Đề cương ôn Toán 11 HK2

Chứng minh rằng tiếp tuyến với C luôn tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích không A B  vuông góc với nhau.. Hai mặt phẳng vuông gócCách chứng minh: Điều kiện cần và đủ để h

ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

0 1

, 0, 0

m m n

limu n a

b



b Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa số lớm nhất

3 2 3 2

3 3

2 5

4 2

4 2 2

52.lim

2 1

3 14.lim

3 1

6.lim

(2 3 )48.lim

n n

3 2 5

2 3 4

4 3 2

2 2

(2 1)(2 )2.lim

2(2 3 ) ( 1)4.lim

1 4( 1) ( 2)6.lim

( 1)

8.lim( 2) (n 5)

n

n n n

1(3 2 )4.lim

( 1)(n 2)

2 3 26.lim

2

2 48.lim

9.lim

1(2 1)( 1)

2

210.lim

4 18.lim( 4 4 1 2 1)10.lim(n 3 )

112.lim

114.lim

Bài 9: Tìm giới hạn của dãy số  u n

xác định bởi

1

1

12

1 khi 12

21

2

n n

u u

 Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x

 Quy đồng mẫu phân số

 Nhân chia lượng liên hợp để khử căn

3 2 2

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

4

2

2 1

4 2

3 2 3

3 4 1

1

4 4

3 2 2 1

4 3 2

3 2 2

3 2

112.lim

n x

3 2 2 1 3

3 2

4 2 3

3 2

3 2 1

5 3 2

3 2 1

2 3

2 1

2 2 2 2 2 3 2 1 3 2 3 1 3 1

9

8.lim

7 310.lim

12.lim

21

x x x

x x x

3 2 3

2 1

3 0

3 0

3 0

2 2 2

2 2 2 1

2 3 2 1

15

2 lim

24

4 lim

22

x x x

2

; 28

3 ( )

16

; 22

x x

f x

x

x x

4 ( )

; 12

x x

f x

x x

x m x

x x

II Các dạng bài toán thường gặp.

1 Xét tính liên tục cảu hàm số tại 1 điểm x x 0

liên tục trên một khoảng, đoạn ta dung các định nghĩa về hàm

số liên tục trên khoảng, đoạn và nhận xét để suy ra kết luận

 Khi nói xét tính liên tục của hàm số thì ta hiểu là xét trên tập xác định của nó

 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại điểm nào

3 Chứng minh phương trình có nghiệm.

 Biến đổi về dạng ( ) 0f x 

 Tìm hai số ,a b sao cho ( ) ( ) 0 f a f b 

 Chứng minh ( )f x liên tục trên a b; 

từ đó suy ra ( ) 0f x  có nghiệm.

 Chú ý: Nếu f a f b ( )   0 thì phương trinh có nghiệm thuộc a b; 

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Để chứng minh ( ) 0f x  có ít nhất n nghiệm thì ta chia đoạn a b; 

thành n đoạn nhỏ

rời nhau, rồi chứng minh trong mỗi đoạn đó phương trình có ít nhất một nghiệm

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số :

7 ( ) 6 5 ;1 3

3

; 39

2 2

2

3

; 13

x x

Bài 4: Chứng minh rằng phương trình x3 2x25x1 0 có nghiệm trên (0;1)

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình 3x32x 2 0 có ít nhất nghiệm

Bài 6: Chứng minh rằng phương trình x43x 7 0 có ít nhất hai nghiệm

Bài 7: Chứng minh rằng phương trình x43x25x 6 0 có ít nhất 1 nghiệm

Bài 8: Chứng minh rằng phương trình x3 x 1 0 có nghiệm dương nhỏ hơn 1

Bài 9: Chứng minh rằng phương trình x3  x 1 0 có nghiệm âm lớn hơn -1

Bài 10: Chứng minh rằng phương trình 4x42x2 x 3 0 có 2 nghiệm phân biệt trên ( 1;1)

Bài 11: Chứng minh rằng phương trình x3 3x2 3 0 có 3 nghiệm phân biệt trên ( 1;3)

Bài 12: Chứng minh rằng phương trình 2x3 6x 1 0 có 3 nghiệm phân biệt trên ( 2; 2)

Bài 13: Chứng minh rằng phương trình x33x2 3 0 có nghiệm trên ( 3;1)

Bài 14: Chứng minh rằng phương trình x5 3x45x 2 0 có ít nhất 3 nghiệm trên ( 2;5)

Bài 15: Chứng minh rằng phương trình m x( 1) (3 x2) 2 x luôn có nghiệm với mọi m.0

Bài 16: Chứng minh rằng phương trình (m2m1)x42x 2 0 luôn có nghiệm với mọi m

Bài 17: Chứng minh rằng phương trình (x a x b )(  ) ( x b x c )(  ) ( x c x a )(  ) 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt

2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.

Bước 1: Với x là số gia của đối số tại x , tính 0  y f x( 0 x) f x( )0

Bước 2: Lập tỉ số

y x

 





3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x f x( ; ( ))0 0 có dạng : yf x x x'( )(0  0) f x( )0

x x

u u

u u

u u u

u

u u

a u u u

u u u u u u

4 ( 5 )

6 (9 2 )(2 9 1)

2 38

7 3

7 310

3

3 512

122

24

26

530

x y

x

x y

x

y

x y

sin

6 cos

1 cos8

1 cos

10 sin cos

112

sintan14

1 tan

16 1 tan

x y

x

x y

x

y

x x y

cos3

10 sin(cos ) cos(sin )

112

DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN.

Bài 1: Cho đường cong ( C ) :

3 11

x y

x







1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M  ( 1; 1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x  0 2

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng -5

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

5 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

6 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng : y x 3

7 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

Bài 2: Cho hàm số y x 2 4x , có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết:3

1 Tại điểm có hoành độ x=3

2 Tại giao điểm của ( C )với Ox

3 Tại giao điểm của ( C ) với trục Oy

4 Biết tiếp tuyến vuông góc với

1:

6

5 Biết tiếp tuyến đi qua (4;0)A

Bài 3: Cho hàm số yf x( )x3 3x2 , có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C )2

1 Tại điểm M có hoành độ là x  0 3

2 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :d y24x30

3 Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d x1: 9y 3 0

4 Đi qua điểm

23( ; 2)9

5 Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 4: Cho hàm số yf x( ) x33x2 2 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1 Biết tiếp tuyến có hệ số góc là 9

2 Tại điểm ( 1; 2)A 

3 Kẻ từ điểm (2; 4)B 

4 Biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

5 Tìm những điểm trên đường thẳng :d y  mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( C ).2

Bài 5: Cho hàm số

2 3 32

y x

 



 ,có đồ thị ( C )

1 Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A( )C biết x  A 4

2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ), biết tiếp tuyến đi qua điểm M ( 2; 27)

3 Chứng minh rằng trên (C) luôn tồn tại vô số các cặp điểm mà tại các cặp điểm đó tiếp tuyến của (C) song song với nhau

Bài 6: Cho hàm số

2 1( )

x y x





 , có đồ thị ( )C

1 Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết rằng tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân.

2 Chứng minh rằng tiếp tuyến với ( )C luôn tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích không

A B  vuông góc với nhau.

Bài 10: Cho đường cong C m:y x 33x2mx1

1 Tìm m để C m cắt đường thẳng y 1 tại 3 điểm phân biệt.

2 Giả sử A B, là 2 gao điểm của C m với y 1 có hoành độ khác 0 Tìm m để tiếp tuyến tạ A

và B vuông góc với nhau.

Bài 11: Cho hàm số: y x 3 3 x  C

1 Chứng minh rằng đường thẳng y mx m  2 luôn cắt  C tại điểm A cố định.

2 Tìm m để đường thẳng trên cắt  C tại 3 điểm phân biệt A B C, , sao cho tiếp tuyến tại B

vuông góc với tiếp tuyến tại C.

3 Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến tại B và C Xác định m để :

a k1k2 3

b k k1 2đạt giá trị nhỏ nhất

y x

x y x

x y x

x y

2 '( ) 0f x  có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.

Bài 5: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

HÌNH HỌC

I Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cách 1 :Nếu 1 đường thẳng vuông góc với 2 đường cắt nhau trong một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Cách 2: Hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông

T

d’

P

II Hai mặt phẳng vuông góc

Cách chứng minh: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

III Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cách biểu diễn:

( ) (Q)(P) ( )

' (Q)' ( )

d d

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA=SB và E là trung điểm của BC

Chứng minh góc giữa (SA,CD) bằng góc giữa (SB;OE)

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, hai mặt bên SAB,SAD là các tam giác vuông tại

A.Chứng minh BC, CD vuông góc với SA

Bài 3: Cho tứ diện ABCD đều Gọi O là tâm đường tròn ngoài tiếp BCD Tính góc hợp bởi AO và CD

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi M, N, P, Q R lần lượt là trung điểm của AB,CD,AD,

2 Kẻ đường cao AH của SAB Chứng minh AH (SBC)

3 Kẻ đường cao AK của SAC Chứng minh AHK vuông và SC(AHK)

Bài 9: Hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật , các mặt bến SAB và SAD là các tam giác vuông tại

Bài 10: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông và SA(ABCD)

1 Chứng minh rằng bố mặt bên của hình chóp là 4 tam giác vuông

2 Chứng minh BDSC

3 Kẻ các đường cao AH,AK của SAB SAD, Chứng minh HK BD

Bài 11: Hình chớp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A,B; và E là trung điểm của AD Chứng

minh:

1 CDCA và CESD

2 4 mặt bên của hình chóp SABCD là 4 tam giác vuông

Bài 12: Hình chóp SABCD có đáy là hình thoi, gọi I,J là trung điểm của SB,SD và SB=SD Chứng

Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật , SA(ABCD) Gọi   là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC;  SB SC SD, , tại , ,H K M Chứng minh:

1 BC AH AH; SB AM; SD

2 Nếu ABAD thì BD ( )

3 Nếu AC SA thì HM đi qua trọng tâm SAC

Bài 18: Hình chớp SABCD có đáy là hình chữ nhật , mặt bến SAB là tam giác cân tại S I,J là trung

điểm của AB và CD; K là hình chiếu vuông góc của I lên SJ Chứng minh:

1 ABSJ

2 K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (SCD )

3 H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (SCD , với O là giao điểm của IJ và AC, H là )

trung điểm của JK

Bài 19: Cho hình chớp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

2

SC a Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và AD

1 Chứng minh SH (ABCD)

2 Chứng minh ACSK CK, SD

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD

là tam giác vuông cân tại S Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB, CD

a Chứng minh SI (SCD) và SJ (SAB)

b Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên lên IJ Chứng minh SH AC

Bài 21: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều và

vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm AB

1 Chứng minh SI (ABCD)

2 Chứng minh (SAD) ( SAB)

Bài 22: Cho hình chóp SABC , tam giác ABC vuông tại A, SB(ABC)

1 Chứng minh (SAD) ( SAC)

2 Gọi BH, BK lần lượt là đường cao của 2 tam giác SAB và SAC Chứng minh (BHK) ( SAC)

Bài 23: Cho tứ diện ABCD có (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với ( BCD , BE, DF là hai đường cao )

của BCD , DK là đường cao của tam giác ACD

1 Chứng minh AB(BCD)

2 Chứng minh (ABE và () DFK cùng vuông góc với () ADC )

3 Gọi O, H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD, ACD Chứng minh OH (ACD)

Bài 24: Cho hình chớp SABCD có ABCD là hình bình hành tâm O và SA=SC.SB=SD

Bài 28: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đấy, tam giác ABC có trực tâm O Gọi H là trực

Bài 29: Cho tứ diện đầu ABCD cạnh a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và CB H là trực tâm tam

giác BCD

Chứng minh (AIB) ( BCD AH); (BCD)

Bài 30: Tứ diện ABCD có AB(BCD) Trong BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O Trong mặt phẳng (ADC) vẽ DK AC tại K

1 Chứng minh (ADC) ( ABE);(ADC) ( DFK)

2 Gọi H trực tâm của AOD Chứng minhOH (ACD)

Bài 31: Cho tứ diện SABC có Gọi H,K lần lượt là trực tâm của ABC SBC;

1 Chứng minh AH, SK, BC đồng quy

2 Chứng minh SC(BHK) và KH (SBC)

Bài 32: Cho hình chớp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O (SAD) và (SAB) cùng vuông góc

với (ABCD) Gọi   là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC,   cắt SC tại I

1 Chứng minh SA(ABCD)

2 Xác định giao điểm K của   và SO

3 Chứng minh: (SBD) ( SAO) và BD ( )

4 Xác định giao tuyến d cảu (SBD) và ( )

Bài 33: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông SA(ABCD)

1 Chứng minh: (SAD) ( SCD)

2 Gọi BE, DF là 2 đường cao của SBD Chứng minh rằng :

(ACF) ( SBC);(ACE) ( SDC);(AEF) ( SAC)

Bài 34: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) Gọi M, N là hai

điểm lần lượt ở trên cạnh BC, DC sao cho

Bài 35: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính góc giữa 2 đường thẳng sau:

BÀI 4: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB , CD Chứng minh MN AB và MN CD

Bài 41: Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC và ASB BSC ASC Chứng minh

Bài 42: Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt bên SAD, SAB là hai tam

giác vuông tại A với SA a 3

1 Xác định và tính góc giữa đường thẳng SB và (ABCD)

2 Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và (SAB), giữa SA và (SBC)

3 Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)

Bài 43: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA(ABC SA), 2a Tính góc giữa SB

và (ABC); SC và (SAB)

Bài 44: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB SA a  , SA(ABC)

1 Xác định và tính góc giữa SC với (ABC)

BÀI 5: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

2 Xác định và tính góc giữa AC với (SAB).

3 Xác định và tính góc giữa SB với (SAC)

Bài 45: Cho hình chóp SABC đáy là tam giác đều cạnh a,

2 33

a

SA SB SC SD   

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD , BC

1 Xác định và tính góc giữa SI và (ABCD); SO và (SBC)

2 Xác định và tính góc giữa (SAD) và (SBC)

Bài 48: Cho hình chóp SABCD , đáy là hình vuông cạnh a SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm cạnh AB

1 Chứng minh SH (ABCD)

2 Tính góc giữa SB và (ABC)

Bài 49: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA BC a SA  ; (ABC) và

SA a Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC

1 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

Bài 51: Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

1 (SBC và () ABC 2 () SBC và () ABD 3 () SAB và () SCD )

Bài 53: Cho hình thoi ABCD cạnh a tâm O

33

a

OB 

và

6( );

3

a

1 Chứng minh ASC vuông.

2 Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và(SAD) vuông góc

3 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

Bài 54: Cho hình chóp SABCD có SA(ABCD) và SA a 2 , đáy ABCD là hình thang vuông tại A

a

SA SB SC  

Tính( ,( ))

d S ABC

BÀI 7: KHOẢNG CÁCH

Bài 58: Cho hình chớp SABCD, đấy ABCD là hình bình hành tâm O, SA(ABCD SA a),  , I là trung điểm của SC Tính ( ,(d I ABCD ))

Bài 59: Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O SA(ABCD SA a), 

Bài 61: Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA(ABCD SA a), 

1 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách giữa SC và AB

2 Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa SB và AD, SC và BD

3 Tính khoảng cách từ O đến các mặt bên của hình chóp

4 Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa SA và BD, giữa AD và SC

Bài 62: Cho ABCD là tứ diện đều cạnh a, gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

1 Chứng minh ABCD

2 Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD Tính IJ

Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCd là hình vuông cạnh a, SA(ABCD SA), 2a Gọi O

là tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách :

Bài 65: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC a và một điểm S ngoài mặt phẳng (ABC) sao cho

32

1 Chứng minh đường thẳng OI vuông góc với (ABCD)

2 Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM

Bài 67: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC2a, SA(ABC) và SA a

1 Chứng minh (SAB) ( SBC)

2 Tính ( ,(d A SBC ))

3 Gọi O là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

Bài 68: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA2 ,a SA(ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của :

Bài 70: Cho hình chóp SABCD có SA(ABC SA a),  2 , tam giác ABC vuông tại B với AB a M

là trung điểm của AB Tính độ dài đường vuông góc chung của SM và BC

Bài 71: Cho hình vuông ABCD cạnh a I là trung điểm của AB Dựng SI (ABCD) và

32

a

SI 

Gọi M, N, P là trung điểm của BC, SD, SB Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của :

Bài 72: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , A 60 và có đường cao

SO a

1 Tính khoảng cách từ O đến (SBC)