VÏ KH vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn Bx cña ®êng trßn.[r]
Trang 1Phòng GD&ĐT Mộ ĐứC kỳ thi chọn học sinh Môn Toán lớp 9
TRƯỜNG THCS ĐỨC HOÀ (Thời gian làm bài : 150 phút)
(không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Bài 1(5 điểm)
a) tỡm hai số nguyờn tố p và q sao cho p2=8q + 1
b)chứng minh 10n+18n-28 chia hết cho 27
Bài 2 (4 điểm) Cho hệ phơng trình
¿
ax − 2 y =a
−2 x+ y=a+1
¿{
¿
a, Giải hệ phơng trình khi a=√2 .
b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x − y=1 .
Bài 3 (3 điểm) Cho bốn số thực a , b , c , d thoả mãn đồng thời:
a+b +c +d=7 và a2+b2+c2+d2=13 Hỏi a có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Bài 4 (4 điểm) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB =
2R Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn Giả sử góc KAB bằng α độ ( 0 < α < 90 )
a, Tính KA, KB, KH theo R và α .
b, Tính KH theo R và 2 α .
c, Chứng minh rằng: cos 2 α = 1 – 2sin2 α
cos 2 α = 2 cos2 α - 1
Bài 5 (4 điểm)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên
đờng tròn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của MA,
BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM.
b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định.
Môn Toán lớp 9
Bài 1( 5 điểm )
a, ( 2.5 điểm )
P2= 8q + 1 => (p+1)(p-1)=8q
8q+1 lẻ => p2 lẻ => p=2k+1
Do đú k(k+1)=2q
=>p cú dạng 4t+1 hoặc 4t-1 và
q cú dạng : t(2t+1) hoặc t(2t-1)
p,q nguyờn tố => p=5; q=3
vậyp=5;q=3
0,25đ 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 2b, (2.5 điểm)
Ta cú thể viết : 10n+18n-28= 9(10n-1+10n-2 +102+1) + 18n -27
=9((9+1)n-1+ (9+1)2+ (9+1)+1) + 18n-27
=9(9k+n) +18n - 27
=81k +27n-27 chia hết cho 27
vạy: 10n+18n-28 chia hết cho 27
0,25đ 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 2 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Thay a = √2 vào hệ phơng trình đợc:
¿
√2 x −2 y=√2
−2 x+ y=√2+1
¿ {
¿
0,25đ
¿
√2 x − 2 y =√2
− 4 x+2 y =2√2+2
¿ {
¿
0,25đ
¿
(√2− 4) x=3√2+ 2
√2 x −2 y=√2
¿ {
¿
0,25đ
Tìm đợc x=3√2+2
√2 − 4
0,5đ
Tìm đợc y=2+3√2
√2− 4
0,5đ
b, (2 điểm)
Từ x – y = 1 ⇒ y = x – 1 thay vào hệ PT đợc
¿
ax − 2(x − 1)=a
−2 x+(x − 1)=a+1
¿ {
¿
0,25đ
¿
(a −2) x=a −2
− x=a+2
¿ {
¿
⇒ a2 + a - 6 = 0
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
(b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd 0,25đ
Trang 3mà (b – c )2 0 ; (c - d )2 0 ;(d - b )2 0 ;
⇒ b2 + c2 2bc; c2 + d2 2cd; d2 + b2 2bd;
0,75đ
do đó a có thể nhận giá trị lớn nhất là 52 0,25đ
Bài 4 (4 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có ∠ AKB = 900 (0,25đ); ∠ KAB = ∠ KBH (0,25đ);
Xét Δ AKB vuông tại H có
KA = AB cos α = 2R cos α (0,25đ);
KB = AB sin α = 2R sin α (0,25đ);
Xét Δ KHB vuông tại H có
KH = KB sin α (0,25đ) = 2R sin2 α (0,25đ);
b, (1 điểm)
Vẽ KO; KC AB xét Δ KCO vuông tại C có OC = OK cos2 α (0,5đ);
Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ);
c, (1,5 điểm)
Theo câu a có KH = 2R sin2 α theo câu b có KH = R(1 - cos2 α )
(0,25đ);
nên 2R sin2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ) do đó cos2 α = 1 - 2sin2 α
(0,25đ);
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng
minh đợc
sin2 α + cos2 α = 1 nên sin2 α = 1 - cos2 α (0,25đ);
Từ đó có cos2 α = 1 – 2(1 – cos2 α ) = 2 cos2 α - 1 (0,5đ);
Bài 5 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Chứng minh đợc Δ IAK đồng dạng với Δ IBA (0,5đ)
⇒ IA2 = IK.IB , mà I là trung điểm của AM
nên IM2 = IK.IB (0,5đ)
Chứng minh đợc Δ MIK đồng dạng với Δ BIM (1đ)
b, (1điểm)
Từ câu a ⇒ ∠ IMK = ∠ MBI , lại có ∠ MBI = ∠ BCK(0,5đ);
⇒ ∠ IMK = ∠ BCK ⇒ BC // MA(0,5đ);
c, (1 điểm)
H là trực tâm của Δ MAB
⇒ tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ);
⇒ AH = AO =R ⇒ H (A;R) cố định
x
H K
C
A
C
K I
O
B
x M
A