PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN LỚP 12

Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và vuông góc với Q.. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và vuông góc với mặt phẳng P.. Viết phương trình đường thẳng

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I Các phép toán trên vecto

Cho aa a a1; 2; 3 và bb b b1; ;2 3

1 Tổng và hiệu hai vecto : ma nb ma1nb ma1; 2nb ma2; 3nb3

2 Tích vô hướng của hai vecto : a b  a b cos a b; a b1 1a b2 2a b3 3

3 Tích có hướng của hai vecto : 2 3 3 1 1 2

a b

II Quan hệ giữa các vecto

Cho aa a a1; 2; 3 và bb b b1; ;2 3

1 Hai vecto vuông góc : a b a b  0 a b1 1a b2 2a b3 3 0

 Tam giác ABC vuông tại A thì ABAC

 Đường thẳng d (ABC) d AB







2 Hai vecto cùng phương

a b

     (nếu b b b1 2 30)

 A B C, , thẳng hàng AB cùng phương với AC

 A B C, , là 3 đỉnh của một tam giác  A B C, , không thẳng hàng  AB không cùng phương với

AC  AB AC;   0  Hai trong 3 tỷ lệ 1 2 3

a a a

b b b khác nhau (nếu b b b1 2 30)

 ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD AB cùng phương với CD

3 Hai vecto bằng nhau







  

 



;

a kb







  

 



;







  

 



4 Góc giữa hai vecto

cos ;

a b

 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD , lần lượt là vecto chỉ phương hoặc pháp tuyến của

;

AB CD Khi đó , ta có cos .

a b

a b

 

 Góc A của tam giác ABC cho bởi công thức cos .

AB AC A

AB AC

5 Ba vecto đồng phẳng

; ;

a b c đồng phẳng a b c;  0

 Chú ý :

( ;0;0) (0; ;0) (0;0; )

III Độ dài đoạn thẳng

Cho A x y z( A; A; A), (B x y z B; B; B), (C x C;y z C; C) Độ dài đoạn thẳng AB là :

( B A) ( B A) ( B A)

AB x x  y y  z z

IV Tìm các điểm đặc biệt trong tam giác , tứ diện

1 M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2

2

2

M

M

M

x

y

z



 









 





 



2 Cho A B C, , là đỉnh của ABC

 G là trọng tâm ABC

3

3

3

G

G

G

x

y

z

 

 





 



 



 

 



 H là trực tâm của ABC

 



 



 A' là chân đường cao của A lên '

'

BC

 



 





 D là chân đường phân giác trong của ABC DB AB

AC DC

  

 E là chân đường phân giác ngoài của ABC EB AB

AC EC

 

 I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC aIA bIB cIC  0

3 Cho A B C D, , , là đỉnh của tứ diện ABCD

 G là trọng tâm của tứ diện ABCD

4

4

4

G

G

G

x

y

z

  

 





  



 



  

 



 H là hình chiếu của A lên ( )

BH BC BD

 



 



4 Diện tích, thể tích

 Diện tích tam giác : 1 ;

2

ABC

S  AB AC

 Thể tích khối tứ diện : 1 ;

6

ABCD

V  AB AC AD

 Thể tích khối hộp : V ABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA;  '

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I Viết phương trình mặt phẳng mà vtpt được cho trực tiếp

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M x y z và nhận ( ;0 0; 0) n( ; ; )A B C làm vtpt có phương trình :

A xx B yy C zz 

 Chú ý :

a Mặt phẳng ( ) :P AxBy Cz  D 0 có một vtpt là n( ; ; )A B C

b Đừơng thẳng x x0 y y0 z z0

  qua điểm N x y z( ;0 0; 0) và có vtcp ua b c; ; 

c Đường thẳng

0

0

0

z z ct

 



  



  



qua điểm N x y z( ;0 0; 0) và có vtcp ua b c; ; 

d Trục Ox có một vtcp là i(1;0;0)

e Trục Oy có một vtcp là j(0;1;0)

f Trục Oz có một vtcp là k (0;0;1)

g Mặt phẳng (Oxy) có một vecto pháp tuyến là k 0;0;1

h Mặt phẳng (Oyz) có một vecto pháp tuyến là i1;0;0

i Mặt phẳng (Oxz) có một vecto pháp tuyến là j0;1;0

II Viết phương trình mặt phẳng mà vtpt được cho gián tiếp

1 Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua 3 điểm A B C, ,

( ) ( ) :

;









2 Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua M x y z và vuông góc với đường thẳng d ( ;0 0; 0)

( )

( ) ( ) :

P





 



3 Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua M x y z và song song với mặt phẳng ( ;0 0; 0) ( )Q

( ) ( ) :

P





 

4 Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua M x y z và chứa đường thẳng d ( ;0 0; 0)

Gọi A là điểm bất kì thuộc d , u là vtcp của d d

Khi đó ,  

( )

( ) :

;

P





  



5 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa hai đường thẳng cắt nhau d d 1; 2

Gọi Md1 ,

1

d

u là vtcp của d và 1

2

d

u là vtcp của d 2

Khi đó ,

1 2

1

( ) 2

( ) ( )

;









6 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng d và song song với 1 d 2

Gọi M là điểm bất kì thuộc d1 ,

1

d

u là vtcp của d và 1

2

d

u là vtcp của d 2

Khi đó ,

1 2

1

( ) 2

( ) ( )

;









7 Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d d 1; 2

Gọi

1

d

u là vtcp của d và 1

2

d

u là vtcp của d 2

Khi đó ,

1 2

1

( ) 2

( ) : ( ) ( ) :

;





8 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng d và vuông góc với ( )Q

Gọi M là điểm bất kì thuộc d , u là vtcp của d d và n( )Q là vtpt của ( )Q

Khi đó ,

( ) ( )

;









9 Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng     , 

( ) ( ) :

;

P

P







III Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng ( )P đi qua A a( ;0;0)Ox B(0; ;0)b Oy C; (0;0; )c Oz và không đi qua gốc tọa độ có phương trình : x y z 1

a  b c

IV Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M x y z và thảo mãn điều kiện về khoảng cách ( ;0 0; 0) Gọi nA B C; ;  lả vtpt của ( )P

Phương trình mặt phẳng ( )P : A x( x0)B y( y0)C z( z0)0

Dùng điều kiện khoảng cách để tìm A B; theo C Chọn một giá trị C bất kì từ đó suy ra A B, , suy ra phương trình  P

V Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm M N, và thỏa mã điều kiện về góc

Gọi nA B C; ;  lả vtpt của ( )P

Phương trình mặt phẳng ( )P : A x( x M)B y( y M)C z( z M)0

( )

N P ta được một phương trình với ẩn A B C, , Từ phương trình này biểu diến một ẩn qua hai ẩn còn lại, ví dụ C theo A và B

Từ điều kiện về góc ta tìm được A theo B

Chọn B0 suy ra A C,

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I Viết phương trình đường thẳng mà VTCP được cho trực tiếp

Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và có một VTCP ( ;0 0; 0) ua b c; ;  có phương trình là :

 Dạng chính tắc : x x0 y y0 z z0

 Dạng tham số :

0

0

0

z z ct

 



  



  



II Viết phương trình đường thẳng mà VTCP không cho trực tiếp

1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B













2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( )P

( )

:

P

d





 



3 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và song song với đường thẳng 

:

d

d

u u











4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và song song với hai mặt phẳng ( )P và

( )Q

( ) ( )

:

;

d





  



5 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và vuông góc với hai đường thẳng  1, 2

1 2

:

;

d

d

u u u





  



6 Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ),( )P Q

Gọi M là một điểm chung của ( )P và ( )Q (Chọn z và giải hệ phương trình suy ra x y, )

( ) ( )

:

;

d





  



7 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và vuông góc với đường thẳng  và song song với mặt phẳng ( )P

( )

:

;

d





  



8 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt hai đường thẳng d d 1, 2

Cách 1:

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và chứa đường thẳng d 1

 B2: Tìm giao điểm Bd2( )P

 B3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A B, ta được phương trình cần tìm

Cách 2:

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và chứa đường thẳng d 1

 B2: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và chứa đường thẳng d 2

 B3: Đường thẳng cần tìm là d ( )P ( )Q

9 Viết phương trình đường thẳng d song song với d cắt cả hai đường 1 d d2, 3

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với d chứa 1 d 2

 B2: Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với d chứa 1 d 3

 B3: Đường thẳng cần tìm là d ( )P ( )Q

10 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vuông góc với d và cắt 1 d 2

Cách 1 :

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A , vuông góc với d 1

 B2: Tìm giao điểm B( )P d2

 B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A B, ta được phương trình cần tìm

Cách 2:

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A , vuông góc với d 1

 B2: Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua A và chứa d 2

 B3: Viết phương trình đường thẳng d ( )P ( )Q ta được phương trình cần tìm

11 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , song song với ( ) và cắt d'

Cách 1:

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A , song song với ( )

 B2: Tìm giao điểm B d' ( )P

 B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A B, ta được phương trình cần tìm

Cách 2:

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A , song song với ( )

 B2 : Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua A và chứa d'

 B3: Viết phương trình đường thẳng d ( )P ( )Q

12 Viết phương trình đường thẳng dnằm trong mặt phẳng ( )P và cắt hai đường thẳng d ,1 d 2

 B1: Tìm giao điểm A d1 ( )P

 B2: Tìm giao điểm Bd2( )P

 B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua ,A B

13 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )P và vuông góc với đường thẳng

'

d cho trước tại giao điểm I của d' và mặt phẳng ( )P

 B1: Tìm giao điểm I  d' ( )P

 B2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và có VTCP u u d';n( )P 

14 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) và cắt hai đường thẳng d d 1; 2

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d1 và vuông góc với ( )

 B2: Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( )2 

 B3: Viết phương trình đường thẳng d ( )P ( )Q ta được phương trình cần tìm

15 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , cắt và vuông góc với d'

 B1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với d'

 B2: Tìm giao điểm B d' ( )P

B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A B, ta được phương trình cần tìm

III Tìm tọa độ giao điểm cuả đường thẳng và mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( ) : P A xBy Cz  D 0 và đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm M của d và ( )P

 Nếu phương trình d dạng chính tắc x x0 y y0 z z0

Ax By Cz D







 Nếu phương trình d có dạng tham số

0

0

0

z z ct

 



  



  



Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ phương trình :

0

0

0

0

z z ct

   



  



  



  



Từ đó giải ra t Suy ra x y z, ,

IV Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( )P

Giả sử 'd là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( )P

 Cách 1:

TH1: d ( )P

 Chọn một điểm Md

 Tìm hình chiếu M' của M lên  P

 d qua ' M' và song song với d

TH2: d cắt  P

 Giải hệ

( )

d P





 tìm giao điểm M của d và ( )P

 Chọn một điểm A d

 Tìm hình chiếu vuông góc A' của M lên  P

 d đi qua ' A' và M

 Cách 2:

Gọi ( )Q là mặt phẳng chứa d và ' d Ta có    P  Q nên một vecto pháp tuyến của ( )Q là

( )Q ( )P; d

n  n u 

Khi đó , 'd là giao tuyến của ( )P và ( )Q

 Cách 3:

Chọn hai điểm A B, trên d Tìm hình chiếu A B', ' lần lượt của A B, lên ( )P Khi đó d đi qua ' A B', '

V Viết phương trình đường thẳng d đối xứng của d qua mặt phẳng ' ( )P

TH1: d ( )P

 Chọn một điểm Md

 Tìm hình chiếu M' đối xứng của M qua ( )P

 d qua ' M' và song song với d

TH2: d cắt ( )P

 Giải hệ phương trình

( )

d P





 tìm giao điểm A

 Chọn một điểm Md

 Tìm hình chiếu M' đối xứng của M qua ( )P

 d qua ' A và M'

VI Viết phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng chéo nhau d và ' d

 Cách 1:

 Viết d và 'd dưới dạng tham số

 Gọi M N, lần lượt là giao điểm của  với d d, '

Suy ra M d M( ; ; );N d' N( ; ; )

 Ta có :

'

d

d

MN u





 Giải hệ ta được , ' Suy ra M N, Từ đó lập phương trình  qua M N,

 Cách 2:

 Vì ; '

d

 

 

 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứ  và d

 Tìm giao điểm N của ( )P và d '

 Khi đó,  qua N và u là VTCP

Vấn đề 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

I Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   :A x1 B y C z1  1 D10 và   :A x2 B y C z2  2 D2 0

      

     

  

( )

d











   











   ( ) A B1 1A B2 2A B3 30

II Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

 Cách 1:

Đường thẳng d qua M và có VTCP u d

Mặt phẳng ( )P có VTPT n( )P

 d cắt ( )P u n d ( )P 0

 d song song ( )P ( )

( )

 



 





 d nằm trong ( )P

 Cách 2: Xét hệ phương trình tọa đôj giao điểm của d và ( )P

 Hệ có 1 nghiệm  d cắt ( )P

 Hệ vô nghiệm  d song song ( )P

 Hệ vô số nghiệm  d nằm trong ( )P

III Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng :

0

0

0

:

z z ct

 



  



  



qua M x y z và có VTCP ( ;0 0; 0) u( ; ; )a b c

0

0

0

' '

' '

z z c t

 



  



  



qua M x'( 0';y0';z0') và có VTCP u'( '; '; ')a b c

 Cách 1:

 d song song với 'd '

'

u ku

 



 



 d trùng với 'd '

'

u ku

 



 



 d cắt với 'd '

u ku

u u MN

 







 d chéo 'd u u; ' MN 0

 Cách 2: Xét hệ phương trình

' ' ' ' ' '

z ct z c t

  



   



   



 Hệ có 1 nghiệm  d cắt ' d

 Hệ vô nghiệm  d và ' d song song hoặc chéo nhau

 Hệ vô số nghiệm  d và ' d trùng nhau

IV Quan hệ song song và quan hệ vuông góc

1 Quan hệ song song

 ( )P song song ( )Q ( ) ( )

( ); ( )

 



 

 d song song với ( )P ( )

 



 

 d song song với 1 1 2

2

d

 



 

2 Quan hệ vuông góc

 ( )P vuông góc với ( )Q n( )P n( )Q

 d vuông góc với ( )P u d kn( )P

 d vuông góc với 1 d 2

1 2

 

Vấn đề 5: KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách giữa hai điểm:   2  2 2

AB x x  y y  z z

2 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng : Cho điểm M x y z và mặt phẳng ( ;0 0; 0)

( ) :P AxBy Cz  D 0

d M P



 

3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M x y z và đường thẳng d qua điểm N ( ;0 0; 0)

và có VTCP u d

;

d

MN u

d M d

u

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Cho hai đường thẳng d đi qua 1 M và có VTCP 1

d

u ; d đi qua N và có VTCP 2

2

d

u ;

1 2

1 2

( ; )

;

d d d

u u



5 Khoảng cách từ d đến mp ( )P với d ( )P :

 Chọn Md tùy ý

 d d P( ,( ))d M P( ,( ))

6 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q với ( ) ( )P Q

 Chọn M( )P tùy ý

 d P(( ),( ))Q d M Q( ,( ))

7 Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và 1 d với 2 d1 d2

 Chọn Md1 tùy ý

 d d d( ,1 2)d M d( , 2)

Vấn đề 6: GÓC

1 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho d có VTCP là 1

1

d

u , d có VTCP là 2

2

d

1 2

cos( , )

u u

d d

u u

2 Góc giữa hai mặt phẳng :