ 121

7.3 PHÂN TÍCH HỒI QUI 122

7.3.1 Định lý 122

7.3.2 Định lý 122

7.4 HÀM HỒI QUI TUYẾN TÍNH MẪU 122

7.4.1 Thí dụ 123

BÀI TẬP 125

Trang 11

Chương 8 YẾU TỐ THỐNG KÊ TRONG MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TIỂU

HỌC 129

8.1 MỤC TIÊU DẠY HỌC CÁC YẾU TỐ THỐNG KÊ TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC 129

8.2 NỘI DUNG CÁC YẾU TỐ THỐNG KÊ TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC 129

8.2.1 Dãy số liệu thống kê 129

8.2.2 Bảng số liệu thống kê 130

8.2.3 Biểu đồ 130

8.2.4 Số trung bình của dãy số liệu 130

8.2.5 Giải toán về thống kê 130

8.3 THÍ DỤ 131

BÀI TẬP 134

CÁC BẢNG TÍNH 135

TÀI LIỆU THAM KHẢO 142

Trang 13

6 Hình 6 Tính xác suất theo phân phối siêu bội 5

Trang 14

Chương 5

17 Hình 17 Sơ đồ cách tìm khoảng ước lượng cho  84

Chương 6

18 Hình 18 Kiểm định 2 phía, diện tích 2 phần tô đen là  98

19 Hình 19 Kiểm định 1 phía (bên trái), diện tích phần tô

21 Hình 21.Bác bỏ H0 trong kiểm định U 2 phía 99

22 Hình 22.Bác bỏ H0 trong kiểm định t 2 phía 100

23 Hình 23.Bác bỏ H0 trong kiểm định 2 phía (phải) 101

24 Hình 24.Bác bỏ H0 trong kiểm định 2 phía (trái) 101

Chương 7

-

Trang 15

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

-

Trang 16

CHƯƠNG 1 XÁC SUẤT

Trong nhiều trường hợp của đời sống thực tế, người ta không thể đoán chắc rằng một sự kiện nào đó có xảy ra hay không, mặc dù đã nắm được những thông tin

về sự kiện đó Để giải quyết những tình huống không chắc chắn đó, người ta đã nghiên cứu và đưa vào sử dụng lý thuyết xác suất

1.1 PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ

1.1.1 Phép thử, không gian mẫu

Thí nghiệm ngẫu nhiên (hay phép thử) là loại thí nghiệm có đặc trưng: trước

khi thực hiện, chúng ta không đoán trước được kết quả nào sẽ xảy ra, nhưng chúng ta

có thể mô tả được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra; các thí nghiệm như vậy có thể được lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện

Khi một phép thử được thực hiện, một và chỉ một kết quả trong trong tập hợp

nói trên xuất hiện, kết quả đó được gọi là một kết quả sơ cấp Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp được gọi là không gian các kết quả sơ cấp Để tiện lợi, chúng ta xem

những kết quả sơ cấp như các điểm và gọi là các điểm mẫu Không gian các kết quả

sơ cấp còn được gọi là không gian mẫu và thường được ký hiệu là W

Không gian mẫu W được gọi là rời rạc nếu nó là một tập hợp không quá đếm được (hữu hạn hoặc đếm được)

Thí dụ 1.1.1.1 Gieo một con xúc xắc và quan sát số chấm xuất hiện ở mặt trên của

con xúc xắc Nếu trường hợp xuất hiện i chấm được biểu diễn là i thì không gian mẫu

có 6 điểm mẫu: W= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Thí dụ 1.1.1.2 Quan sát xem một xạ thủ bắn một viên đạn vào bia có trúng bia hay

không Có hai kết quả sơ cấp là “trúng bia”, ký hiệu là T , và “không trúng bia”, ký hiệu là B Không gian mẫu là: W= {T B, }

1.1.2 Biến cố

Một sự kiện A được gọi là liên kết với một phép thử (hay với không gian mẫu tương ứng) nếu khi phép thử được thực hiện, căn cứ vào kết quả sơ cấp m xuất hiện,

người ta biết được A có xảy ra hay không Như vậy, có thể đồng nhất A với một tập

con của không gian mẫu , với đặc điểm: "A xảy ra nếu và chỉ nếu m Î A", và

gọi A là một biến cố trong 

Biến cố không thể xảy ra, đồng nhất với tập hợp , còn được gọi là biến cố

rỗng Biến cố chắc chắn xảy ra, đồng nhất với cả không gian mẫu  còn được gọi là

Trang 17

biến cố chắc chắn

Người ta nói rằng một biến cố A kéo theo một biến cố B nếu khi A xảy ra thì

nhất định B xảy ra, và được viết là AÌ B

Biến cố {m} chứa một điểm mẫu m Î W duy nhất được gọi là biến cố sơ cấp

Ta có thể xác định một biến cố từ các biến cố cho trước, dựa vào các phép toán

về tập hợp như định nghĩa sau đây

1.1.3 Định nghĩa

Giả sử A và B là hai biến cố cho trước trong không gian mẫu 

i) Tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A  B) là biến cố xác định như sau: AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)

Hình 1 Tích hai biến cố

Nếu AB = , tức là A và B không thể xảy ra đồng thời, ta nói rằng A và B là

hai biến cố xung khắc

Hình 2 Hai biến cố xung khắc

ii) Tổng của hai biến cố A và B ký hiệu AB là biến cố xác định như sau:

AB xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A B xảy ra

Hình 3 Tổng hai biến cố

Trong trường hợp A và B xung khắc, A ÈB được ký hiệu là A+ B

Các khái niệm tổng tích hai biến cố có thể mở rộng đến n biến cố

Trang 18

iii) Hiệu của hai biến cố A và B, kí hiệu A\B (lưu ý thứ tự A B) là biến cố xác định như sau: A\B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra (trong cùng một

Hình 5 Hai biến cố đối lập

Thí dụ 1.1.3.1 Phép thử: Gieo hai con xúc xắc khác màu (để xác định thứ tự) và

quan sát các cặp chấm xuất hiện ở mặt trên của hai con xúc xắc

Không gian mẫu gồm 36 cặp thứ tự (a,b), với a và b thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

 = {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}

Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên của hai con xúc xắc là 8”

B là biến cố “số chấm xuất hiện ở hai mặt trên của hai con xúc xắc là hai số

Trang 19

Bạn đọc hãy mô tả và xác định các điểm mẫu của các biến cố: B \ A , AC,

BC và A C

Thí dụ 1.1.3.2 Phép thử: Gieo 3 đồng tiền khác màu (để xác định thứ tự) và quan

sát dãy mặt sấp và mặt ngửa xuất hiện Ký hiệu S và N lần lượt chỉ mặt sấp và mặt

ngửa xuất hiện, không gian mẫu là  =SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN

Xét các biến cố: A: “xuất hiện ít nhất hai mặt sấp”, B: “xuất hiện 3 mặt giống nhau”, chúng ta có: A = SSS, SSN, SNS, NSS và B = SSS, NNN

Khi đó, AB = SSS Biến cố “xuất hiện 4 mặt sấp” là biến cố 

Thí dụ 1.1.3.3 Phép thử: Gieo một con xúc xắc cho đến khi mặt 6 xuất hiện thì dừng

và đếm số lần gieo con xúc xắc Không gian mẫu là *

W= N là tập hợp đếm được

Thí dụ 1.1.3.4 Phép thử: Quan sát thời gian sống  của một linh kiện điện tử Không gian mẫu của phép thử là W= R+

Kết quả sơ cấp "  = to" có nghĩa là linh kiện làm việc đến đúng thời điểm to

thì bị hỏng Biến cố "  to" biểu thị thời gian làm việc của sản phẩm không nhỏ

hơn to Khi đó, không gian mẫu là một tập hợp không đếm được

1.1.4 Chú ý

Nếu không gian mẫu  là một tập hợp không quá đếm được (không gian mẫu rời rạc) thì mọi tập con của  đều là một biến cố nhưng nếu  là một tập hợp không đếm được thì có thể có một số tập con của  không phải là các biến cố

1.2 KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

Nói chung, khái niệm xác suất dùng để chỉ “khả năng” một điều gì đó xảy ra Tài liệu này giới thiệu vài phương pháp khác nhau để tiếp cận khái niệm xác suất

Ta xét trường hợp: do những đặc điểm vật lý của một phép thử, mỗi điểm của không gian mẫu hữu hạn  tương ứng có “cùng khả năng xảy ra”; khi đó,  được gọi là một không gian hữu hạn đẳng xác suất hay không gian hữu hạn đều

Giả sử A là một biến cố gồm có k điểm trong một không gian mẫu hữu hạn đều gồm n điểm Ta gọi số k là xác suất của biến cố A, ký hiệu: P(A)

Trang 20

Định nghĩa này thường gọi là định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển Theo cách hiểu cổ điển, những điểm của khơng gian mẫu được gọi là các “trường

hợp” và những điểm của A là các “ trường hợp thuận lợi cho A ”, thì:

= số trường hợp thuận lợi cho A tổng số trường hợp của phép thử

Thí dụ 1.2.1.1 Giả sử một tập hợp gồm N phần tử, trong đĩ cĩ T phần tử "được

đánh dấu" Từ tập hợp trên, chọn ngẫu nhiên ra n phần tử khơng hồn lại Tính xác suất của biến cố A k : “cĩ k phần tử được đánh dấu trong n phần tử được chọn” trong

đĩ k là một số tự nhiên khơng lớn hơn min(T, n)

Giải

Chọn khơng hồn lại n phần tử từ tập gồm N phần tử Cĩ n

N

C cách chọn

Khi tính P(A k), chúng ta lưu ý rằng khơng gian mẫu hữu hạn và đều

Số trường hợp thuận lợi cho A k là C CT k n N--T k Vậy, ( )

k n k

T N T n N

Hình 6 Tính xác suất theo phân phối siêu bội

Xác suất cho bởi cơng thức trên được gọi là phân phối xác suất siêu hình học (phân phối xác suất siêu bội)

Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển dựa trên điều kiện “lý tưởng” của phép thử nên cũng cĩ những hạn chế Nếu số kết quả sơ cấp của phép thử là vơ hạn hoặc hữu hạn nhưng khơng đồng khả năng thì định nghĩa cổ điển của xác suất khơng cịn dùng được Chẳng hạn, khi một xạ thủ bắn một phát súng vào bia và quan sát xem đạn cĩ trúng bia khơng Như vậy, làm thế nào để xác định xác suất bắn trúng bia của xạ thủ này? Các nhà tốn học đã khám phá ra kết quả sau:

Giả sử khi thực hiện một phép thử, người ta quan tâm đến sự xuất hiện một

biến cố A Bây giờ nếu chúng ta lặp lại phép thử trên N lần trong các điều kiện như nhau, và thấy A xuất hiện n A lần thì n A được gọi là tần số xuất hiện của biến cố A,

Trang 21

và tỉ số n A

N được gọi là tần suất (tần số tương đối) xuất hiện của biến cố A trong một dãy N phép thử

Qua nhiều dãy phép thử, có nhiều dãy tần suất khác nhau xuất hiện Quan sát

dãy tần suất này, người ta nhận thấy có một đặc điểm, mang tính qui luật Đó là sự

ổn định khi số phép thử N khá lớn Chúng có khuynh hướng tiến đến một giá trị

nào đó khi N tăng lên vô hạn Các số liệu trong bảng 1.1 minh họa điều trên:

Bảng 1

Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất

Buffon Pearson Pearson

Từ sự ổn định của tần suất, người ta đưa ra định nghĩa khác về xác suất

Giả sử một biến cố A xuất hiện n A lần trong một dãy phép thử được lặp lại N lần

Khi đó, xác suất để A xảy ra, ký hiệu P(A), là giới hạn của tỉ số n A

N , với N đủ lớn, để chỉ P(A) Định nghĩa này

thường gọi là định nghĩa xác suất theo tần suất

Thí dụ 1.2.2.1 Để kết luận rằng một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia là 80%, người

ta đã ghi tần suất bắn trúng bia của xạ thủ này trong một loạt bắn với khá nhiều viên đạn Cho xạ thủ này thực hiện nhiều loạt bắn trong cùng một điều kiện như trên, người ta có một dãy tần suất Giá trị 0,8 là giá trị trung bình của dãy tần suất này

1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

1.3.1 Định lý

Với mọi biến cố A và B trong không gian mẫu , ta có:

i) P() = 0 ; P() = 1 ; 0  P(A)  1

Trang 22

ii) ( )P A = 1- P A( )

iii) P A B( \ ) = P A( )- P A B( )

iv) P A( ÈB) = P A( ) + P B( ) - P A B( ) (công thức cộng xác suất)

* Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì ta ký hiệu ( P AÈB)= P A( + B)

Trang 23

Lưu ý: kết quả biểu diễn dưới dạng phân số tối giản hay số thập phân (4 chữ số ở phần thập phân)

1.4 XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN – BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Khi quan sát các hiện tượng trong đời sống, chúng ta thường gặp câu hỏi: Biến

cố H xảy ra có ảnh hưởng gì đến khả năng xảy ra của biến cố A hay không? Để trả lời câu hỏi này, người ta đưa vào lý thuyết xác suất các khái niệm: xác suất điều kiện

và sự độc lập giữa các biến cố

Trong một không gian mẫu , cho biến cố H với xác suất dương Với mọi

biến cố A trong , ta định nghĩa: ( / ) ( )

( )

P A H

P H

= và gọi đó là xác suất điều

kiện của biến cố A với điều kiện H (hoặc khi H đã xảy ra)

Hình 7 Xác suất điều kiện Tính xác suất có điều kiện của những biến cố khác nhau trên cùng một giả thiết

H chẳng khác gì chọn H làm không gian mẫu mới Do đó các công thức về xác suất

ở các phần trên vẫn đúng cho xác suất có điều kiện Chẳng hạn:



H

A

Trang 24

Trong một không gian xác suất, cho các biến cố A1, A2, , An (n  2) thỏa

mãn điều kiện P(A1A2 … An - 1) > 0 Khi đó:

P(A1A2 An) = P(A1).P(A2 /A1).P(A3 /A1A2)…P(An /A1A2 An-1)

Với hai biến cố A và B, thường thì P(A/B) không bằng P(A) Trường hợp P(A/B) = P(A), nghĩa là thông tin về sự xảy ra của biến cố B không làm thay đổi xác suất của biến cố A thì ta nói biến cố A độc lập với biến cố B

Thí dụ 1.4.2.1 Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất Xét các biến cố sau:

– A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn

– B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ

– C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là số nhỏ hơn hay bằng 4

– D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là số lớn hơn hay bằng 4

Khi đó: P(A/B) = 0 ; P(A/C) = 2/4 = 0,5 ; P(A/D) = 2/3

Nhận xét: Trong thí dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5 Do đó:

P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A)

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C

đã xảy ra Ta nói: biến cố A độc lập với biến cố C

Hai biến cố A và B trong một không gian mẫu được gọi là độc lập nếu:

P(AB) = P(A).P(B) Khái niệm độc lập cũng được mở rộng cho n (n > 2) biến cố

Trong một không gian mẫu , xét ba biến cố A, B và C

i) Nếu A và B độc lập thì mỗi nhóm 2 biến cố sau đây cũng độc lập:

Trang 25

1.4.6.1 Từ một hộp chứa 8 viên bi đỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2

lần, mỗi lần 1 viên bi, không hoàn lại Tính xác suất các biến cố sau:

a) Lấy được 2 viên bi đỏ

b) Lấy được hai viên bi khác màu

c) Lấy được viên bi thứ hai là bi trắng

Giải Với i  {1, 2}, đặt:

T i là biến cố “viên bi lấy ra lần thứ i là bi trắng”,

D i là biến cố “viên bi lấy ra lần thứ i là bi đỏ”

a) Đặt A là biến cố “lấy được 2 viên bi đỏ”, ta có: A = D 1 D 2 , do đó

Trang 26

Giải

Với giả thiết này, các cặp biến cố ( ,T T1 2);( ,T D1 2);(D T1, 2) và (D1, D2) độc lập nên:

a) P A( )= P D D( 1 2)= P D P D( 1) ( 2) = 8 8 64

13 13× = 169b) P B( )= P T D( 1 2 + D T1 2)= P T D( 1 2)+ P D T( 1 2) = P T P D( ) (1 2)+ P D P T( 1) ( 2)

13 13 13 13 169

c) P T( )2 P T T( 1 2)P D T( 1 2)= P T P T( ) (1 2)+ P D P D( 1) ( 2) = …

(việc tính toán tiếp không khó, mời bạn đọc thử sức!)

1.5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ CÔNG THỨC BAYES

1.5.1 Công thức xác suất đầy đủ

Các biến cố H H1, 2, ,H n trong một không gian mẫu  được gọi là tạo thành

một phân hoạch (hệ đầy đủ các biến cố, nhóm đầy đủ các biến cố) của  nếu thỏa hai điều kiện:

* Các biến cố H H1, 2, ,H n xung khắc với nhau từng đôi một (tức là với hai biến cố H H khác nhau bất kỳ thì i, j H H = Æ) i j

Trang 27

Công thức (1.1) thường được gọi là công thức xác suất đầy đủ (công thức xác

suất toàn phần) Các xác suất P H( i) và P A( / H i)được gọi là các xác suất tiền

nghiệm Các xác suất P H( i / A), cho biết khả năng tham gia của Hi vào việc xảy ra

biến cố A, được gọi là xác suất hậu nghiệm Có thể tính xác suất hậu nghiệm từ các

xác suất tiền nghiệm:

Giả sử các biến cố H H1, 2, ,H n là một phân hoạch của không gian mẫu  và

A là một biến cố bất kỳ trong Khi đó, với mọi i  {1, 2, , n } ta có:

4 số hạt, số còn lại là loại 3 Tỉ lệ nẩy mầm của hạt giống loại 1, loại 2

và loại 3, theo thứ tự, là 80%, 70% và 50% Lấy ngẫu nhiên một hạt từ lô hạt giống

a) Tính xác suất của biến cố hạt giống lấy ra nẩy mầm được Ý nghĩa của xác suất

này đối với lô hạt giống là gì?

b) Giả sử hạt giống lấy ra nẩy mầm được, tính xác suất của biến cố hạt giống đó

thuộc loại 2

c) Giả sử hạt giống lấy ra không nẩy mầm được Nhiều khả năng nhất là hạt giống

đó thuộc loại nào, tại sao?

Giải

a) Gọi A là biến cố “hạt giống lấy ra là hạt nẩy mầm được”

Trang 28

và Hi là biến cố " hạt giống lấy ra thuộc loại i " ( i Î {1, 2, 3})

Các biến cố H H H1, 2, 3lập thành hệ đầy đủ các biến cố

Từ xác suất P(A), ta biết được tỉ lệ nẩy mầm chung của lô hạt giống là 75%

b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm được, xác suất phải tính là P H( 2 / A)

Theo công thức Bayes:

-Đến đây bạn đọc có thể thay giá trị vào để tính Hai xác suất còn lại được tính tương

tự So sánh các giá trịP H( 1/ A), P H( 2 / A),P H( 3 / A) sẽ có kết luận: nhiều khả năng nhất là hạt giống đó thuộc loại 1 vì P H( 1/ A) lớn nhất trong ba xác suất vừa tính

1.5.3.2 Có hai hộp đựng bi Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 8 bi đỏ; hộp thứ hai có 3

Trang 29

Giải

a) Với i  {0,1, 2} và j  {0,1, 2}, đặt tên các biến cố như sau:

A i là biến cố “lấy được i bi đỏ từ hộp 1”, B j là biến cố “lấy được j bi đỏ từ hộp 2”;

K là biến cố “lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng”; M là biến cố “lấy được 4 bi cùng

b) Đặt H i là biến cố “lấy được hộp thứ i” ( i Î { }1, 2 )

và T là biến cố “lấy được 2 bi trắng”,

Ta có: P(H1) = P(H2) = 1

2;

P(T/H1) = 22 82

4 10

215

C C

C = và P(T/H2) = 32 52

4 8

37

Trang 30

1.6 QUÁ TRÌNH BERNOULLI

a) Giả sử một phép thử chỉ có hai kết quả sơ cấp; một được gọi là "thành công" ký

hiệu là T, kết quả kia được gọi là "thất bại", ký hiệu là B Nếu xác suất cho thành công là p thì xác suất cho thất bại là q = 1  p Một phép thử như thế được gọi là

một phép thử Bernoulli, với xác suất cho thành công là p, ký hiệu là B(p)

P(T) = p

P(B) = 1- p

b) Lặp lại phép thử B(p) n lần độc lập nhau, chúng ta có một phép thử được gọi là

một quá trình Bernoulli (n,p), ký hiệu là B(n,p)

Theo định nghĩa, P(TTBT BT) = ppqp qp Số lần thành công trong một

quá trình B(n,p) có thể là 0, 1, 2, , n và bài toán đặt ra là: Tính xác suất để có

x lần thành công trong quá trình B(n,p) (0  x  n)

Số trường hợp "có x lần thành công trong quá trình B(n,p)" bằng với số trường hợp phân phối x chữ T trong n vị trí; số đó là x

Trang 31

Người ta gọi x 0 = [(n + 1)p] (phần nguyên của (n + 1)p) là số thành công có

xác suất lớn nhất hay còn gọi là số thành công có khả năng nhất

1.6.3 Thí dụ

1.6.3.1 Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy tự động là 8% Khảo sát một lô

hàng gồm 75 sản phẩm do máy đó sản xuất ra

a) Tính xác suất biến cố trong lô hàng có 10 phế phẩm

b) Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất biến

cố đó

Giải

Nếu xem việc máy sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử Bernoulli, với

xác suất cho “thành công” là p = 0,08, thì khi máy đó sản xuất 75 sản phẩm, nó đã thực hiện quá trình B(75; 0,08)

a) Xác suất phải tính là: P75(10) = 10 10 65

75

C (0, 08) (0, 92) » 0, 0394b) Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong lô hàng là: [(75 + 1) 0,08] = 6

Xác suất tương ứng là P75(6) = 6 6 69

75(0, 08) (0, 92) 0, 1675

1.6.3.2 Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ

hạt lép là 3% để nghiên cứu (lô hạt giống có rất nhiều hạt) Hỏi phải lấy ít nhất bao

nhiêu hạt sao cho xác suất của biến cố có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95%?

Trang 32

BÀI TẬP

1.1 Cho ba biến cố A, B và C Hãy viết thành biểu thức theo A, B, C các biến cố sau:

a) Cả A, B và C đều xảy ra

b) Ít nhất một trong các biến cố A, B hoặc C xảy ra

c) Chỉ có A xảy ra

d) Chỉ có một trong ba biến cố A, B hoặc C xảy ra

1.2 Có 3 bình, mỗi bình chứa một số viên bi xanh và viên bi đỏ Từ mỗi bình lấy

ngẫu nhiên ra một viên bi Gọi Xi là biến cố “lấy được viên bi xanh từ bình thứ i” (i  {1,2,3}) Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua các biến cố Xi:

a) Lấy được 3 viên bi cùng màu

b) Lấy được 2 viên bi xanh

c) Lấy được ít nhất một viên bi đỏ

1.3 Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian mẫu, với

d) P(“chỉ có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra”)

1.4 Một công ty cần tuyển 4 nhân viên Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp đơn xin

dự tuyển, và mỗi người đều có cơ hội được tuyển như nhau Tính xác suất để trong 4 người được tuyển:

a) có duy nhất một nữ

b) có ít nhất một nữ

c) có không quá hai nam

1.5 Một cuộc điều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại sản

phẩm X, 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y, có 36,5% dùng X Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố đó, tính xác suất để người ấy:

a) dùng cả X và Y

b) không dùng X, cũng không dùng Y

c) dùng Y, biết rằng người ấy không dùng X

Trang 33

1.6 Có hai hộp bi: hộp I và hộp II; mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1

bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi

1.7 Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Khách

hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại

a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3

b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu

1.8 Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và III

sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là 70%, 50% và 90%

a) Tính tỉ lệ sản phẩm loại A do nhà máy sản xuất

b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất?

c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị trường

1/ Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A

2/ Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A

1.9 Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A

trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và 50% Một khách hàng chọn ngẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm

a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A

b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã

chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?

1.10 Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi đen;

hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi đen

a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi

Trang 34

2/ Tính xác suất được 2 bi đen, 1 bi trắng

b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi Tính xác suất được

cả 3 bi đen

1.11 Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có

10 hộp của Xí nghiệp 1, 6 hộp của Xí nghiệp 2 và 4 hộp của Xí nghiệp 3 Tỉ lệ phế phẩm của các xí nghiệp lần lượt là 2%, 4% và 5% Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó

a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm

b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm Tính xác suất để 2 phế phẩm đó của xí nghiệp I

1.12 Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 sinh viên thuộc loại giỏi, 4 sinh viên thuộc

loại khá và 3 sinh viên thuộc loại trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên loại giỏi trả lời được tất cả, sinh viên khá trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu Gọi ngẫu nhiên một sinh viên và phát một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta trả lời được cả 4 câu hỏi Tính xác suất để sinh viên đó thuộc loại khá

-

HƯỚNG DẪN 1.1 Xem 1.1.3 Định nghĩa

1.3 Dùng công thức cộng xác suất và một số công thức xác suất khác

a) P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) = (1 – P( A )) + P(B) – P(AB)

Trang 35

c) Cần tính P(A B)

d) Cần tính P AB( AB) Dựa vào câu b), câu c)

1.4 Dùng phân phối siêu bội và các công thức xác suất phù hợp

a) Nếu có duy nhất 1 nữ thì 4 người được chọn gồm 4 nam và 1 nữ

4

b) Biến cố “Trong 4 người được chọn có ít nhất một nữ” là biến cố đối lập của biến

cố “Trong 4 người được chọn không có người nữ nào”, biến cố này chính là biến cố

“Trong 4 người được chọn có 4 nam và 0 nữ”

c) Không quá hai nam tức là sẽ có 2 nam, hay 1 nam, hay 0 nam Biến cố này sẽ được phân tích thành tổng 3 biến cố xung khắc từng đôi một

1.5 Dùng công thức xác suất điều kiện

Gọi X, Y lần lượt là biến cố người được phỏng vấn dùng sản phẩm X, sản phẩm Y Theo đề bài: P(X) = 0,270 , P(Y) = 0,5 , P(X/Y) = 0,365

-1.6 Dùng công thức nhân xác suất, công thức xác suất siêu bội; lưu ý tính độc lập và

xung khắc của các biến cố

Gọi A i (i  {0, 1, 2}) là các biến cố: “có i viên bi đỏ và 2 – i viên bi trắng được

chọn ra từ hộp I”

Gọi B j (j  {0, 1, 2}) là các biến cố: “có j viên bi đỏ và 2 – j viên bi trắng được

chọn ra từ hộp II”

Trang 36

Các biến cố A i xung khắc từng đôi một; các biến cố B j xung khắc từng đôi một; các

biến cố A i , B j độc lập với nhau

a) Gọi A là biến cố chọn được 4 viên bi đỏ thì A = A 2 B 2 , do đó P(A) = P(A 2 B 2 )

Tiếp theo dùng công thức xác suất siêu bội để tính

c) Gọi C là biến cố chọn được 3 viên bi đỏ và 1 viên bi trắng thì C = A 1 B 2 + A 2 B 1

Làm tương tự câu b)

1

( )( / )

1.7 Dùng định nghĩa công thức nhân xác suất, lưu ý là khi tính xác suất điều kiện thì

theo hướng không gian mẫu thay đổi

Gọi Ti, Xi lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt, xấu ở lần kiểm

Trang 37

c) Làm tương tự Thí dụ 1.6.4.1, quá trình Bernoulli B(n, p) với n = 121, p là xác

suất tính được ở câu a)

1.9 Dùng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes Làm tương tự Thí dụ 5.3.1

1.10 Goi T 1 , T 2 , T 3 lần lượt là biến cố lấy được viên bi trắng ở hộp thứ 1, 2, 3 Các

biến cố này độc lập với nhau

a) Gọi A là biến cố lấy được cả 3 viên bi trắng thì A = T T T1 2 3

1.11 Dùng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes; khi tính các xác suất tiền

nghiệm thì dùng công thức xác suất Bernoulli

a) Gọi A là biến cố trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm

Gọi Hi ,i = 1, 3 là biến cố chọn được hộp của xí nghiệp i; các biến cố này lập thành

b) Xác suất cần tìm là P H( 1/ A), dùng công thức Bayes

1.12 Dùng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes; khi tính các xác suất tiền

nghiệm thì dùng công thức xác suất siêu bội

Trang 38

Gọi A là biến cố sinh viên trả lời được cả 4 câu hỏi

L 1 , L 2 , L 3 lần lượt là các biến cố sinh viên thuộc loại giỏi, khá; trung bình

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(L2/A)

Các biến cố L 1 , L 2 , L 3 là một hệ đầy đủ các biến cố, ta có:

Trang 39

CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1 KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN

Cho không gian mẫu  Một hàm X :    thỏa điều kiện: với mọi khoảng

K trong , tập hợp {m   / X(m)  K} là một biến cố của , được gọi là một biến ngẫu nhiên (là bnn ) trên 

Miền giá trị của bnn X được ký hiệu là Im(X), tức là:

Im(X) = {x / m  : X(m) = x}

 Có thể hiểu bnn là một hàm nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử Ta

thường dùng các kí tự: X, Y, Z,… để ký hiệu bnn; các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của

2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

– Loại rời rạc: là bnn chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị

Thí dụ 2.1.2.1 Tiến hành n thí nghiệm ngẫu nhiên Gọi X là số thí nghiệm thành

công, khi đó X là bnn rời rạc chỉ nhận n +1 giá trị từ 0 đến n

– Loại liên tục: là bnn nhận vô hạn không đếm được các giá trị mà thông thường các

giá trị này lấp kín một khoảng nào đó trong tập các số thực

Thí dụ 2.1.2.2 Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa điểm vào một thời điểm nhất

định, ta có T là một bnn liên tục

Trang 40

2.1.4.1 Xem lại Định nghĩa 1.6.1 và Định lý 1.6.2 ở Chương 1; với B(p), không

gian mẫu là  = T, B, trong đó, T và B lần lượt chỉ các kết quả sơ cấp "thành

công" và "thất bại" Hàm X trên  được xác định bởi: X(T) = 1 và X(B) = 0 là một bnn trên chỉ số lần thành công trong B(p) ImX = 0, 1, khi đó

P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1  p

2.1.4.2 Trong quá trình B(n; p), không gian mẫu  chứa 2n điểm mẫu, mỗi điểm

được biểu diễn bởi một dãy n ký tự gồm các chữ T và B

Xét hàm X xác định trên  bởi: ứng với mỗi điểm mẫu m của , X(m) là số chữ

T có trong m tức là số lần thành công trong mỗi kết quả sơ cấp Như vậy, chúng ta

có bnn X chỉ số lần thành công trong quá trình B(n; p) ImX = 0, 1, 2, …, n,

và xác suất để có k thành công trong quá trình là:

2.1.4.3 Trong mô hình phân phối siêu bội ở Chương 1, nếu gọi X là bnn chỉ số

phần tử "được đánh dấu" trong n phần tử được chọn thì biến cố {X = k} = Ak có

xác suất là ( )

k n k

T N T n N

C C

C

-

Tiêu đề	Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê toán
Tác giả	Đinh Quốc Huy
Người hướng dẫn	P. Trưởng Bộ Môn Trần Thể, Hiệu Trưởng Hà Thị Thanh
Trường học	Trường Đại Học An Giang
Chuyên ngành	Sư Phạm
Thể loại	Tài liệu giảng dạy
Năm xuất bản	2016
Thành phố	An Giang

Định dạng
Số trang	158
Dung lượng	3,98 MB