On tap cho HS trung binh yeu len lop 12

+ ViÕt E díi d¹ng tÝch cña c¸c nh©n tö lµ tam thøc bËc hai hay nhÞ thøc bËc nhÊt.[r]

Trang 1

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

Phần 1 Lớp 8

Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức -Nhân đa thức với đa thức

Ví dụ 1: cho đa thức p(x) =x2  2 x  3

Tính giá trị của đa thức khi x nhận các giá trị -3, -2, 0 ,

1

2 , 1, 2, 3 Trong các giá trị trên của x giá trị nào là nghiệm của đa thức?

Ví dụ 2: Tìm x, biết

a) 2x(x-2) – x(2x -1) = 6

b) (2x+3)(x- 4) + (x-5) (x-2) = (3x-5)(x-4)

c) (8x-3)(3x+2) – (4x +7)(x+4) = 2(2x +1)(5x- 1)

Bài Tập số 1

1) Cho hàm số f(x) = -x2 +3x -2

a) Tính giá trị của đa thức khi x nhận các giá trị , -1, 0 ,

1

2, 1, 2, 3 b) Tìm nghiệm của đa thức

2) Tìm x biết

a) 2x2 -2(x +3)x = 5 b) 2x2+ 3(x-1)(x+1) = 5x(x+1)

c) (8-5x)(x+2) + 4(x-2)(x+1) + (x-2)(x-2) =0 d) 4 (x-1)(x+5) – (x+2)( +5) = 3(x-1)(x+2)

Bài 2 Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Dới đây ta dùng các chữ A,B để chỉ các biểu thức đại số và có các hằng đẳng thc sau:

1)Bình phơng của một tổng

(A+B)2 = A2 +2AB+B2

2) Bình phơng của một hiệu

(A-B)2 = A2 -2AB+B2

3) Hiệu hai bình phơng

A2 –B2 = (A-B)(A+B) 4) Lập phơng của một tổng

(A+B)3 = A3 +3A2B+3AB2 +B3

5) Lập phơng của một Hiệu

(A-B)3 = A3 -3A2B+3AB2 -B3

6) Tổng hai lập phơng

A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2) 7) Hiệu hai lập phơng

A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2)

Chú ý: * Hằng đẳng thức (2) có thể suy ra từ hđt (1) bằng cách thay hạnh tử B bởi –B cũng tơng tự nh vậy

ta suy từ (4) ra (5) và suy từ (6) ra (7)

*Các hằng đẳng thức (4) và (5) nhiều khi còn đợc viết dới dạng sau:

(A+B)3 = A3+B3 + 3AB (A+B) (4a)

(A-B)3 = A3 –B3 – 3AB (A-B) (5a)

Ví dụ 1: Rút gọn

A = (x+1)2 – (x-1)2 B = (2x+1)2 + (2x-1)2

C = (x+2)3 – (x-2)3 D = x2(x-4) (x+4) - (x2 +1)(x2-1)

Ví dụ 3: Giải các phơng trình

c) (x-3)3 – (x-3)(x2+3x+9) + 6 (x+1)2 = 15 d) x(x-5)(x+5) – (x+2)(x2-2x +4) = 3

Bài tập số 2

1)Tính a) (3x-1)2 b) (2x3y +

1

4y4)2 c) (3x-1)2 – (3x+1)2

d)(y2 +y +3)2 e) (-5x2-

1

2)Dùng hằng đẳng thức biến đổi ra dạng bình hoặc đối của bình phơng

a)x2- 6x + 9 b) - 4y2 +4y -1 c)a2 –a +

1 4 d)4x2n + 25 + 20xn e)16 – 8m2 +m4 g)49n6 – 56n3a2 + 16 a4

h)(a+b)2 – 4ab i)(a-b)2 + 4ab k)25y18 – 70y9x3 + 49x6

3)Tính:

1

Trang 2

a) (m2n + n2m) (m2n – n2m) b) (xm-bn) (xm+bn) c) (3xy2 -5)2 – (3xy2 +5)2

d) (5x3 -9)2 + (5x3 +3)2 e) (ax2-1) (ax2+1) – (ax2 -1)2 g) (11x+9y)2 – (11x+9y)(11x-9y)

h) (x-y+z) (x-y-z) i) (a + b + c)2

4)Tìm x:

a) ( x+3)2 –(x-3)2 = 5 b)(x+2)(x2-2x+4) – x(x2-2) = 15

c)(x-1)3 + (2-x)(4+2x+x2) + 3x(x+2) = 17

5) Biến đổi tổng sau thành tích:

a) m2 -9 b) 36 –y2 c) a6 –b6 d) 81-100n8 e) 8x3 – 27

Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử

A.Các phơng pháp chính

1.Phơng pháp đặt nhân tử chung ( đặt thừa số chung)

Ví dụ1: 10ax2 -5x3 +5x2 = 5x2 ( 2a –x +1)

3x(x-2) +5(2-x) = 3x(x-2) -5(x-2) = (x-2)(3x-5) 2.Phơng pháp hằng đẳng thức

Ví dụ 2: * x2+2x+1 = x2+2.x.1+12 = (x+1)2

* 4x2 -12x +9 = (2x)2 -2.2x.3+32 = ( 2x -3)2

* 9x2 -4y6 = (3x)2 –(2y)2 = (3x-2y)(3x+2y)

* 8x3 -27 = (2x)3-33 = (2x-3)[(2x)2 +2x.3+32] = (2x-3)(4x2+6x+9)

* -x3 -8 = -(x3+23) = -(x+2)(x2-2x+4) 3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử để đặt thừa số chung oặc để xuất hiện hằng đẳng thức

Ví dụ 3: * x3 -3x2+3x-1–y3 = (x-1)3– y3 = [(x-1)-y][(x-1)2+(x-1)y+y2] =(x-y-1)(…)

* xy +x +y +1 = x(y+1) +(y+1) = (x+1)(y+1)

* x2 -2ax +a2 –b2 = (x-a)2 –b2 = (x-a-b)(x+a+b) 4.Phơng pháp thêm bớt

Ví dụ 4: * P = x4 + 4y4 = (x2)2 +2.x2.(2y2) +(2y2)2 - 4x2y2 =(x2 +2y2)2 –(2xy)2

= (x2+2y2-2xy)( x2+2y2+2xy)

* Q = x5 +x +1 = x5-x2 +x2 +x+1 = x2(x3-1) + (x2 +x+1)

=x2(x-1)( x2 +x+1)+ 1.(x2 +x+1) =( x2 +x+1)[ x2(x-1) +1]

5.Phơng pháp tách các hạng tử

Ví dụ 5: * P = x2 - 4x +3 = x2 -3x –x +3 = x(x-3) –1(x-3) = (x-3)(x-1)

* Q = a3 -7a -6 = a3 –a -6a-6 = a(a2 -1) -6(a+1) = a( a-1)(a+1) -6(a+1)

= (a+1)[a(a-1) -6] = (a+1) (a2–a-6) = (a+1)[a2-3a+2a-6]

= (a+1)[a(a-3)+2(a-3)] =(a+1)(a-3)(a+2) 6.Phơng pháp dự đoán nghiệm của đa thức

Định lí: “ Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x – a”

Ví dụ 6: * Q = x3 -2x2-5x +6 có nghiệm x = 1

Nên suy ra Q = x3-x2-x2+x-6x+6 = x2(x-1) –x(x-1) -6(x-1) =

* M = x3 -2x2 +5x +8 có nghiệm x = -1 nên suy ra M = … = ( x +1)( … )

7.Phơng pháp đặt biến số phụ

Ví dụ7 : N = ( x2 +5x +4) ( x2 +5x +6) +1

Đặt t = x2 +5x +4 ta có :

N = t(t+2)+1= t2 +2t+1 = (t+1)2 =( x2 +5x +4)2 =[(x+1)(x+2)]2

8.Phơng pháp đồng nhất hai đa thức

…

Bài tập số 3:

1.Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2x2 -6x b) x4 +x3 –x-1 c) x2 -7xy +10y2 d) x2 –(a+b)xy +aby2e) a5 –ax4 +a4x –x5

2 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2x2 +8x -10 b) 4x2 –x-3 c) x2 -6x +8 d) x2 -3x +2

e) x2 -5x -14 g) x2 -9x +18 h) x2 +6x +5 i) 15x2 +7x -2

3 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 5x2 +6xy +y2 b) a2 +2ab -15b2 c) (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) +1 d) x4 +64

e) x3 -19x -30 g) x3 -3x2 -4x +12 h) a3 +b3+c3 -3abc

4.Tìm x

a) (2x-1)(3x-2) = 0 b) 3x2 -5x -2 = 0 c) 12x2 +7x -12 = 0 d) x3 -3x +2 = 0 e) x3 -5x2 +8x - 4 = 0 5.Giải phơng trình

a) 2x2 +8x -10 = 0 b) 4x2 –x-3= 0 c) x2 -6x +8 = 0 d) x2 -3x +2 = 0 e) x2 -5x -14 = 0

g) x2 -9x +18 = 0 h) x2 +6x +5 = 0 i) 15x2 +7x -2 = 0 k) x3 – x = 0

Bài 4 Phân thức đại số

2

Trang 3

Ví dụ 1: với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa

a)

x



2

3

7 b)

x x



2 2

16 1

x



 

2 2

1

x (x )



  2

3 2

Ví dụ 2: Rút gọn

x x

 

  

2 2

Ví dụ 3: Tìm x để mỗi phân thức sau đây bằng không

a)

x x x

x x

  

 

1

x



2 2 2

Ví dụ 4 Chứng minh đẳng thức:

:

1

Bài tập số 4:

1.Tìm tập xác định của biểu thức rồi giải phơng trình

a)

x







2

0

x (x )( x )





2

4 25

0

1 2 3

2.Rút gọn biểu thức

       



     

3 3

3.Chứng minh

a)

2

1

b)

1

Phần 2.Lớp 10

Bài 5 Ph ơng trình bậc hai A.Tóm tắt kiến thức

1.Phơng trình bậc hai

1.1.Dạng của phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a 0

1.2.Nghiệm của phơng trình bậc hai

Biểu thức : Δ= b2 -4ac ( hay Δ’=b’2 –ac với b’ = b/2)

* Δ< 0 : pt vô nghiệm

* Δ= 0: pt có nghiệm kép

* Δ > 0: pt có 2 nghiệm phân biệt ,

b x

a

1 2

2

Δ



ghi chú : nếu ac < 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1.3.Định lý viet

*Nếu phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thì

S = x1 +x2 =

b a

 ; x1x2 =

c

a.

*Nếu x1 +x2 = S , x1x2 = P và S2 -4P 0 thì x1,x2 là nghiệm của phơng trình :

3

Trang 4

x2 –Sx +P = 0

ghi chú:

Nếu a +b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a

Nếu a -b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a

Nếu pt có 2 nghiệm x1 và x2 thì ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2)

* điều kiện pt bậc hai có 2 nghiệm phân biệt dơng là

1 2

0

0 0

S x x

P x x

 



  



  



2.Phơng trình bậc bốn đa về phơng trình bậc hai

2.1.Dạng 1

ax4 +bx2 +c = 0 ( a0) (phơng trình trùng phơng)

Đặt t = x2 với t 0 ta có phơng trình : at2 +bt +c = 0

2.2.Dạng 2

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k trong đó a+b =c +d ; k 0.

đặt t = ( x+a)(x+b)

2.3.Dạng 3 (x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0)

Đặt t = x +

a b 2



2.4.Dạng 4

ax4 +bx3 +cx2 bx +a = 0 với a 0

Chia 2 vế cho x2 và đặt t x

x

1

 

ta có phơng trình : at2 +bt +c +2a = 0 Ghi chú: nếu t = x +x

1

thì ta có đều kiện t 2

Giải tơng tự cho phơng trình : ax4 +bx3 +cx2 dx +e = 0 với

2

 

 

 

B.Phơng pháp giải toán

ví dụ 1: Tìm m để phơng trình : x2 -10x +9m = 0 (1)

a)có hai nghiệm

b)x1- 9 x2 =0

Hớng dẫn: a)

25

b) áp dụng định lí viet ta đợc m = 0; m = 1

Ví dụ 2.Tìm m để phơng trình : x2 +(m-1)x +m + 6 = 0 (1)

Có hai nghiệm thoả mãn x1+x2 = 10

Hớng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phơng có 2 nghiệm

Ta đợc m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3

Ví dụ 3 định m để phơng trình : x2 -2(m+1)x –m- 1 = 0 (1)

Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x1 +x2 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Hớng dẫn:

*Điều kiện pt có 2 nghiệm là m  2 ;m  1

*A = …= 4[(m+2)2 -1]  4 khi m = -2 vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2.

Ví dụ 4 Gải các phơng trình:

a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 ĐS: x = 4 ; x = -8

b) x4 + ( x-1)4 = 97 ĐS: x = 3 ; x = -2

c) 6x4 -35x3 +62x2 -35x +6 = 0 ĐS: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3

Ví dụ 5 Cho phơng trình :

mx2 -2(m-2) x +m -3 = 0 Tìm m để phơng trình :

a) Có hai nghiệm trái dấu ĐS: 0 < m < 3

b) Có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: m< 0; 3< m <4

c) Có đúng 1 nghiệm âm ĐS: 0 < m < 3

Ví dụ 6 Cho phơng trình

( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0

Định m để phơng trình trên

a)có 4 nghiệm phân biệt b)có 3 nghiệm phân biệt

c)có 2 nghiệm phân biệt d)có 1 nghiệm phân biệt

e) vô nghiệm ĐS: m < -3 ; m > 3/2

4

Trang 5

1.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt

a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = 0 ĐS: m > 1/2

m m

1 24 0



 







2.Cho phơng trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = 0 (1)

a) Định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 ĐS: m 2;m 2

b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1,x2 ĐS: P – S -1 = 0

c) Tính theo m,biểu thức A = x1 +x2 ĐS:A=2(1+2m)(16m2+4m-5)

6





e)viết pt bậc hai có nghiệm là x1 và x2 ĐS:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0

3.Cho phơng trình : x2 -6x +m -2 = 0

Định m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: 2 < m < 11

4.Cho phơng trình : mx2 +2(m +3)x +m = 0

Định m để phơng trình :

m m

3 2 0



 





 



5.Giải các phơng trình :

a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36 ĐS: 0;-3;

2

 

.b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16 ĐS: -5;-3

c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = 0 ĐS: 1;

3 5 2

 

d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.ĐS:1 ;2

Bài 6 Hệ ph ơng trình

Vấn đề 1:Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.

Ph

ơng pháp giải :

+Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia

+Thế vào phơng trình bậc hai còn lại để đa về phơng trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1.giải hệ

x y

x2 xy

2 3 1 (1)

24 (2)

 





 

Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.

-ta qui ớc gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y.

Ph

+Đặt S = x +y; P = xy đa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y

+Tìm S,P x,y là nghiệm của phơng trình tổng tích

X2 –SX+P = 0

Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S 2 - 4P  0

Ví dụ 2.Giải hệ

x y xy

x2 y2

5 5

  





 

Ví dụ 3 Giải hệ

x y

2 2

1 1

5

9 DS: 1; 1



   





     



Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì hệ có nghiệm (y 0 ;x 0 ).

Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.

-Ta quy ớc gọi một hệ hai phơng trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia.

5

Trang 6

Ph

+Trừ vế với vế các phơng trình đã cho

+Phơng trình trên sẽ đợc đa về phơng trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y

+ứng với từng trờng hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phơng trình của hệ để có một hệ con,giải hệ con này +Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho

2 2

3 2

  





 

Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.

ĐN: Hệ 2 ẩn x,y đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng

ax bxy cy d

a 'x b'xy c'y d '





Ph

+Xét xem x =0 có là nghiệm của hệ hay không?

+ khi x 0,ta đặt y = kx

*Thế vào hệ ,khử x,ta đợc 1 phơng trình bậc hai theo k

*Giải tìm k,ứng với mỗi trờng hợp của k ta tìm đợc (x,y)







ĐS: 1 2 ; ,  1 2 ; , 4 ; 5 , 4 ; 5

1.Giải hệ :

a)

xy x y

0





;

5 7

2 3



  b)

x y

2 4



2.Giải hệ :

a)

x y

2 2

10 4

  



 

 ĐS: (3;1),(1;3) b)

x y xy

x2 y2 xy

5 7





c)

x y

y x

x y

13 6 5



 





  

x y

x x y

2 2

  





 



ĐS: (1;1)

e)

x y xy

78 97





3.Giải hệ:

a)

2 2





b)

x x y

y y x

3

2 2

  





 

c)





d)

2





4.Giải hệ:

a)

x y

2 2

1 1

5

9









ĐS:

;3 5 , 3 5;

     

6

Trang 7

Bài 7: Giải bất phơng trình

Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ.

A-Xét dấu biểu thức E

+ Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất

+ Lập bảng xét dấu

B- Giải bất phơng trình hữu tỉ

+ Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế

+ Rút gọn biểu thức có đợc

+ Xét dấu biểu thức đó

+ Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm

Ví dụ 1: Xét dấu E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3)

 x2 – 4 có 2 nghiệm là -2; 2

 x2 – 4x + 3 có 2 nghiệm là 1; 3

Lập bảng xét dấu

Ví dụ 2: giải bất phơng trình :

5 2 1

2

HD: (1)    

2

0

Lập bảng xét dấu,ta đợc tập nghiệm x < -5; 1/2 < x < 6 ; x > 6

Bài tập số 7A

1.Giải các bất phơng trình:

a) x2 -7x +10 < 0 ĐS: 2 < x < 5 b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6) 0. ĐS: 1   x 3.

c)

x x

x

2

3 0

1 2

 



x x

2 2

3 2

0

4 3

 



  ĐS: x <1; 1< x <2 ; x  3 2.Giải các bất phơng trình sau :

a)

x x

2

1

3 2

 

1 2 3

   ĐS: x <-1; 3/2< x<2; x >3.

c)

2 2

   ĐS:  5   x 2 1 ;   x  1



 

x x

2

  









3 Giải các bất phơng trình sau :

a) x(x+1) < x2 x

42 1

  ĐS: -3 < x <2 b) x2 +(x+1)2 x2 x

15 1



c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24 ĐS: -4 < x< 1

Vấn đề 2.Giải hệ bất phơng trình

*Giải từng bất phơng trình

*kết hợp nghiệm còn lại ta đợc nghiệm của hệ

Ví dụ 1 Giải hệ :

760 (1)

8150 (2)

Giải : giải (1) :1   x 6

Giải (2) :x  3 ;x  5

Kết hợp (1) và (2) ta đợc ĐS: 1   x 3 5 ;   x 6

Bài tập Số 7B:

1.Giải các hệ bất phơng trình

a)

x

2



 ĐS: 1/2 < x < 4. b)

2





7

Trang 8

c)

x x x

2 2

2 7

1

 

5



Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R.

Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > 0 ,   x R

Giải:

 m = 0 suy ra f(x) = 4x > 0  x  0 do đó m = 0 không nhận đợc.

 m  0

f(x) > 0 ,   x R

2

Δ



Ví dụ 2.Định m để bất phơng trình sau vô nghiệm

(m +1)x2 -2mx –(m -3) < 0 (1) HD:

m

Bài tập số 7C

1) f(x) = x2-mx +m +3  0 x ,   R  -2  m  6

2) f(x) = mx2 –mx -5 < 0 ,   x R   20  m  0

………

Bài 8 Phơng trình –Bất ph ơng trình chứa căn thức

Vấn đề1.Luỹ thừa các vế.

Chú ý:

B

A B

0





  





Ví dụ 1.Giải bất phơng trình : x2 x

Ví dụ 2.Giải phơng trình: x    1 8 3 x  1 ĐS: x = 8.

Vấn đề 2 Đổi biến đa về phơng trình hữu tỉ.

Ví dụ: (x + 1)(x + 4) – 3 x2 x

Vấn đề 3 Đa về hệ phơng trình hữu tỉ bằng cách đặt ẩn số phụ.

Vấn đề 4 Đa về phơng trình chứa trị tuyệt đối.

Ví dụ: x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 ĐS: -1  x 0

Vấn đề 5 Bất phơng trình chứa căn thức.

Các dạng căn bản

B

A B

A

0 0





  



 và

B

A B2

0











Ví dụ: Giải bất phơng trình : x2  1   x 2

Ví dụ: Giải bất phơng trình: x2  3 x   4 x

………

Bài tập tơng tự I.Giải các phơng trình :

1) x2  2 x  4  2  x ĐS: -2. 2) 3 x2  9 x    1 x 2 ĐS: 3.

3) 3 x2  9 x    1 x 2

ĐS: 3;-1/2 4) 3 x   7 x   1 2 ĐS: 1;3.

5)3 x   5 3 x  6 3 2 x  11 ĐS: -6;-5;-11/2. 6) 3 x   1 33 x   1 3 x  1ĐS: -1.

8

Trang 9

7) 31  x 31  x  2 ĐS: 0. 8) 3 x2  2 x  15  3 x2  2 x   8 7 ĐS: 1;-1/3. 9) x2   9 x2  7  2 ĐS: 4;-4. 10) 4 47 2  x 435 2  x  4ĐS: -17;23.

11) x  2  2 x  5  x   2 3 2 x  5  7 2 ĐS: 15.

II.Giải các bất phơng trình :

1) x2  x  12   7 xĐS:x  3 4 ;   x 61

3 2) 21 4  x x  2   x 3ĐS: 1   x 3 3) x2  3 x  10   x 2 ĐS: x  2 ;x  14

4) x   3 7  x  2 x  8 ĐS: 4   x 5 6 ;  x  7

5) 2 x   3 x  2  1 ĐS:  3   x 2 1 (  3 )

2

Phân 3 Lớp 11

Một số công thức lợng giác

1.Công thức lợng giác cơ bản: a

sin tan

cos

α α

α



b.

cos

sin tan

2

c.sin(αk2π) sin α ; cos(αk2π) cos α d tan (α+kπ )=tan α ;cot(α+kπ )=cot α , k ∈ Ζ

e cos2αsin2α1 g. 1+tan2α= 1

cos2α ,(khicos α ≠ 0) h 1+cot2α= 1

sin2α ,(khi sin α ≠ 0)

2.Giá trị LG của các góc có liên quan đặc biệt

Hai góc đối nhau:

góc α và - α

sin(- α ) = - sin α

cos(- α ) = cos α

tan(- α ) = - tan α

cot(- α ) = - cot α

Hai góc bù nhau góc α và góc π

-α

sin( π - α ) = sin

α

cos( π - α ) = - cos

α

tan( π - α ) = - tan

α

cot( π - α ) = - cot

α

Hai góc hơn kém nhau π

sin( α + π ) = - sin

α

cos( α + π ) = - cos

α

tan( α + π ) = tan

α

cot( α + π ) = cot

α

Hai góc phụ nhau:góc α góc π

2 - α

sin( π

π

2

-α ) = sin α

tan( π

2 - α ) = cot α ;cot(

π

2

-α ) = tan α

3.Công thức cộng :cos (α+ β)=¿ cos α cos β - sin α sin β (1) cos( α - β ) = cos α cos β + sin α .sin

β (2)

tan

tan tan

α β





tan tan

α β



 



4.Công thức nhân đôi: cos2 α = cos 2 α -sin 2 α (7a) sin2 α = 2.sin α cos α (8) tan2 α = 2 tan α

1 − tan2α (9)

= 2cos 2 α -1 (7b) = 1- 2sin 2 α (7c). Lu ý: sin3a = 3sin a -4sin3 a ; cos3a = 4cos 3 a -3cosa

5.Công thức hạ bậc:

sin

9

Trang 10

6.Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos α cos β =1

2[cos(α+β )+cos(α − β )]

sin α sin β=−1

2[cos (α +β)−cos (α − β)]

sin α cos β=1

2[sin (α+ β)+sin(α − β )]

7.CT biến đổi tổng thành tích:

cos x +cos y=2cos x + y

2 cos

x − y

2 ;

cos x − cos y=− 2 sin x + y

2 sin

x − y

2 ;

sin x+sin y=2 sin x + y

2 cos

x − y

2 ;

sin x sin y 2cos  sin 

Chú ý:

Sinx+cosx=

sin x π

2

4

sin x cos x   sin x  π

 

2

4

8.Bảng GTLG của một số góc đặc biệt

α 0(0 0 ) π

6 (30 0 )

π

4 (45 0 )

π

3 (60 0 )

π

2 (90 0 )

π

2

3 (120 0 )

π

3

4 (135 0 )

π

5

6 (150 0 )

π(180 0 )

2

1 2

2 2

3 2

4 2

3 2

2 2

1 2

0 2

2

3 2

2 2

1 2

0

-1

-2

-3

-4 2

3 3

1

-3 3

0

Giá trị lợng giác của góc ( Cung) lợng giác

1.đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ

a)

3

4

π

;b)

2 3

π

11 6

π

3 7

π

2 Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian

a) 450 ; b) 1500; c) 720; d) 750

3 Tìm GTLG sin, côsin, tang của các góc LG có số đo sau

*) 1200; -300;-2500,7500,5100

*)



5.Xác định dấu của sinα ,cosα , tanα , biết :

a)

3 2

π

π α  

;

c) 2

6.Tính các giá trị lợng giác còn lại của α , biết

a)cos 5

13

α 

và

3

2 2

π

 

b) sinα = 0,8 và 2

π

α π

 

c) tanα = 15/8 và

3 2

π

π α  

d) cotα = -3 và

3

2 2

π

 

Bài 10 Giá trị LG của các góc (cung) có liên quan đặc biệt.

1.Đơn giản biểu thức

1

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,66 MB