On tap cho HS trung binh -yeu lên lop 12

+Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia.+Thế vào phơng trình bậc hai còn lại để đa về phơng trình bậc hai một ẩn.. -ta qui ớc gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu m

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

Phần 1 Lớp 8

Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức -Nhân đa thức với đa thức

Ví dụ 1: cho đa thức p(x) =x2− 2 x − 3

Tính giá trị của đa thức khi x nhận các giá trị -3, -2, 0 , 1

(A+B)3 = A3 +3A2B+3AB2 +B3

5) Lập phơng của một Hiệu

(A-B)3 = A3 -3A2B+3AB2 -B3

6) Tổng hai lập phơng

A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2)7) Hiệu hai lập phơng

A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2)

Chú ý: * Hằng đẳng thức (2) có thể suy ra từ hđt (1) bằng cách thay hạnh tử B bởi –B cũng tơng tự nh vậy

ta suy từ (4) ra (5) và suy từ (6) ra (7)

*Các hằng đẳng thức (4) và (5) nhiều khi còn đợc viết dới dạng sau:

(A+B)3 = A3+B3 + 3AB (A+B) (4a)

(A-B)3 = A3 –B3 – 3AB (A-B) (5a)

2)Dùng hằng đẳng thức biến đổi ra dạng bình hoặc đối của bình phơng

Ví dụ 3: * x3 -3x2+3x-1–y3 = (x-1)3– y3 = [(x-1)-y][(x-1)2+(x-1)y+y2] =(x-y-1)( )…

* xy +x +y +1 = x(y+1) +(y+1) = (x+1)(y+1)

* x2 -2ax +a2 –b2 = (x-a)2 –b2 = (x-a-b)(x+a+b)4.Phơng pháp thêm bớt

Ví dụ 4: * P = x4 + 4y4 = (x2)2 +2.x2.(2y2) +(2y2)2 - 4x2y2 =(x2 +2y2)2 –(2xy)2

= (x2+2y2-2xy)( x2+2y2+2xy)

* Q = x5 +x +1 = x5-x2 +x2 +x+1 = x2(x3-1) + (x2 +x+1)

=x2(x-1)( x2 +x+1)+ 1.(x2 +x+1) =( x2 +x+1)[ x2(x-1) +1]

5.Phơng pháp tách các hạng tử

Ví dụ 5: * P = x2 - 4x +3 = x2 -3x –x +3 = x(x-3) –1(x-3) = (x-3)(x-1)

* Q = a3 -7a -6 = a3 –a -6a-6 = a(a2 -1) -6(a+1) = a( a-1)(a+1) -6(a+1)

= (a+1)[a(a-1) -6] = (a+1) (a2–a-6) = (a+1)[a2-3a+2a-6]

= (a+1)[a(a-3)+2(a-3)] =(a+1)(a-3)(a+2)6.Phơng pháp dự đoán nghiệm của đa thức

Định lí: “ Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x – a”

Ví dụ 6: * Q = x3 -2x2-5x +6 có nghiệm x = 1

Nên suy ra Q = x3-x2-x2+x-6x+6 = x2(x-1) –x(x-1) -6(x-1) =

* M = x3 -2x2 +5x +8 có nghiệm x = -1nên suy ra M = = ( x +1)( ) … …

¤n tËp To¸n Líp 12 B14 ThÇy gi¸o : Vò Hoµng S¬n

−

−

2 2

1.Phơng trình bậc hai

1.1.Dạng của phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a ≠0

1.2.Nghiệm của phơng trình bậc hai

Biểu thức : Δ= b2 -4ac ( hay Δ’=b’2 –ac với b’ = b/2)

Nếu a +b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a

Nếu a -b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a

Nếu pt có 2 nghiệm x1 và x2 thì ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2)

1 2

0

00

x

1 thì ta có đều kiện t ≥2

Giải tơng tự cho phơng trình : ax4 +bx3 +cx2 ±dx +e = 0 với e d

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

Có hai nghiệm thoả mãn x1+x2 = 10

Hớng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phơng có 2 nghiệm

Ta đợc m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3

Ví dụ 3 định m để phơng trình : x2 -2(m+1)x –m- 1 = 0 (1)

Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x1 +x2 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Hớng dẫn:

*Điều kiện pt có 2 nghiệm là m ≤ − 2 ;m ≥ − 1

*A = = 4[(m+2)… 2 -1] ≥ − 4 khi m = -2 vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2

b) Có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: m< 0; 3< m <4

Ví dụ 6 Cho phơng trình

( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0

Định m để phơng trình trên

b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1,x2 ĐS: P – S -1 = 0

+Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia.

+Thế vào phơng trình bậc hai còn lại để đa về phơng trình bậc hai một ẩn

Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.

-ta qui ớc gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y.

Ph

ơng pháp giải :

+Đặt S = x +y; P = xy đa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phơng trình của hệ là

đối xứng đối với x,y

+Tìm S,P x,y là nghiệm của phơng trình tổng tích

Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì hệ có nghiệm (y 0 ;x 0 ).

Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.

-Ta quy ớc gọi một hệ hai phơng trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia.

Ph

ơng pháp giải :

+Trừ vế với vế các phơng trình đã cho

+Phơng trình trên sẽ đợc đa về phơng trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y

+ứng với từng trờng hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phơng trình của hệ để có một hệ con,giải hệ con này +Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho

2 2

Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.

ĐN: Hệ 2 ẩn x,y đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng

*Thế vào hệ ,khử x,ta đợc 1 phơng trình bậc hai theo k

*Giải tìm k,ứng với mỗi trờng hợp của k ta tìm đợc (x,y)

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

Bài 7: Giải bất phơng trình

Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ.

A-Xét dấu biểu thức E

+ Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất

+ Lập bảng xét dấu

B- Giải bất phơng trình hữu tỉ

+ Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế

VÝ dô 2: gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : x x

xx

+ + §S: -3 < x <2 b) x2 +(x+1)2 x2 x

151

≤+ + §S: − ≤ ≤ 2 x 1

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

Bài 8 Phơng trình Bất ph– ơng trình chứa căn thức

Vấn đề1.Luỹ thừa các vế.

>



< ⇔  ≤ <



Ví dụ: Giải bất phơng trình : x2 − < + 1 x 2

Ví dụ: Giải bất phơng trình: x2 − 3 x ≥ − 4 x

………

Bài tập tơng tự I.Giải các phơng trình :

cos

α α

c.sin(α+k2π) sin= α ; cos(α+k2π) cos= α d tan(α+kπ) = tanα; cot(α+kπ) = cotα,k∈ Ζ

e cos2α+sin2α=1 g. ,( cos 0)

cos

1tan

α

2.Giá trị LG của các góc có liên quan đặc biệt

Hai góc đối nhau:

3.Công thức cộng :cos(α+β) = cos α cosβ - sinα sinβ (1) cos(α -β) = cosα cosβ+ sinα .sinβ (2)

sin( α + β ) = sinα cosβ+ cosα sinβ (3) sin(α -β) = sinα cosβ- cosα sinβ (4)

tan2

− (9)

= 2cos 2α -1 (7b) = 1- 2sin 2α (7c) Lu ý: sin3a = 3sin a -4sin3 a ; cos3a = 4cos 3 a -3cosa

5.Công thức hạ bậc: cos2α=1+cos2α; sin2α=1−cos2α

2

1 cos

2

1 sin

2

1 cos

;

2

sin 2 sin 2 cos

cosx− y=− x+y x−y

;

2

cos 2 sin 2 sin sinx+ y= x+ y x−y

;

x y x ysin x sin y− =2cos + sin −

2 2

3 2

4 2

3 2

2 2

1 2

0 2 cosα 4

2

3 2

2 2

1 2

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

tanα 0

33

3

0

Giá trị lợng giác của góc ( Cung) lợng giác

1.đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ

a) 3

4

π

;b) 2 3

a)cos 5

13

α = và 3

2 2

Bài 11 Công thức cộng cung biến đổi tổng thành tích ,tích thành tổng

Ví dụ 1.đơn giản biểu thức

a) A =

cos sin

2

4 2 4

2

π α α

* áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có ngay các công thức quen thuộc

sina + cosa = sina +sin  π − a 

c) sin a sin a sin a tan a

cosa cos a cos a

a) cos2(a+b) +cos2(a-b) = 1 +cos2a.cos2b

b) cos a cos+  π+a+cos  π−a=

3.Rút gọn

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

a) cos2a –sin2(a+π

Ví dụ 2 : giải phơng trình 8cos2x +6sinx -3 = 0

Giải : Thay cos2x = 1- sin2x ta đợc

8 sin2x -6 sinx -5 = 0

Đặt u = sinx , u ≤ 1 phơng trình có dạng

8u2 -6u -5 =0

uu

2 = sin

(-π

π π

⇒ = − + 2

6 ; x= 7π+ 2 kπ

6b) sinx =5

⇒ = ± +

bằng cách biểu diễn các họ nghiệm (1) và (2) trên đờng tròn lợng giác ta đợc nghiệm trong khoảng(0,π)là

Ví dụ 1: a) gpt : Sinx + 3 cosx =1

-Chia hai vế cho cos2x

-Giải phơng trình bậc hai với ẩn tgx=t

π

k x

k x

4

2

1 arctan

b) 2sin2x -5sinx cosx –cos2x = -2

Giải: Pt ⇔4sin2x +cos2x -5sinx cosx = 0

Nhận thấy cosx =0không nghiệm đúng phơng trình

pt ⇔ 4tg2x -5tgx + 1=0

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

⇔

1

4 1

4 Ph ơng trình đối xứng với sinx và cosx.

*Dạng : a(sinx+cosx) +bsinx cosx= c

( a, b, c ∈ R)

*Cách giải:

Đặt : sinx + cosx = t ( t ≤ 2) ⇒sinx cosx =

2 12

Bài1) Giải phơng trình : sin2x + sin2x = 1

⇔2sinx cosx = cos2x

5

1

−

+kπ

Bài giải pt: sin 3) 4x +cos4x =cos 2x

Giải : áp dụng bđt a2+b2 =(a+b)2-2ab

Ta có sin 4x +cos4x= (sin2x+cos2x)2-2sin 2xcosx2x = 1-1

2 sin

22x = 1

2(1+cos

22x) phơng trình đã cho có dạng cos22x – 2cos2x +1= 0

⇔(cos2x -1 )2 = 0 ⇔cos2x = 1 ⇔ x= kπ

Bài4) Giải phơng trình: 1+cos2x = sin2x

kx

k

x x

x

2 12 cos

0 cos

x

x x

x

2 cos 1

2 sin cos

2 cos

ππ

b.Pt ⇔ sin6x – sin2x = sin4x

⇔ 2sin2x cos4x = 2sin2x cos2x ⇔ sin2x ( cos4x –cos2x ) = 0

⇔ sin2x = 0 V cos4x = cos2x ⇔

2

2 2

3 3

m x

k x k

x

l x l

x

π

π π

π π

1- cos8x + 1 – cos6x = 1– cos4x + 1- cos2x

2

2 2

5 5

k x k

x

k x k

x

π π

ππ

ππ

⇔(sinx + cosx)(1-sinxcosx- cosx+sinx ) = 0

⇔sinx +cosx = 0 HoÆc (1-sinxcosx – cosx+sinx ) = 0

* sinx +cosx = 0 ⇔sin (x+

Ôn tập Toán Lớp 12 B14 Thầy giáo : Vũ Hoàng Sơn

Pt ⇔2sin2x cosx + sin2x = 2cos2x cosx + cosx

Bài9): Giải phơng trình : 3 +2 sinx sin3x = 3cos3x

Giải : 3 +2 sinx sin3x = 3cos3x

⇔2sin2x (6 - 4sin2x ) = 0 ⇔ sinx = 0 V sin23x = 3

2 (loại ) ⇔ x = kπ

Bài10): Giải phơng trình : sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2

Giải : sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2

⇔1- cos2x + 1 – cos4x + 1- cos6x + 1- cos8x = 4 ⇔cos8x + cos6x + cos4x + cos2x = 0

⇔cosx cos5x cos2x = 0⇔cosx = 0 V cos2x = 0 V cos5x = 0⇔ 2

10 5

k x k x

PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC -Đề thi đại học

I.Phửụng trỡnh ủửa veà phửụng trỡnh moọt haứm soỏ lửụùng giaực.

15.ẹHBK 96 sin4 x + cos4 x = cos 2 x

16.HVBCVTHCM 2001.sin6x + cos6x = sin 2 x

25.ẹHKTeỏ 97 cos 7x− 3 sin 7x= − 229.ẹHGTVT 00

2 2 sinx+cosx cosx = +3 cos 2x

30.ẹHMT 96 cos7 cos5 x x − 3sin 2 x = − 1 sin 7 sin 5 x x

III.PT ủaỳng caỏp baọc hai ủoỏi vụựi sin x vaứ cos x.

33.sin2 x − 2sin cos x x − 3cos2x = 0

34.3sin2 x−3sin cosx x+4 cos2 x =2

35.sin2 x + sin 2 x + 3cos2 x = 3

39.ẹHCN HCM 00 cos2 x− 3 sin 2x= +1 sin2 x

40.ẹHTSaỷn NT 00 cos2x − sin cos x x − 2sin2x − = 1 0

41.ẹHCThụ 97D cos2x+ 3 sin cosx x− =1 0

43.ĐHDLĐĐô 97A.tgx+cotgx=2 sin 2( x+cos 2x)

IV.Phương trình đối xứng với sin xvà cos x

44.CĐSPTGiang 97A sin x + cos x − = 1 2sin cos x x

45.ĐHHuế sin cos x x + 2sin x + 2cos x = 2

46.ĐHDLHVương 97 sinx+cosx+ 2 sin 2x =0

47.HVCTQG.00: 2sin 2x−2 sin( x+cosx)+ =1 0

50.ĐHDLĐĐô 96B: sin 2x+4 cos( x−sinx) =4

51.CĐSPTGiang 97B: cos x − sin x − = − 1 sin 2 x

x tg x

tgx

x x

x x

2 2

/

2 2

/ / /

cot 1 sin

1 cot

1 cos 1

sin cos

cos sin

/ 2 /

/ /

/ /

sin

1 cot

cos

1

sin cos

cos sin

U U gU

U U tgU

U U U

U U U

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g'x = f ' u U x′

- Đạo hàm cấp cao của hàm số

y= +

4.y= (x3 + 2 )(x+ 1 )

5.y= 5x2 ( 3x− 1 ) 6

3 2 ) 5 ( +

= x

) 3 5 )(

1

) 2 3 )(

1 2

4 2

5 6

¤n tËp To¸n Líp 12 B14 ThÇy gi¸o : Vò Hoµng S¬n

12

1

35

2 + +

−

=

x x

3 2

y = a bx + 21) y (a= 23 −b )2 33 2

22) y x x= 3 2 23)

2

(x 2) y

(x 1) (x 3)

+

= + +

24)y (x= 7+x)2 25) y = x 2 − 3x 2 +

Bài tập 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1)y= 3 sin 2 x sin 3x

2)y= ( 1 + cotx) 2 3)

x x

y= cos sin 2 4)

x

x y

sin 2

sin 1

6)

x x

x x

y

cos sin

cos sin

3sin x 3

10)

2 cos 1

14) y= 5sinx-3cosx

15) y = x.cotx 16) y cot 1 x= 3 + 2 17) y= sin(sinx)

18) y sin (cos3x)= 2 19) y xsin x

1 tan x

= +

20) y sin x x

x sin x

= + 21) y tanx 1

b ax

c bx ax y

+

+ +

p nx mx

c bx ax y

+ +

+ +

= 22

Áp dung:

1 2

4 3

2 2

−

− +

−

=

x

x x

32

432

2

++

+

−

=

x x

x x y

Chuyên đ ề 2 Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm:

Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1

f) y =

1

1 2

x cos x

−

4 x

3 x

+

−

; 2(y’)2 =(y -1)y’’

3

xsin1

xcos

g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0

h) Cho hàm số:

2

2 2

2 + +

= x x

Bài tập 2 Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

Bài tập 3 Giải bất phương trình f/(x) < 0 với f(x) = 3

1

x3+x2+ π

Bài tập 4 Cho y x 3x= 3− 2+2 Tìm x để: a) y’> 0 b) y’< 0

Chuyên đ ề 4 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau:

1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :

B2:Do tung độ là y0⇔f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0⇒ f /(x0)

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x ) (x–x/ 0 0) + y0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : f′(x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến

Chú ý:

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1

5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) :

B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1)

B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trình sau có nghiệm :

y x x k x

f

) (

) ( )

B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1 : Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2

c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)

Giải:Ta có y’= 3.x2

a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1) ( )∈ C có 0

¤n tËp To¸n Líp 12 B14 ThÇy gi¸o : Vị Hoµng S¬n

c/ Ta có tung độä bằng y0= –8 ⇔ f(x0)= -8 ⇔ 3

0

x =-8 ⇒ x0=-2 ⇒ f’(x0)=12

⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16

d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔f’(x0)=3 ⇔ 3. 2

0

x =3 ⇔ x0= ±1 với x0=1 ⇒ f(x0)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2

với x0=-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.

e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8

d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trình sau có nghiệm :

3 2

=



 = −



Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.

Với x=-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x – 4

Bài tập:

1/ Cho đường cong (C) cĩ phương trình: y=x3 + 4x +1

a) Viết PTTT với đương cong (C) tai điểm cĩ hồnh độ x0 = 1;

b) Tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k = 31;

c) Song song với đường thẳng: y = 7x + 3;

16x−

2/ Cho (C): f(x) = x4+ 2x2 – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỡi trường hợp sau:

a) Biết tung đợ của tiếp điểm bằng 2 ;

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành ;

c) Biết rằng tiếp tuyến vuơng góc với đường thẳng y = - 1/8 x + 3 ;

d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0;6)

3/ Viết PTTT của (C ): y=x3-3x+7

1/Tại điểm A(1;5)

2/Song song với đường y=6x+1

= Viết pttt của (C) biết nĩ song song với đường thẳng 3x – y – 1 = 0.

5/ Cho đường cong (C): y =

2 2+

++

x

x x

cĩ đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đĩ song song với đường thẳng y = x