Tính tỉ số IB IA.. a Tính thể tích tứ diện ABCD b Gọi ϕlà góc phẳng nhị diện [B,AD,C].
Trang 1TRƯỜNG ĐHKHTN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009
KHỐI CHUYÊN TOÁN-TIN Ngày thi: 12/04/2009( thời gian: 180 phút)
- -
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x4
– 8x2 + 7 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ thị hàm số (1)
Câu II (2 điểm)
4
sin(
2
2 1
tan
tan tan
2
2
π
+
= +
+
x x
x x
2) Giải hệ:
=
− +
=
− +
2 1 2 1
2 1 2 1
x y
y x
Câu III (3 điểm)
1) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình;
d1:
=
=
+
−
=
t
z
y
t x
1
2 1
d2:
1
3 1
1 2
1
−
−
=
+
=
−
x
và điểm I(0;3; - 1) Đường thẳn d đi qua I cắt d1
tại A và cắt d2 tại Tính tỉ số
IB
IA
2) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , DA =
DB = DC.Biết rằng DBC là tam giác vuông
a) Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Gọi ϕlà góc phẳng nhị diện [B,AD,C] Tính cosϕ
Câu IV (2 điểm)
1) Tính tích phân: I = ∫2 + −
0 3 4 sin cos 2
2 sin
π
dx x x
x
2) Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm thực
3 log 16 (x+1 ) + 3 log 16 (x−1 ) = 2 x
Câu V (1 điểm) Giải phương trình
4 )
11 cos(
2 −x = tanx
Trang 2Hướng dẫn:
Câu I
3) Đường thẳng tiếp xúc đồ thị ⇔ Hệ
=
−
−
= +
−
) 2 ( 16 4
) 1 ( 9 7
8 3
2 4
m x x
mx x
x
có nghiệm
Thay (2) vào (1) được: 3x4 – 8x2 – 16 = 0 ⇔ x2 =4 ⇔ x= ±2
Thay x = ±2 vào (2) được m=0
Câu II
1) ĐK: cosx ≠0.Phương trình được biến đổi thành:
cos2x tanx.(tanx+1) = 12 ( sinx+cosx) ⇔ sinx(sinx+cosx) = 12 (sinx+cosx)
+
=
+
=
+
−
=
⇔
=
= +
⇔
π π
π π
π π
2 6 5
2 6
4 2
/
1
sin
0 cos
sin
k x
k x
k x
x
x x
2) ĐK: x;y ≥ ½ Từ hệ suy ra:
x y
y x
1 2 1 1 2
1
− +
=
−
Nếu x>y thì
y x
1 1
< và
y x
1 1
< suy ra VT(1) < VP(1) Không thỏa mãn!
Nếu x< y tương tự cũng không thỏa mãn.Từ đó x=y.Thế vào một phương trình
của hệ được: 1 + 2 −1 = 2
x
x ⇔ x=1 Hệ cho nghiệm: (x;y)=(1;1)
Câu III
1) A thuộc d1 ⇔ A( - 1+2t; 1; t); B thuộc d2 ⇔ B( -1 -2s; -1 + s; 3 – s)
→
IA=( -1+2t; - 2; 1+t) ; → IB =( -1-2s; -4+s; 4-s) là hai véc tơ cùng phương nên
→
IA= k. → IB từ đó giải ra được t = 1; s= -2 ; k= 1/3 Vậy: IA/IB= 1/3
2) a) Gọi O là hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC) → O là trung điểm BC
∆DBC vuông cân tại D nên DO = 12 BC = a.Vậy: VDABC = 13 DO.dt (ABC)=
6
3 3
a
b) Kéo dài CD cắt đường thẳng vuông góc với (ABC) tại B ở S Ta có BS = 2a;
DC = a 2 ; AD = a 2 và là trung tuyến của tam giác SAC.Gọi ϕ= [B,AD,C] Kẻ
BH ⊥SA →BH ⊥(SAC) Kẻ HE ⊥AD →BE ⊥AD Khi đó ϕ= 1800 -BEH.Tính ∃
được : tan ∃ BEH =
3
6 4
; cos 2 ∃ BEH = 3/15 Vậy: cos ϕ= -
15
3
Câu IV 1) I = ln2 –
2
1
2) ĐK: x>1
Phương trình log163 log163
) 1 ( ) 1
⇔ x x = 2 x (*) Vì 0< log163<1/2 nên VT(*) ≤2 log163
] 2
) 1 ( ) 1 ( [ x+ + x− = 2.xlog 16 3< 2 x =VP(*) V ậy phương trình vô nghiệm
Trang 3Câu V ĐK: cosx≠0
pt ⇔
x
x
x x
cos
sin 2
) cos (sin
2
1
=
−
(1) Do vế trái (1) dương nên sinx và cosx cùng thuộc ( -1;0)
hoặc (0;1).Xét hàm số f(t) =
t
t
2 1 2
có đạo hàm f’(t) = ( ln 2 )
2
2 2 2 1
−
t t t
t
< 0
Từ đó phương trình ⇔ sinx = cosx ⇔ x = π +kπ