De thi thu dai hoc khoi A

[r]

Đề thi học kỳ 2 môn toán lớp 12

năm học 2007 – 2008

Thời gian làm bài : 90 phút

Câu 1: ( 4 điểm)

Cho hàm số y= x2+4 x +m+3

x +m (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1) khi m = 1

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đờng tiệm cận xiên của (C ),

trục tung và đờng thẳng x = 1

3) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên ¿

Câu 2: ( 2 điểm)

1) Tính tích phân I = ∫

0

π

2 (x − sin3x )cos xdx

2)Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển nhị thức 2 x − 1

x2¿

10

¿

Câu 3: ( 4điểm )

Trong không gian Oxyz cho ba điểm: A(1; 2; 1) ; B(0; 2; 0) ; C(1; 0;-1)

Hai đờng thẳng (d1) và (d2) lần lợt có phơng trình:

(d1): {x +2 y +z − 1=0 x − y +3=0 ; (d2):

x −1

y+3

−1 =

z

− 3

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

1)Viết phơng trình mặt phẳng (OBC); Phơng trình đờng thẳng OG

2) Tính sin của góc hợp bởi đờng thẳng OG và mặt phẳng (OBC);

Tìm khoảng cách giữa (d1) và (d2)

3) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đờng thẳng (d1) và song song với đờng thẳng (d2)

Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

H ớng dẫn chấm và cho đ iểm

Câu1

4 điểm 1) (2 điểm)

Khi m = 1; y= x

2

+4 x +4

x +1

TXĐ: x ≠ −1 ……… 0,25

0,5

¿

y '= x2+2 x

¿

; y’ = 0 khi x=0 ; x= - 2 ; ycđ= 0; yct= 4 ………

Tiệm cận đứng x = -1; Tiệm cận xiên y = x + 3 ………

Viết đúng bảng biến thiên ………

Vẽ đúng đồ thị ………

-2) ( 1 điểm) +) Viết đúng công thức S=∫ 0 1 |x2 +4 x +4 x +1 − x −3|dx = ∫

0 1 |x+11 |dx ……

+) S=ln|x+1| ¿10 = ln2 ………

-3) (1 điểm) +) TXĐ: ¿x ∈ R {−m¿ ¿ +) x+m¿2 ¿ y '= x 2 +2 mx+3 m−3 ¿ ………

+) ĐK: y ' ≥0 với mọi x ≥ 1 +) {f (x )=x2 +2 mx+3 m−3 ≥ 0(1) −m<1⇒ m>−1(2) với mọi x ≥ 1 ………

+) Giải (2) TH1: Δ' ≤ 0 hay m2− 3 m+3 ≤ 0 Vô nghiệm ………

TH2: {f (1)≥ 0 Δ'>0 S 2− 1<0 Giải ra ta đợc m≥2 5 ………

0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu2 2 điểm 1) ( 1điểm) +)I = ∫ 0 π 2 (x − sin3x )cos xdx = ∫

0 π 2 x cosxdx - ∫ 0 π 2 sin3x cos xdx = A – B ……

+) Tính A theo pp từng phần A = π 2− 1 ………

+) Tính B = ∫ 0 π 2 sin3xd sin x = sin 4 x 4 ¿0 π 2 = 1 4 ………

+) Vậy I = π 2− 5 4 ………

-2) ( 1 điểm) +)Số hang tổng quát: − 1 x2 ¿10− k 2 x¿k¿ T k+1=C10k ¿ = −1¿10 −k2k x 3 k − 20 C10k ¿ ……

+) Biết cho 3k - 20 = 4 tìm đợc k = 8………

0,25 0,25 0,25

0,25

0,5 0,25 0,25

+) Hệ số cần tìm A = C108 28 ………

Câu3

4 điểm 1) ( 2 điểm) +) Tính đợc VTPT của mp(OBC) là

n

→

=[OB→ ,OC → ] = ( -2 ; 0 ; -2 )……

+) Tính đợc G ( 2

3;

4

+) Viết đúng phơng trình đờng thẳng OG: x

y

z

-2)( 1điểm)

+) Viết đúng công thức sin α=|→ n u →|

|n

→

|.|u

→

| = ………

+) 1

√10 ………

+) Tìm đợc d1 đi qua M(0;3;-5) ;VTCP u →=(1 ;1;− 3) ;d2 đI qua

N(1;-3;0); VTCP → v=(2 ;−1 ;−3) .Tìm MN→ =(1 ;−6 ;5) ………

+) Viết và tính đúng d = | [u → , v →]MN→ |

| [u → , v →] | =

1

-3) ( 1điểm)

+) Tính đúng VTPT của (P) : (2; 1; 1 ) ………

+) Viết đúng pt mp(P): 2x + y + z + 2 = 0………

+) Tính đợc R = d(A;P) = 7

+) Viết đúng phơng trình (S): (x – 1)2 +(y – 2 )2 + (z – 1 )2 = 49

0,5 0,5 0,5 0,5

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

đề thi thử đại học lần 2 tr ờng THPT đông sơn 1 Thanh hoá

Câu 1:

Cho hàm số y= x

2

−3 x +6

x −1 (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1)

2) Lập phơng trình hai đờng thẳng với hệ số góc là các số nguyên, đi qua tâm đối xứng của (C ), cắt (C ) tại bốn điểm là bốn đỉnh của hình chữ nhật

Câu 2:

1) Tìm k sao cho hàm số y=lg(3 −|x2− kx+1

x2

+x +1 |) xác định với mọi x R

2) Giải phơng trình: (2 sin2x −1)tg22 x+3(2 cos2x −1)=0

Câu 3: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng (d) : {x − y +z −2=0 x + y +z − 2=0

và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 3 = 0 Gọi ϕ là góc hợp bởi (d) và (P)

A là giao điểm của (d) và (P)

1) Viết phơng trình đờng thẳng (d’) nằm trên (P), đi qua A, (d’) tạo với (d) một góc 450

2) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với (P) một góc là ϕ

Câu4 :

1) Tính tích phân : I =

1+sin x¿1 +cos x

¿

¿

ln ¿

∫

0

π

2

¿

2)Giải hệ phơng trình: {9x − y+ 2 6x− y − 3 4 x− y=0

√x+2−√y −3=1

Câu5 :

1) Trong mặt phẳng Oxy Cho tam giác ABC có A(0;2) ; B(-2;-2); C(4;-2).Gọi M; N

lần lợt là trung điểm của cạnh AB và AC H là chân đờng cao hạ từ B Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác HMN

2)Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển biểu thức

1+3 x¿2 n

2 x −1¿n − x2¿

x¿

Biết rằng : C2 n +11 +C 2 n+12 +C2 n+13 + +C 2n +1 n = 4095

Câu 1:

2 điểm 1) (1 điểm)

+) Tập xác định : ¿x ∈ R {1¿

¿ +)

x −1¿2

¿

y '=1 −4¿

; y’ = 0 khi x=3 ; y=3

x=−1 ; y=− 5

¿

………

+) Tiệm cận x = 1; y = x -2 ………

+) Lập bảng biến thiên đúng ………

+) Vẽ đồ thị đúng ………

_ 2) (1 điểm) +) y=x −2+ 4 (x − 1) ; Tiệm cận x = 1; y = x – 2 Giao điểm hai t/c I(1;-1) +) Đổi trục toạ độ theo công thức {x=X +1 y=Y −1 Đa hàm số về Y = X+ 4 X

………

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

+) Gọi Y =aX (d1) và Y =bX (d2) cần tìm (a, b nguyên; >1)

+) Tìm đợc giao điểm (d1) và đồ thị là: A (± 2

√a− 1 ;±

2 a

√a −1)

và giao điểm (d2) và đồ thị là: B (± 2

√b −1 ;±

2 b

√b− 1) …………. +) Nêu đợc điều kiện IA = IB và có a= b+1

b − 1=1+

2

b − 1

+) Tìm đợc (a;b) = (2;3) ;(3;2) ………

+) Kết quả Y = 2X và Y = 3X hay y= 2x – 3 và y = 3x - 4 ……

0,25

0,25 0,25

Câu 2:

2 điểm 1) (1 điểm)

+) ĐK: 3 −|x2− kx+1

x2+x +1 |>0 với mọi x ⇔ 3>|x2− kx+1

x2+x +1 | ……… +) ⇔ {4 x2−(k − 3)x +4 >0

2 x2+(k+3)x +2>0 với mọi x ………

+) ĐK: {Δ1 <0

+)Tìm đợc k (−5 ;1) ………

_

2) (1 điểm)

+) TXĐ: cos2x khác 0 ………

+) (1) ⇔ cos 2 x (tg22 x −3)=0 ………

+) tg2x  3 ……….

+) x=± π

6+

kπ

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 3:

2 điểm 1) (1 điểm)+) Tìm đợc (d) có VTCP

u

→

d=(−1 ;0 ;1) ; Toạ độ A(1;0;1) ……. +) Gọi VTCP của d’ u

→1

=(a ;b ; c) Ta có u →1 n → p=0 suy ra

a = 2c -2b ………

√2(5 b2 +5 c 2− 8 bc)=

1

√2 Suy ra b = 2c …………. +) đa ra đợc u

→1

=(− 2;2 ;1) và PT d’ x −1 −2 =2y=z −11 ………….

2) (1 điểm)

+) Tính đợc sin ϕ= 1

3√2 ………

+) Pt mp(Q): m( x + y +z -2 ) + n( x – y + z -2 ) = 0

Suy ra VTPT của (Q) → n Q=(m+n; m−n ;m+n) ……….

+) ĐK: cos ϕ=√17

3√2=

|→ n P n → Q|

|→ n P|.|→ n Q| =

|m+5 n|

3√3 m2+3 n2+ 2 mn ……….

0,25

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25 0,25

+) Giải đợc m= 1; n = -7

+) Pt mp(Q): 3x - 4 y + 3z - 6 = 0 ………

0,25 Câu 4: 2 điểm 1) (1 điểm) +) I = ∫

0 π 2 (1+cos x)ln(1+sin x )dx - ∫ 0 π 2 ln(1+cos x)dx = A – B …

+)Tính A = ∫ 0 π 2 (1+cos x)ln(1+sin x )dx Đặt x= π 2 −t ta đợc A= ∫

0 π 2 ln(1+cos t)dt + ∫ 0 π 2 ln(1+ cost)sin tdt = B - ∫ 0 π 2 ln(1+cos t)d (1+cos t ) ………

+) Vậy I = - ∫ 0 π 2 ln(1+cos t)d (1+cos t ) ………

+) A = ∫ 1 2 ln zdz = 2 ln 2−1=ln 4 e ………

_ 2) (1 điểm) +) TXĐ: x ≥ −2 ; y ≥ 3 ………

+) Từ (1) giải đợc x = y ………

+) Thay x = y vào (2) giải đợc x = y = 7………

+) Kq: x= y = 7 ………

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5: 2 điểm 1) (1 điểm)+) Tìm đợc M(-1;0) ; N(2;0) ………

+) Lập đợc pt BH : x - y = 0; và tìm đợc H( 1;1) ………

+) Viết đợc Pt đờng tròn x2+y2+2 ax +2 by +c=0 Thay toạ độ M ; N ; H vào pt và tìm đợc a=−1 2;b= 1 2;c=−2 …

+) KQ: x2 +y2− x + y −2=0 ………

_ 2) (1 điểm) +)ĐK: n ≥ 0 Khai triển 1+x¿2 n +1 ¿ , thay x =1 22 n+1=C 2 n+10 +(C 2 n+11 +C 2 n+12 + +C2 n+1 n )+(C 2 n+1 n+1 + C2 n+1 2 n )+C 2 n+1 2 n+1 ……

+)Sử dụng CT: C n k=C n n− k có 22 n+1=2+2(C2 n+11 +C 2 n+12 + +C2 n+1 n ) ⇒ 22 n − 1=(C 2 n+11 +C 2 n+12 + +C2 n+1 n ) = 4095 Đa ra : ⇒n=6 ………

+)Xét A = 2 x −1¿6 x¿ Có số hạng tổng quát −1¿6 − k2k x k+1 T =C6k ¿ Đa ra đ-ợc k = 4 ………

B = 1+3 x¿12 x2¿ Có số hạng tổng quát T =C12k 3k x k +2 Đa ra đợc k = 3

+) KQ: S = T =C64 2 4 - C123 3 3 = -5700

………

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25