[r]
Trang 1Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
Đề chính thức
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2006-2007
Môn thi: TOáN
Ngày thi: 28/03/2007 Lớp: 12 Trung học phổ thông
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Đề thi này có 4 câu, gồm 1 trang.
Câu 1: (7,0 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
1
y
x
+ +
=
+ ( ) 1
2 Tìm để đường thẳng: k ( 2 ư k x y ) ư + = cắt đồ thị 1 0 ( ) 1 tại hai điểm phân biệt A B , sao cho các tiếp tuyến với đồ thị ( ) 1 tại A và B song song với nhau
3 Chứng minh rằng phương trỡnh: x2 + + = x 1 ( x + 1 9 ) ư x2 cú đỳng 2 nghiệm
Câu 2: (5,0 điểm)
1 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của ( 2 )100
x +x , chứng minh rằng:
2 Cho tích phân
0
s 2 2cos 2
n
in nx
π
=
ư
∫ , n ∈N Tìm sao cho a I2006, , I2007 I2008
theo thứ tự ấy lập thành cấp số cộng
Câu 3: (7,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn
( V ): x2+ y2 ư 4 x + 6 y ư = 0 3 tâm I và đường thẳng ( ) Δ : x + by ư = 2 0 Chứng minh rằng ( và ( V ) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với
mọi b Tìm để tam giác có diện tích lớn nhất
)
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A ( 2 0 0 ; ; ) , B ( 0 8 0 ; ; ) , ( 0 0 3 ; ; )
C và N là điểm thoả mãn: ON uuur uuur uuur uuur = OA OB OC + + Một mặt phẳng ( ) P
thay đổi cắt các đoạn OA , , , OB OC ON lần lượt tại các điểm A B 1, ,1 Hãy xác định toạ độ điểm sao cho:
1, 1
C N
1
N
2007
Câu 4: (1,0 điểm)
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phương các khoảng cách
đến các mặt của một tứ diện đều ABCD cho trước bằng một số dương không
đổi
k
-Hết -
• Học sinh không được sử dụng tài liệu gỡ
• Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM 2007
Môn: TOÁN THPT
(Đáp án - Thang điểm gồm 3 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
1 (3,0 điểm)
• TXĐ: \{ }−1
• Sự biến thiên:
2 2
2
1
x
+
yCD = y ( ) − 2 = − 3 , yCT = y ( ) 0 = 1
1,0
Bảng biến thiên:
1,0
• Đồ thị:
1,0
2 (3,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 1
x
Có 2 nghiệm phân biệt khi k ≠ 1 vµ k ≠ 2
1,5
1
k
−
−
3 (1,0 điểm)
Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị các hàm số:
1
y
x
+ +
=
+ ( ) 1
2 2
0 9
9
y
≥
⎧
⎩ 2 Đồ thị hàm số ( ) 2 là nửa đường tròn 1,0
x y' y
− ∞
+ ∞
+ ∞ + ∞
−3
1
0
0 0
2
y
O
−3
Trang 3phía trên trục Ox, tâm O ( ) 0 0 ; , bán kính bằng 3 Suy ra đpcm
1 (3,0 điểm)
Ta có: 100( )100 0 100 1 101 99 199 100 200
x 1 x+ =C x +C x + + C x +C x
1,0 Lấy đạo hàm hai vế ta suy ra
100 x 1 x+ 1 2x+ =100.C x +101.C x + + 200.C x 1,0
Thay x 1
2
2 (2,0 điểm)
Ta có: 2008 2006
0
s 2.2008 s 2.2006
2cos 2
−
s 4014 cos 2 2s 4014 cos 2
1,0
2007 2007 0
s 2.2007 cos 4014
s 4014
2cos 2 4014
π
−
Thoả mãn yêu cầu bài toán khi a = 2
1,0
1 (3,0 điểm)
Tâm I ( 2 3 ; − ), bán kính R = 4, khoảng cách từ I đến ( ) Δ là
2
3 1
b d
b
= + ,
suy ra d R < ⇔ 9 b2 < 16 16 + b2 ⇔ 7 b2 + 16 0 > ∀ b
1,5
Diện tích tam giác PIQ là
2 1
8
R
S = IP IQ PIQ ≤ = lớn nhất khi
Khi đó
S
90
2
3 2
b R
b
+
1,5
2 (4,0 điểm)
( 2 8 3 ; ; )
2
3
=
⎧
⎨
⎪ =
⎩
1,5
Giả sử A a1( ; ; 0 0 ) ( , ; ; B1 0 0 b ) , ; ; C1( 0 0 c ) ( , , a b c > 0 ) suy ra phương trình
mặt phẳng ( ) : x y z 1
P
( ) 1
N ∈ P suy ra 2 8 3
1
a + b + c = Từ giả thiết có: 2 8 3
2007
2007
2007 2007 2007 ; ;
1,0
Trang 4IV (1,0 điểm)
Gọi G là trọng tâm Δ ABC, O là trung điểm Tính chất tứ diện đều cho
ta vuông góc với nhau từng đôi Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho:
DG
, ,
OA OB OC
( 3 0 0 ; ; )
A a , B ( 0 3 0 ; a ; ), C ( 0 0 3 ; ; a ) ( a > 0 ) Suy ra: G a a a ( ; ; ) và ( ; ; )
D a a a − − − Ta có phương trình các mặt của tứ diện là:
( ABC x y z ) : + + − 3 a = 0, ( DAB x y ) : + − 5 z − 3 a 0 = ,
và
( DBC ) : − + + − 5 x y z 3 a = 0 ( DCA x ) : − 5 y z + − 3 a = 0 Giả sử
( 0; 0; 0)
M x y z và khoảng cách từ M đến các mặt ( ABC ) ( , DAB ) ( , DBC )
và ( DCA ) thứ tự là d d1, 2, d3 và d4ta có: 2 2 2 42
1 2 3
27 − x + y + − z a + 27 x − y + − z 3 a
⇔ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ =
a
2
2 3 9
4
2 2 2 ; ;
a a a
⎜
⎝ ⎠ ⎟ là trọng tâm tứ diện ABCD Nếu k < 3 a2 thì tập hợp các điểm M là ∅ Nếu k = 3 a2 thì M ≡ I Nếu
thì tập hợp các điểm 2
3
2 3 4
1,0
y
x
z O
G B
D
A
C
- Hết -