CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 7 ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG TOÁN

b Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?. Bài 10: So sánh các số sau... Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:... Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doa

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

PHẦN ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN THỰC HIỆN PHÉP TÍNH TRÊN Q VÀ R

511

55,0625,0

12

311

33,0375,025,13

55,2

75,015,1

1

3

13

13

13

112:3

1010

31

4

34625

1230.6

51027

524

113

4321

)6,3.212,1.63(9

17

13

12

1)10099

321(

141.3

15126

16

54

19

2.3

16157

34.31

111

13:)75,2(53,388,0:2511

4

3125505

,43

44:624,81

2

2 2

12

1

2

12

1

2

12

12

1

2004 2002

4 2 4 6

 ; D= 6 12 11

9 10

3

63.4

6.1203

.16

ÔN LẠI DÃY SỐ ĐÃ HỌC Ở LỚP 6

( HS tự làm GV giải đáp trong 2 buổi)

DẠNG 2: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT

Bài 1 : Tính tổng:

2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008

Bài 2: Cho A1234 99100

a) Tính A

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên ?

Bài 3: Cho A1713192531

a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ?

)12()7()

a) Cho A133233 3200332004 Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3

b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với 3 4 5 2003 2004

2 2

2 2 2

Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15

b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

Bài 14: Cho A1.2.3 29.30

B31.32.33 59.60

a) Chứng minh: B chia hết cho 30

2b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61

b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

DẠNG 3:DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:

2004

2003)

1(

2

10

16

13

310

.7

37.4

34.1

3

N n n

1154

188

140

110

2

15

110

16

13

1

4.3.2

13.2.1

2

12

12

13.97

1

95.5

197.3

199

1

5

13

11

3

972

98199

100

1

4

13

121

Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy : ;

35

11

;24

11

;15

11

;8

11

;3

11

Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau : ;

336

1

;176

1

;66

1

;61

118.17

1

6.5

14

1

13

112

111

1

12.2

111.1

1110

.10

1

102.2

1101.1

)    9 99 999 999 9   )    9 99 999 999 9  

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI

(Dạy sau khi học xong chương I trên lớp) Bài 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản

0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)

Bài 2: Tính: a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) 12,(1)2,3(6):4,(21) c) 0,4(2)

3

13)3(,

0  

Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số

99

116 dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Bài 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị

a)

75,6

25,2)

19,881

4)

25,6:56,4(

)6(1,0)3(,05,0

3(0,0

13

3)384615(

,0)3(,0

1(

52

3 23

N m m

m m

m m m

a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản

b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

Bài 10: So sánh các số sau

a)

25

4100

5:7

12:7:25,54,2:22

2 2

2 2

27

4264

77

149

149

11

2 2

2521

2

5196

51

77

683

112:4

49.3

28225:3

VD1: Tìm x,y,z biết:

a)

432

z y x



 và xyz18; b)

432

z y x

63.2

42.22

9

18432432

z y

x z

y x z y x

93.3

62.33

5

15432432

z y

x z

y x z y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

543

z y x



 và x2y4z93; b)

543

z y x

124.3

93.33

31

9320

83

4220

48

2543

z y

x z

y x z y z y x

84.2

63.22

17

3415

46

32

15

36

2543

z y

x z

y x z

x z y x

VD3: Tìm x, y,z biết: 2x=3y=4z

3 4 5 và x+2y+4z=220 ;

Giải:

1516185

44

33

3216.2

3618.22

110

220603218

4215

1618

z y

x z

y x z y x

17

51107

25

x y

x y

x

b) Từ

a

y b

x y b x

b x a

b

a b a b

y x a

Phương pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra tỷ số là hằng số

z y x



 và xyz24

Giải:

(*)

246

2       Thay x2k;y3k;z4k vào xyz24 ta được:

21

124

244.3

z y

x k

k k

k k

z y

z y x

b) Từ

25169)1(543

2 2 2

z y x z

y

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

z y

z y x

Tổng quát :

Tìm x,y,z biết

c

z b

y a

x



 và mx k ny k  pz k d Với a,b,c,d,m,n,p,d,klà các số khác 0 kN*

Phương pháp giải như sau:

k k

k k k

pc

pz nb

ny ma

mx c

z b

y a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k

k k

k k k

pc

pz nb

ny ma

k k

k k k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

ny ma

3

z y

;

9

4

z y

4

y x y

x    và

72458

5

z y z

z y x



 =>x =100;y=225;z= 360 c/ 5x = 6y ; 5y = 6z và x + 2y – 3 z = 42

HD: Từ 5x = 6y và 5y = 6 z =>

56

y

x  và

56

z

y 

Tương tự câu b : BCNN(5;6) =30 =>

253036

z y x



 => x = 72, y=60, z=50 d/ 3x = 5y = 10z và x – 2y =Z = 15

HD : Để lập được các tỷ số ta chia mỗi tỷ số cho BCNN(3,5,10)=30 rồi rút gọn:

3x = 5y = 10z =

361030

1030

530

.5

412.4

f/ &2 3 4 330

32

z y x

6

43

643

3 3 3

3x  y  z  x y z 

Bài 3 : Tìm x ,y Biết & 144

43

2

2 

 y x y x

HD: Ta có : 4

2 2 24343

y x y x

9

2 2

23

229

1425

23

96

)42(14222

41

1232

1

5433

52

41

3 3 3 3

y x y

12

22

212

224

26

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

x y x y x y x y x y

6

)2()(

4

26

3

3 3

3 3 3 3 3 3 3

y y

x y x y x y x

648

2

316

3

y

x y y x y

6 6

Vậy ta có : ( 2 ; 1) và ( -2 ; -1 )

b/

x

x y y

8

13

53

8

136

x

x y y

x

x = 2 & y = 3 Bài 6 : Ba lớp chia nhau dự định chia nhau một số kẹo theo tỷ lệ 5:6:7 Nhưng Cô giáo lại cho chia theo tỷ

lệ 4:5:6 nên có một lớp được nhận hơn dự định 4

túi kẹo Tính tổng số túi kẹo ?

HD : Gọi x là là tổng số túi kẹo ( x thuộc N )

Số túi kẹo mỗi lớp dự định chia là a ; b ; c ta có :

518

765765

x c

x b

x a x c b a c b

415

65465

4

x c

x b

x m x p n m p n

7

;15

418

5

;15

515

6x x x x x x

Lớp thứ ba nhận nhièu hơn lúc đầu và

phân số chỉ 4 túi kẹo là :

9018

715

4 : 3 : 5 và các mẫu tỷ lệ với 1 : 2 : 4

HD : Gọi ba phân số cần tìm là

f

e d

c b

&

534

;44

37

f

e d

c b

4

52

344

52

345

43

244

:52

:31

c b

a f

e d

c b a f

e d

c b

a f e d c b a

Vậy:

44

1511

3.4

5

&

22

911

3.2

3

;11

1211

3



f

e d

c b

2 lần số thứ nhất và 3 lần số tjhứ hai nhiều hơn 4 lần số thứ ba là 19

Hướng dẫn : Gọi x;y;z là ba số tự nhiên phải tìmTheo đề bài ta có :

x =

z y y

c b

a   Tính giá trị biểu thức :

b c a

a c b

411312

311

a c b b c a b c a va a c b a c b

Bài 11: Ba tấm vải có chiều dai tổng cộng 145 m Nếu cắt tâm thứ nhất đi

2

1 ;cắt tấm thứ hai đi

HD: Gọi chiều mỗi tấm trước khi cắt là x;y;z ( >0 , mét )) Thì sau khi cắt tâm thứ nhất còn 1/2x,tấm thứ hai còn 2/3y và tấm thứ ba còn 3/4z Vì chiều dài mỗi tấm con lại bằng nhau nên ta có

:

89124

&

50452450

:45:246

5:4

3:5

2224.420

25

154

34

34

2 2

2 2

Hướng dẫn: gọi x;y là phân số cần tìm

Ta có x : y =

202120

:217

5:4

12207

97

201512201512

Chứng minh rằng:

a)

d c

d c b

a d

c b

a    Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

d c

b a d c

b a d

b c

d c b a

b a d c

b a d c

b a

d c b a

b a

a d

c b

do:

d

b c

a d

c b

=7a -10b 7c -10d

Nhận xét: Hầu hết các bài tập trong hai dạng toán trên đều có thể giải bằng nhiều cách tuy nhiên ở mỗi bài

ta nên chọn cách giải hợp lý nhất

VD 3: Cho tỉ lệ thức:

d c

d c b a

b a

2 2 2

2 2 2

Bài 2: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng:

( 2012 )( 2012 )

( 2012 )( 2012 )

a

 th×

d c

d c b a

b a

35

3535

35

d c b a

b a

35

3535

35

a

 Chøng minh r»ng:

2 2

2 2

d c

b a cd

d c

b a d

c

b a

d c b a b

d c b a a

d c b

2               

TÝnh

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

z c

b a

y c

b a

c z

y x

b z

y x

b b

c b a

z c

b a

y c

b a

c z

y x

b z

y x

t y

x t

z x

t z

y t

z y

x t y x

t z x t

z y t z

y x P

t y

x t

z x

t z

y t

3

3    abcd 

a

d d

c c

b

b

a

Chứng tỏ : a=b=c =d ?

HD: Áp dụng dãy TSBN :

3

1)(

3333

d c b a a

d d

c c

b b a

Ta suy ra:

)4(3

13

)3(3

13

)2(3

13

)1(3

13

a d a

d

d c d

c

c b c

b

b a b

c a c

b c b

a x

2)()()

c b a b a c a c b

c b a

* Khi a + b + c = 0 thì a = -(b+c) ; b = -(a+c ) và c = - (a +b

Một số bài tương tự (dạng 2 tự giải)

Bài 12 Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

và x + y + z + t = 2012 Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

Bài 14: a/ Chứng minh rằng nếu có : 2( x + y ) = 5 (y =z ) = 3 (z + x )

Thì :

54

z y y

b a







2 2

2 2

Hướng dẫn : a/ Ta có : 2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x ) <=>

106

15

x z z y y

x    

Vậy :

46

106

10

y x z y z x z y z

1510

15

z y x z y x x z y

z y y

b b

a c

b b

a c

b b

a

2 2

2 2

Do đó :

c

a c b

b a







2 2

2 2

Bài 15: Cho dãy tỷ số bằng nhau :

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

2    1 2   1  2  1   2 1

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b a

=

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

Nếu : a+b+c+d  0 => a=b=c=d lúc đó M= 1+1+1+1 = 4

Nếu : a+b+c+d = 0 => a+b = -(c+d) ; b+c = -(d+a)

C+d = -(a+b) ; d+a = -(b+c)

Lúc đó : (-1)+(-1)+(-1)+(-1) = - 4

Bài 16 : Cho P =

z y x

z y x

32

32

Vậy :

3

23

26

4985

985

k k k k

k k k

Dạng 3 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,… (chỉ có 1 điều kiện)

Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 1+3y1+5y1+7y

xy y x y x

3

xy y x y

x    (1)

Và :

816

213

313

3

x x y x y x y x y x

25(8

02008

2008

8200

y

x O

y x

xy x

xy x



x x

x x

x

Vậy: x = 0 ; y =0 và x =40 ; y= 25

y x

z z

x

y y

38

Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng Biết rằng 3 lần số vốn của

người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3 Tính số vốn mà từng người đã góp

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b  c c  a a  b Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

Bài 13: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho:

a+b-c=a-b+c=-a+b+c

Tìm giá bằng số của biểu thức: M (a+b)(b+c)(c+a)

abc



Bài 14: Cho biểu thức: P=x+y+y+z+ z+t +t+x

z+t t+x x+y z+y Tìm giá tri của biểu thức P biêt rằng:

x y z t

y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z

Bài 15: Cho 2016 số thoả mãn a1+a2+ +a2016  0 và 1 2 2015 2016

1 Kiến thức vận dụng :

- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; , 0

A A A

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B  A B dấu ‘=’ xẩy ra khi A.B 0;

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A

Am = An m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)

212

211

Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)

Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2

DẠNG : SỬ DỤNG BĐT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x       1 x 3 x 5 x 7 8

Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x   1 x     2 y 3 x  4 = 3

Bài 5 : Tìm x, y biết : x2006y  x 2012 0

HD : ta có x2006y 0với mọi x,y và x2012 0 với mọi x

Suy ra : x2006y  x 2012 0 với mọi x,y mà x2006y  x 2012 0

k x A k x A

)(

)()

53

12

12

35

42

3 x  d)

6

53

52

14

35,

14:2

34

3:5,24

b a b

)()()

()(

x B x A

x B x A x

B x A

52

74

43

25

58

3 Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều

không âm Do vậy ta giải như sau:

()(

x B x A

x B x A x

B x

A ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a0 a a

Nếu a0 a a

Ta giải như sau: A(x) B(x) (1)

 Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

15

1

2 x  x   d) x  x   x

5

122

132

132

101

3101

2101

1

4.3

13

.2

12

DẠNG 3: CHỨA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25 x = 2

b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27  x = 4

Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:

HD : ta có x2011y 0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y

Suy ra : x2011y (y1)20120 với mọi x,y Mà x2011y (y1)2012 0

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

HD: a) Từ 51x + 26y = 2000  17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x 2 mà x NT x = 2 Lại

y



  



+ Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:

5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có

HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7

Với n 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( kN*)

Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7

Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7

Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 Vậy n

HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1

Nếu m < -2 thì m 1 2m1, suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1

Vậy m {-2; -1; 0; 1}

Cách 2 : Để m1 2m 1 2(m1) 2m 1 (2m 1) 3 2m 1 3 2m1

b) 3m1 3  - 3 < 3m – 1 < 3  2 4 0

1

m m

* a2 + 2.ab + b2 = (a + b)2  0 với mọi a,b

* a2–2 ab + b2 = (a–b)2  0 với mọi a,b

*A2n  0 với mọi A, - A2n  0 với mọi A

* A  0, A ,  A  0, A

* A B  A B,A B, dấu “ = ” xảy ra khi A.B  0

* A B  A B ,A B, dấu “ = ” xảy ra khi A và B  0

2 Bài tập vận dụng:

* Dạng 1: Vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b (tham khảo thôi không đi sâu)

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

b

a ] + (c -

24

ac b a



khi x =

2

b a

c) B = 2xx2  (x22 .1 1 ) 1x  2    (x 1)21 Do (      x 1) 0, x B 1, x

Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 : Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:

a) P = 2 2012

4 2013

x  x b) Q =

2012 2012

20132011

a a





* Dạng2: Vận dụng A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

Bài 1 : Tỡm GTNN của biểu thức :

1( 2 ) 0

Bài 4 : Cho phân số:

54

23

4  9 3 khi x = 2

Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số

32

87

A  B  A B,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

A  B  A B ,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi

2

20