Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tìm trên C những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của C nhỏ nhất.. Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích
Trang 1đề thi thử đại học lần 1 năm 2011
Môn: TOáN ; Khối: A,B
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phơng trình: + +x x 16 y y− =1 44 6
+ + + =
2 Giải phơng trình: 1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
−
=
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: I =
1
2
dx
−∫ + + +
Câu IV (1 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI
= 2
3
R
M là một điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng
1 1 1 1
x y + y z + z x ≤
Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; 3) − , B(3; 2) − , có diện
tích bằng 3
2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆ : 3x y− − = 8 0 Tìm tọa độ đỉnh C.
Câu VII (2 điểm)
1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7
2) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm: 1 2 1
log x + > 1 log (ax a+ )
Trang 2đáp án - thang điểm đề thi thử đại học lần 1 năm 2011
Lu ý:Mọi cách giải đúng và ngắn gọn đều cho điểm tối đa
I 1.(1,0 điểm) Khảo sát
(2,0 điểm) * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn và tiệm cận: xlim→+∞y=xlim→−∞y=2; tiệm cận ngang: y = 2 x→ −lim( 1)− y= +∞; limx→ −( 1)+ y= −∞; tiệm cận đứng: x = - 1 0,25 - Bảng biến thiên Ta có 2 1 ' 0 ( 1) y x = > + với mọi x≠- 1 x -∞ -1 +∞
y’ + +
y +∞ 2
2 -∞
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và ( -1; +∞) 0,5 * Đồ thị 0,25 2 (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm
Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0 ≠- 1) thì 0
0 0
1
x y x
+
= + Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = | 0
0
1
x x
+ + - 2| = | 0
1 1
x + | = 0
1 1
x +
Theo Cauchy thì MA + MB ≥ 2 x + 1 1 =2
0,25
0,25
Trang 3⇒ MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 2 0
0 0
0 1
2 1
x
x x
=
Như vËy ta cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ (0;1) vµ (-2;3)
0,25
II 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ
(2,0 ®iÓm)
§iÒu kiÖn: x≥-1, y≥1 Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ
+ − + + + − − =
§Æt u= x+ + 1 x+ 6 , v = y− + 1 y+ 4 Ta cã hÖ
10
5 5 2u v
u v
+ =
+ =
5
u
v=
=
⇒{ 3
5
x
y=
= lµ nghiÖm cña hÖ
0,25 0,25
0,25
0,25
2 (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh
§iÒu kiÖn:sinx.cosx≠0 vµ cotx≠1 Phư¬ng tr×nh tư¬ng ®ư¬ng
sin cos 2 cos
1 cos sin 2 sin
−
=
⇔cosx = 2
4 k
± +
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = 2
4 k
− +
0,25 0,25
0,25 0,25 III TÝnh tÝch ph©n
§Æt u = x+ 1 x+ 2 th× u - x= 1 x+ 2 ⇒ x2 − 2ux u+ 2 = + 1 x2
2
2
1
u
§æi cËn x= - 1 th× u = 2-1
x = 1 th× u = 2+1
2
1
2
du
u I
+
=
2
du
du
=1
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4IV Tìm vị trí
H I
O
B M A
Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3 , SI = 2
3
R
,
SM = SO2 +OM2 = 2R⇒SH = R hay H là trung điểm của SM Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = 1
2 SO= 3
2 R , (không đổi)
⇒VBAHM lớn nhất khi dt( ∆ MAB) lớn nhất ⇒M là điểm giữa của cung AB
Khi đó V BAHM = 3 3
6 R (đvtt)
0,25
0,25 0,5 Câu V
(1,0 điểm) Đặt x=a
3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-ab≥ab
⇒ a3 + b3+1≥ (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
a b 1 ab a b c ≤
Tơng tự ta có
c 1 bc a b c
a 1 ca a b c
Cộng theo vế ta có
x y + y z +z x
1
a + b + 1+ 3 3
1
c 1
1
a 1
c + +
≤ (a b c1 ) ab bc ca1 1 1
+ + =(a b c1 ) (c a b+ + =) 1
+ +
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
0,25
0,5
0,25
Trang 5VI a Tìm tọa độ
(1,0 điểm) Ta có: AB = 2, M = ( 5; 5
2 − 2), pt AB: x – y – 5 = 0
S∆ABC= 1
2d(C, AB).AB = 3
2 ⇒ d(C, AB)= 3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
⇒ d(G, AB)= (3 8) 5
2
t− t− −
= 1
2 ⇒t = 1 hoặc t = 2
⇒G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà CMuuuur= 3GMuuuur⇒C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)
0,25
0,5 0,25 VII Từ các chữ số
1)
(1,0 điểm) Gọi số có 6 chữ số là Nếu a = 7 thì có 7 cách chọn b, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách abcdef
chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 7.6.5.4.3 = 2520số Nếu b = 7 thì có 6 cách chọn a, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 6.6.5.4.3 = 2160số
Tơng tự với c, d, e, f Vậy tất cả có 2520+5.2160 = 13320 số
0,25
0,5
0,25 VII Tìm a để
2)
(1,0 điểm)
Điều kiện: ax + a > 0 Bpt tương đương x2 + < 1 a x( + 1)
Nếu a>0 thì x +1 >0.Ta có 2 1
1
x
a
x + <
+
Nếu a<0 thì x +1 <0.Ta có 2 1
1
x
a
x + >
+
Xét hàm số y = 2 1
1
x x
+ + với x ≠- 1
y’ = 2 12
x
−
x - ∞ -1 1 + ∞ y’ - || - 0 +
y
-1 +∞ 1
-∞ 2
2
a> 2
2 hoặc a < - 1
0,25
0,25
0,25 0,25
