rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua dạy học chương phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 thpt

Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chấ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN’’ LỚP 12 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

TRIỆU TUẤN ANH

RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ

HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG ‘‘PHƯƠNG PHÁP TỌA

ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN’’ LỚP 12 THPT

Chuyên ngành: LL&PP DẠY HỌC TOÁN

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI VĂN NGHỊ

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học PGS.TS.Bùi Văn Nghị đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Phương pháp giảng dạy môn Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban giám hiệu, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn, Lãnh đạo trường trung học phổ thông Văn Quan cũng như toàn thể các đồng nghiệp trong trường THPT Văn Quan đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Toán Khóa 17 và các bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về chuyên môn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Tác giả luận văn

TRIỆU TUẤN ANH

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU………………… …… 1

1 Lí do chọn đề tài……… ….1

2 Lịch sử nghiên cứu………2

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu………2

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu………3

5 Mẫu khảo sát…………………….3

6 Vấn đề nghiên cứu……….3

7 Giả thuyết khoa học……… 3

8 Phương pháp nghiên cứu……… 3

9 Cấu trúc luận văn……… 4

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………5

1.1 Năng lực trí tuệ của học sinh……… 5

1.1.1 Năng lực……… 5

1.1.2 Năng lực toán học………………5

1.1.3 Năng lực trí tuệ…………6

1.2 Nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho học sinh………8

1.3 Nội dung và mục tiêu dạy học chương PPTĐ trong không gian trong chương trình hình học nâng cao 12 Trung học phổ thông 11

1.4 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông……… 12

1.4.1 Vai trò của việc giải bài tập toán 12

1.4.2 Phương pháp giải bài tập toán 14

1.5 Thực tiễn hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình học chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT 19

TÓM TẮT CHƯƠNG I 22

CHƯƠNG II: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VỀ PPTĐ TRONG KHÔNG GIAN NHẰM RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN HOẠT ĐỘNG

TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH……… …… 23

2.1 Hệ thống bài toán nhằm rèn luyện khả năng Phân tích - Tổng hợp…….23 a) Cơ sở lí luận 23

b) Hệ thống bài toán 24

2.2 Hệ thống bài toán nhằm rèn luyện khả năng KQH và ĐBH………… 41

a) Cơ sở lí luận 41

b) Hệ thống bài toán 45

2.3 Hệ thống bài toán nhằm rèn luyện khả năng Tương tự hóa 57

a) Cơ sở lí luận 57

b) Hệ thống bài toán…………………………………… 58

TÓM TẮT CHƯƠNG II 71

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 72

3.1 Mục đích, nội dung và tổ chức thực nghiệm sư phạm 72

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 72

3.1.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 72

3.1.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 72

3.2 Giáo án thực nghiệm sư phạm 73

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 76

3.3.1 Các đề kiểm tra sau thực nghiệm sư phạm 76

3.3.2 Thống kê kết quả các bài kiểm tra………………….77

3.3.3 Đánh giá……………….78

TÓM TẮT CHƯƠNG III 79

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT Chữ viết tắt, ký hiệu Ý nghĩa chữ viết tắt, ký hiệu

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005, phương pháp giáo dục cần phải

“Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có

ý chí và thói quen tự học thường xuyên; tạo cơ sở để HS tiếp tục học CĐ, ĐH, TCCN, học nghề hoặc đi vào cuộc sồng lao động Các mục tiêu đó thể hiện sự toàn diện, thống nhất và có quan hệ mật thiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau: tri thức là cơ sở để thực hiện các mục tiêu khác; trong các mục tiêu thì mục tiêu phát triển trí tuệ là quan trọng nhất; thông qua hoạt động mà rèn luyện kĩ năng, củng cố tri thức

Phương pháp tọa độ trong không gian là nội dung tuy không phải là nội dung khó trong chương trình môn Toán THPT, các bài toán trong SGK, SBT cũng chỉ yêu cầu HS kĩ năng vận dụng trực tiếp những công thức, phương trình đường thẳng, mặt phẳng ở dạng cơ bản, song nhiều bài toán trong các kì thi lại không dễ đối với đa số HS Vì những bài toán đó đòi hỏi ở HS khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức nhiều hơn

Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua dạy học chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT

2 Lịch sử nghiên cứu

Hiện nay đã có một số đề tài luận văn Thạc sĩ gần gũi với đề tài này, như là:

Đề tài “Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài toán hình học không gian” của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP HN, năm 2000;

Đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT” của Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004;

Đề tài “ Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan trợ giúp dạy học

về Phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 THPT” của Nguyễn Thị Thu Hằng, ĐHSP - ĐH Thái Nguyên, năm 2008; Đề tài “Rèn luyện kĩ năng vận dụng Phương pháp tọa độ giải toán HHKG 12” của Hoàng Thị Phương Thảo, ĐHGD - ĐHQGHN, năm 2009; Luận văn “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian, lớp 12 THPT” của Nguyễn Mạnh Cường, ĐHSP HN, năm 2009; Đề tài “Dạy học Tọa độ trong không gian bằng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề” của Nguyễn Quý Sửu, ĐHGD - ĐHQGHN, năm 2009

Những đề tài trên đều gắn với nội dung “Tọa độ trong không gian” thuộc chương trình môn Toán lớp 12 THPT, song hoặc nghiên cứu sâu về kĩ năng giải toán, phát triển tư duy, hoặc vận dụng một PPDH tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS, hoặc soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan Đề tài mà chúng tôi lựa chọn đi sâu nghiên cứu phát triển một số hoạt động trí tuệ cho

HS, không trùng lặp với các đề tài đã được công bố

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

+ Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua dạy học chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT

+ Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu hệ thống lí luận về các hoạt động trí tuệ trong dạy - học môn Toán

- Nghiên cứu nội dung dạy học “Phương pháp tọa độ trong không gian”

- Nghiên cứu và đề xuất giải pháp rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua dạy học chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT

- Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Là quá trình rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh

- Phạm vi nghiên cứu: Một số hoạt động trí tuệ thường gặp nhất như phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa trong dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian

- Khách thể nghiên cứu: Chương trình, nội dung môn Toán ở trường THPT

5 Mẫu khảo sát

Một số lớp 12, trường THPT Văn Quan, Lạng Sơn

6 Vấn đề nghiên cứu

- Một số hoạt động trí tuệ thường gặp trong môn toán THPT

- Giải pháp rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh

7 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng giải pháp đề xuất trong luận văn thì học sinh có những kĩ năng hoạt động trí tuệ tốt hơn, có khả năng giải toán Tọa độ trong không gian tốt hơn, nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này ở trường THPT

8 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh

- Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy TNSP một số giáo án về

“Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT và đánh giá kết quả hoạt động trí tuệ cho học sinh, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa của đề tài

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Năng lực trí tuệ của học sinh

1.2 Nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho học sinh

1.3 Nội dung và mục tiêu dạy học chương PPTĐ trong không gian trong

chương trình hình học nâng cao 12 THPT

1.4 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông

1.5 Thực tiễn hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình học tập

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài toán về phương pháp tọa độ trong không

gian nhằm rèn luyện và phát triển một số hoạt động trí tuệ cho học sinh

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực trí tuệ của học sinh

1.1.1 Năng lực

Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Cảnh Nam viết trong TTKHGD số

15 năm 1989 thì “Năng lực là đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng được

yêu cầu của một loạt hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó”

Khi nói đến năng lực, phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Theo quan điểm duy vật, con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau Tuy nhiên những tố chất ấy cần có môi trường thuận lợi mới phát triển được

1.1.2 Năng lực toán học

+ Theo V A Krutecxki, năng lực toán học được hiểu theo hai góc độ: Năng lực học tập toán và năng lực nghiên cứu toán học Trong đó năng lực học tập toán là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm vững giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm chắc các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng và vận dụng một cách thành thạo vào thực tiễn; còn năng lực nghiên cứu toán học là năng lực sáng tạo ra những kết quả mới về Toán học, có tính khách quan và có giá trị nhất định đối với loài người

+ Theo nhà toán học A Ia Khinxin thì năng lực toán học thể hiện những nét sau:

- Suy luận theo sơ đồ logic

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích

- Phân chia chính xác các kí hiệu

- Có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở

+ Theo Kônmôgôrôp thì trong thành phần của những năng lực toán học có:

- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chứa chữ phức tạp, năng lực tìm con đường giải các phương trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán

- Trí tưởng tượng hình học hay là trực giác hình học

- Nghệ thuật suy luận logic theo các bước đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kĩ năng vận dụng đúng đắn qui nạp Toán học, là tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic hoàn toàn cần thiết đối với nhà Toán học

+ Còn theo nghiên cứu của “Hiệp hội quốc tế về đánh giá kết quả học tập IAE” công bố tại hội nghị UNESCO Paris năm 1973 thì có 10 chỉ tiêu năng lực cơ bản là:

- Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các khái niệm

- Năng lực tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu

- Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu

- Năng lực biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa các ẩn và các dữ kiện thành kí hiệu

- Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

- Năng lực xây dựng một chứng minh

- Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa

- Năng lực giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa)

- Năng lực phân tích bài toán và tổng hợp bài toán

- Năng lực đặc biệt hóa, khái quát hóa Toán học

- Năng lực xét các bài toán tương tự trong Toán học

1.1.3 Năng lực trí tuệ

Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim thì các thành phần năng lực trí tuệ của học sinh bao gồm các mặt sau đây:

- Khả năng tư duy, ngôn ngữ chính xác

- Khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Khả năng thực hiện các hoạt động trí tuệ

Những phẩm chất trí tuệ quan trọng là: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo

Các hoạt động trí tuệ chủ yếu trong môn toán là: Dự đoán, so sánh, phân tích,

so sánh, tổng hợp, đặc biệt hóa, tượng tự hóa, khái quát hóa

- Dự đoán là dựa vào điều đã biết để suy xét rút ra nhận định về điều chưa biết, chưa xảy ra

- Phân tích là phân chia thực sự hay bằng tưởng tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố; phân tích là sự suy xét, mổ xẻ (trong suy nghĩ) sự vật, hiện tượng để có những nhận thức về sự vật, hiện tượng đó, những mối liên hệ ở trong đó

Phân tích ngược trong chứng minh là phân tích từ điều phải chứng minh: muốn chứng minh Z, ta cần chứng minh Y, muốn chứng minh Y, ta cần chứng minh X Cứ như vậy cho đến khi ta có thể chứng minh được

- Tổng hợp là thao tác ngược lại với phân tích Tổng hợp là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thực sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể; là phương pháp dựa vào phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu

- Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng khác nhau Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh giống nhau

- Khái quát hóa là chuyển khái niệm, tính chất từ tập A sang tập B chứa A, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập A

- Đặc biệt hóa là ngược lại của khái quát hóa, là chuyển tính chất từ tập A sang tập con của nó

Người ta thường dùng đặc biệt hóa để dự đoán quỹ tích hoặc hỗ trợ quá trình giải toán

- Trừu tượng hoá là hoạt động trí tuệ gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất, tìm ra dấu hiệu bản chất của sự việc, hiện tượng, mối quan hệ

1.2 Nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho học sinh

Môn toán với vị trí của nó trong nhà trường phổ thông có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận trong học tập và giải quyết các vấn đề

Trong những năm gần đây xu hướng đề thi đại học ở phần phương pháp tọa

độ trong không gian luôn đòi hỏi học sinh ở hai vấn đề: Chú trọng rèn luyện

kỹ năng giải toán, nắm được ý nghĩa hình học của bài toán Qua đó nhìn nhận thực tiễn việc dạy toán hiện nay vẫn còn nhiều bất cập

Thứ nhất, tình trạng dạy toán theo kiểu luyện thi vẫn còn phổ biến Theo kiểu

này, giáo viên nặng về chữa bài tập cho học sinh, chưa chú ý đến việc dạy cho học sinh cách học, cách tư duy, cách tìm lời giải cho một bài toán mới Học sinh được làm nhiều bài tập, nhưng phần lớn là chưa có tính hệ thống, ít được chú ý và rèn luyện các kỹ năng phân tích, tổng hợp… Từ đó dẫn đến tình

trạng học sinh làm được bài nào biết bài ấy, loay hoay tìm hướng giải quyết một bài toán mới lạ không giống như các dạng đã biết

Thứ hai, cách dạy học còn nặng về thuyết trình và nhồi nhét kiến thức một

cách áp đặt Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn, cách dạy học toán hiện nay ở nhà trường phổ thông giống như việc thầy giáo dẫn học sinh đi thăm quan một lâu đài đã xây dựng xong từ lâu Còn theo GS Hoàng Tụy thì “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái ăm, giả tạo chẳng giúp mấy phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản”

Thứ ba, cách dạy như trên đã hạn chế tư duy độc lập và khả năng làm việc

nhóm của học sinh Học sinh bị lệ thuộc vào giáo viên, thầy cô cho làm bài nào thì biết bài ấy, không biết hệ thống kiến thức đã học theo cách của riêng mình Với cách dạy đó, học sinh nặng về làm theo một cách dập khuôn máy móc, hạn chế khả năng sáng tạo, độc lập trong việc chiếm lĩnh tri thức và phát triển trí tuệ

Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy cần chú ý khai thác các hoạt động trí tuệ như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa trong mỗi bài giảng nhằm phát triển trí tuệ cho học sinh Từ đó tạo cho các em khả năng giải quyết những bài toán mới, tìm ra được nhiều lời giải cho một bài toán, hoặc tìm được những lời giải độc đáo, thú vị, tối ưu Với mỗi bài toán ta

có thể khai thác và rèn luyện cho học sinh một vài hoạt động trí tuệ nào đó, không nên có tham vọng khai thác và rèn luyện cho học sinh tất cả hoạt động trí tuệ

Ví dụ Khai thác các hoạt động trí tuệ nhằm rèn luyện cho học sinh từ một bài

toán: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho qua điểm

A(3; -1; 3) và hai đường thẳng (d1):

24

Biện luận: Hai mặt phẳng trên luôn cắt nhau vì đã có một điểm A chung và

không cùng phương, tức (d) luôn được xác định Nếu (d) không song song với hai đường thẳng đã cho thì bài toán có một nghiệm hình duy nhất; nếu (d) song song với một trong hai đường thẳng đã cho thì bài toán vô nghiệm

Một cách phân tích khác: Giả sử đường thẳng (d) cần tìm cắt (d1) và (d2) tại

M và N thì hai véc tơ  AM AN phải cùng phưong Vậy ta có thể tìm điểm M ,thuộc (d1) và điểm N thuộc (d2) để hai véc tơ  AM AN cùng phương là được ,

Bài toán tương tự: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 1; 1)

và vuông góc với hai đường thẳng (d1): 1 2

+ Nội dung lí thuyết của chương bao gồm:

- Nghiên cứu tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

- Nghiên cứu vị trí tương đối của các đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng, mặt cầu Trong đó đặc biệt chú trọng nghiên cứu quan hệ song song và

vuông góc

- Nghiên cứu các khái niệm về góc, khoảng cách giữa các đối tượng đường

Căn cứ vào nội dung kiến thức chương này được chia làm 3 bài và phân bố thời gian như sau:

Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (5 tiết)

Bài 2: Phương trình mặt phẳng (5 tiết)

Bài 3: Phương trình đường thẳng (8 tiết)

Ôn tập chương (2 tiết)

+ Nội dung thực hành (bài tập):

- Các bài tập về tìm tọa độ điểm

- Các bài tập về lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu

- Các bài tập về vị trí tương đối của điểm , đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu

- Các bài tập về quan hệ song song và vuông góc

- Các bài tập về góc, khoảng cách

- Các bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp véctơ và phương pháp toạ độ

+ Yêu cầu cơ bản về kỹ năng:

- HS nắm vững hình học không gian lớp 11 để xác định được cách giải các bài toán trong chương

- Rèn luyện cách giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn và hệ bậc hai

- Nhớ được cách giải các bài toán cơ bản, trình bày chính xác các bài toán Tìm tòi cách giải ngắn gọn cho các bài toán, lựa chọn được cách giải phù hợp với từng câu hỏi

- Làm nhiều bài tập để nhớ cách giải các dạng toán, giải nhanh, chính xác

1.4 Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông

Phần lí luận trong mục này viết theo tài liệu Phương pháp dạy học môn toán của Nguyễn Bá Kim, năm 2004

1.4.1 Vai trò của việc giải bài tập toán

+ Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách

có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó

+ Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giải bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống

+ Hiện nay trong sách giáo khoa toán trên thế giới, sau mỗi bài học đều có ba loại bài thực hành, bài tập và bài toán, trình bày tách biệt với nhau, trong đó những bài toán thực tiễn chiếm một tỉ lệ cao

+ Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn toán ở nhà trường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lí, quy tắc - phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

+ Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo

và ứng dụng toán học vào thực tiễn

+ Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra

+ Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể:

- Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:

 Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

 Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ

 Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau

Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên

1.4.2 Phương pháp giải bài tập toán

Theo G.Pôlya, phương pháp chung giải một bài toán gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung của bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải Cụ thể:

+ Bước 1: Hiểu rõ bài toán

- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay thừa, hay

+ Bước 2: Xây dựng một chương trình giải

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí có thể dùng được không?

- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn tương tự

- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp? Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay

về định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có

thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các

dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Qua các phần dẫn dắt của bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thể hiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan, hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo

+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứng minh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo đã được thể hiện đầy đủ

+ Bước 4: Trở lại cách giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra)

- Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không?

- Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực tiếp kết quả không?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho bài toán nào khác không?

Ví dụ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán sau: Trong hệ tọa độ Oxyz

cho tứ diện ABCD với A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1), D(0; 3; 1) Viết

phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và B sao cho khoảng cách từ C đến (P)

bằng khoảng cách từ D đến (P) (Đề thi ĐH khối B 2009)

Từ đó ta lập phương trình mặt phẳng (P) theo hai trường hợp như sau:

TH1 : (P) đi qua A và có vectơ pháp tuyến là ( )  , 

1.5 Thực tiễn hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình học chương

“Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT

Qua việc điều tra, khảo sát bằng phiếu điều tra và thông qua hình thức dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp, chúng tôi nhận thấy một số vấn đề nổi bật lên như sau:

- Do thời gian của một tiết học bị hạn chế, khối lượng kiến thức theo quy định lại nhiều Nên phần lớn GV vẫn dùng những PPDH truyền thống như: PPDH thuyết trình và PPDH vấn đáp vẫn chiếm ưu thế và được vận dụng theo quy trình sau:

+ Dạy giờ lý thuyết: GV dạy theo các bước: Đặt vấn đề, giảng giải để dẫn HS tới kiến thức kết hợp với PPDH vấn đáp để củng cố kiến thức, hướng dẫn việc học ở nhà

+ Dạy giờ luyện tập: HS chuẩn bị bài tập ở nhà hoặc ít phút tại lớp, GV gọi

HS lên bảng chữa bài, sau đó gọi HS khác nhận xét lời giải của bạn, GV đưa

ra lời giải chính xác thông qua đó củng cố kiến thức cho HS Đối với HS khá, giỏi một số ít GV phát triển bài toán bằng cách khái quát hoá, đặc biệt hoá bài toán

Do đó các GV giảng dạy dễ theo một trong hai khuynh hướng sau:

+ Khuynh hướng thứ nhất là chỉ chú trọng rèn luyện cho HS giải toán trên các biểu thức hình thức (các bài toán nội bộ phương pháp tọa độ), ít quan tâm nắm các ý nghĩa hình học

+ Khuynh hướng thứ hai là chỉ coi trọng nội dung hình học coi nhẹ các dạng toán trong nội bộ phương pháp tọa độ Điều đó ảnh hưởng lớn đến việc rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ Chính vì vậy kỹ năng giải toán theo xu hướng phát triển trí tuệ, hay khi gặp một bài toán mới HS thường lúng túng trong việc tìm ra lời giải Cụ thể:

- Để khắc phục các khuynh hướng nêu trên khi dạy học chủ đề PPTĐ trong không gian cần chú trọng:

+ Khắc sâu ý nghĩa hình học của các hệ thức, biểu thức tọa độ hình thức Từ những đối tượng hình học cơ bản giáo viên tạo điều kiện cho học sinh sáng tạo bài toán áp dụng PPTĐ

+ Chú trọng cho học sinh được luyện tập đảm bảo cân đối giải các bài toán trong nội bộ PPTĐ, đã cho trước hệ tọa độ và các biểu thức tọa độ biểu thị quan hệ giữa các đối tượng hình học và các dạng toán hình học cần chọn hệ tọa độ

+ Tạo các điều kiện để học sinh có điều kiện để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tương tự hóa, thông qua các bài toán điển hình

Chính vì vậy khi dạy chương PPTĐ trong không gian, ta phải chú ý đến các yêu cầu cơ bản cần đạt được là:

+ Về kiến thức cơ bản: HS cần nắm được những kiến thức về hệ trục tọa độ ĐềCác trực chuẩn, tọa độ của véctơ, tọa độ của điểm, biểu thức tọa độ của các

phép toán véctơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, các công thức tính góc, khoảng cách…

+ Về kĩ năng: Yêu cầu HS viết được phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu diễn tả được các quan hệ song song, vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng bằng PPTĐ; biết cách tính khoảng cách, tính góc giữa 2 yếu tố (giữa 2 đường thẳng, giữa 2 mặt phẳng và giữa đường thẳng và mặt phẳng) Vận dụng tổng hợp những kiến thức về PPTĐ để giải các bài toán hình học trong không gian, đặc biệt các bài toán trên các hình quen thuộc như tứ diện, hình hộp, hình lập phương

Cần làm cho HS hiểu rõ và thấy được ý nghĩa của các khái niệm như véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương, ý nghĩa của tham số trong phương trình đường thẳng, mặt phẳng, Mặt khác, cần tận dụng tốt tất cả các cơ hội có thể có được trong từng bài tập để rèn luyện cho HS khả năng phiên dịch từ ngôn ngữ hình học thông thường sang tọa độ và ngược lại GV cũng cần hướng cho HS lưu ý đến ứng dụng của PPTĐ trong việc nghiên cứu các sự kiện hình học, ứng dụng của tích vô hướng, tích có hướng của hai véctơ, biểu thức tọa độ của chúng và các điều kiện cộng tuyến của hai véctơ, điều kiện đồng phẳng của ba véctơ, biểu thị bằng những công thức tọa độ Từ đó có thể vận dụng tốt khi sử dụng PPTĐ để giải các bài toán hình học không gian

Như vậy, trong quá trình dạy học, GV phải biết linh hoạt vận dụng cả cú pháp lẫn ngữ nghĩa trong khi dạy học các yếu tố hình học giải tích Có thể đạt đến điều đó bằng cách giúp HS vạch ra mối liên hệ giữa các kiến thức cơ bản của hình học tổng hợp truyền thống với cái bản chất của các biểu thức hình thức trong hình học giải tích để hiểu và giải quyết được các vấn đề Toán mà PPTĐ đặt ra

TÓM TẮT CHƯƠNG I

Chương này trình bày tổng quan lý luận về năng lực trí tuệ và một số hoạt động trí tuệ cơ bản của dạy học nói chung cũng như dạy học môn toán nói riêng, vai trò của nó đối với việc dụng vào thực tiễn giảng dạy bộ môn

Thực tiễn dạy học nội dung „„Tọa độ trong không gian” ở trường phổ thông cho thấy vẫn còn những vấn đề cần phải giải quyết Đó là, sự chưa chú trọng thích đáng của một số GV đến việc khai thác các dạng toán, hệ thống các dạng toán, đưa một số hoạt động trí tuệ như: Phân tích - tổng hợp, khái quát hóa - đặc biệt hóa, tương tự hóa vào giảng dạy để phát triển trí tuệ cho HS

Những cơ sở lí luận trình bày trong chương này sẽ định hướng cho quá trình vận dụng cụ thể ở chương 2

Chương II

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN NHẰM RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN

HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH

Như đã phân tích ở chương 1, chúng tôi không có tham vọng về một dạng bài toán có thể khai thác được tất cả các hoạt động trí tuệ nhằm rèn luyện và phát triển cho học sinh Đồng thời cũng không phải những gì chúng tôi trình bày ở đây đã đầy đủ những hoạt động trí tuệ có thể khai thác được nhằm rèn luyện cho học sinh

Chúng tôi cố gắng sưu tầm và sắp xếp theo từng hệ thống bài toán, trong đó nổi trội về một, hai hoạt động trí tuệ nào đó có thể khai được

Chính vì vậy sự sắp xếp của chúng tôi có tính chất tương đối, không thể rạch ròi, vì có sự giao thoa nhất định về những hoạt động trí tuệ ẩn chứa trong mỗi bài toán

Tổng thể về các hoạt động trí tuệ thường gặp trong môn Toán đã được chúng tôi trình bày ở chương 1 Tại đây chúng tôi sẽ phân tích sâu sắc hơn từng hoạt động trí tuệ làm cơ sở để phân loại và lựa chọn những bài toán trong từng hệ thống của chúng tôi

2.1 Hệ thống bài toán nhằm rèn luyện khả năng Phân tích - Tổng hợp

a) Cơ sở lí luận

Theo giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn:

“ Phân tích là đi sâu tìm hiểu các chi tiết, bộ phận của một tổng thể, tìm ra những đặc điểm của các chi tiết, bộ phận đó Tổng hợp là nhìn bao quát nhiều sự việc hiện tượng, lý thuyết riêng lẻ cố tìm ra mặt giống nhau giữa

những riêng lẻ đó, hy vọng tìm ra một nội dung chung bao trùm lên tất cả cái riêng lẻ đó” [26, trang 186]

Theo giáo sư Nguyễn Bá Kim “Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ

trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp” [15, trang 46]

Như vậy phân tích và tổng hợp là cơ sở, nền tảng của các hoạt động trí tuệ Nếu gặp khó khăn khi tiến hành một hoạt động trí tuệ nào đó ta cần quay lại

cơ sở của hoạt động là phân tích và tổng hợp Phân tích và tổng hợp liên quan chặt chẽ với nhau trong quá trình tư duy và hình thành tri thức Giáo sư

Nguyễn Cảnh Toàn đã viết: “Phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp vì nếu

không đi sâu vào các sự kiện riêng lẻ thì cũng khó thấy được những mặt giống nhau giữa các sự kiện riêng lẻ đó Tổng hợp lại tạo thêm điều kiện cho

sự phân tích tiếp vì nhờ có sự tổng hợp đó mà ta có thể dùng kết quả nghiên cứu được trong sự kiện riêng lẻ này phục vụ cho việc nghiên cứu sâu vào sự kiện riêng lẻ kia” [26, trang 186]

b) Hệ thống bài toán

Bài toán 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với

A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1), D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng

(P) đi qua A, B và cách đều C, D

Chúng tôi đã trình bày việc hướng dẫn phân tích, tổng hợp tìm lời giải bài toán này ở chương 1

Bài toán 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với

A(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3) Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó

Tương tự như bài toán 1, ta có thể hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải bài toán như sau

Phân tích:

+ Có những cách nào để lập phương trình một mặt phẳng trong không gian?

Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng biết một điểm và vectơ pháp tuyến hoặc

cặp vectơ chỉ phương của nó (thực chất biết cặp vectơ chỉ phương cùng quy

về biết vectơ pháp tuyến của mặt phẳng)

Cách 2: Gọi phương trình mặt phẳng là Ax + By + Cz + D = 0 và tìm được hệ

ba điều kiện để xác định A, B, C, D (vì A, B, C không đồng thời bằng 0 nên

có ít nhất một trong ba số khác 0, chẳng hạn A khác 0, ta chỉ cần tính B, C, D theo A là mặt phẳng hoàn toàn được xác định nên chỉ cần hệ ba điều kiện) Theo cách 1, ta chưa xác định được điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến

Phân tích thông qua một trường hợp đặc biệt:

Nếu mp   cách đều hai điểm M, N nào đấy thì vị trí tương đối của M, N và

mp  như thế nào?

Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN

GV có thể đặt các câu hỏi gợi mở để rèn luyện khả năng phân tích:

Trong trường hợp của bài toán, mp  cần tìm phải cách đều bốn điểm đã cho thì thì vị trí tương đối của bốn điểm đó và mp  như thế nào?

Ta có ba trường hợp sau:

TH1: Mp  chia không gian thành hai miền, một miền chứa cả bốn điểm, miền kia không chứa điểm nào

TH2: Mp   chia không gian thành hai miền, một miền chứa ba điểm, miền kia chứa một điểm còn lại

TH3: Mp   chia không gian thành hai miền, mỗi miền chứa đúng hai điểm

Phân tích tìm lời giải bài toán trong từng trường hợp:

TH1: Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm một miền và cách đều mp   nên 4 điểm A, B, C, D phải đồng phẳng Với giả thiết đã cho A, B, C, D không đồng phẳng suy ra không tồn tại mặt phẳng  

TH2: Một điểm thuộc một phía của mp   , giả sử điểm A và ba điểm còn lại:

B, C, D cùng thuộc một phía của mp   Do mp   cách đều 4 điểm A, B,

C, D nên mp   song song với (BCD) đồng thời mp   cách đều A và một điểm trong ba điểm B, C, D, suy ra mp  đi qua trung điểm của của ba cạnh

AB, AC, AD Vậy mp   đi qua trung điểm của của ba cạnh cùng xuất phát

từ một đỉnh của tứ diện Có 4 mặt phẳng nhƣ vậy

Hình 2.1 TH3: Cặp hai điểm trong 4 đỉnh của tứ diện nằm về hai phía của mp   , giả

sử A, B cùng nằm một phía, C và D cùng nằm một phía so với mp 

Hình 2.2Khi đó do mp  cách đều 4 đỉnh A, B, C, D nên mp  phải song song với

AB, song song CD, đồng thời cách đều B và C Vậy mp   đi qua các trung điểm H, T, P, N của lần lượt các cạnh BC, BD, AD, AC hay mp   chứa hai đường trung bình TN và HP của tứ diện Có 3 mặt phẳng như vậy

Vậy có tất cả bảy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi đó có các khả năng sau:

+ Mặt phẳng   chứa hai đường trung bình TN và PH của tứ diện nên phương trình    là: x – y – z – 2 = 0

Tương tự các trường hợp còn lại ta có phương trình mp   là:

2x + y + z – 16 = 0, 2x + y – z – 14 = 0

Theo cách 2, ta có hệ:

3A 5B C D 7A 5B 3C D 3A 5B C D 9A – B 5C D 3A 5B C D 5A 3B 3C D

Bài toán 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 và

d2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(-4; -5; 3) và cắt cả hai đường

Sự phân tích tìm lời giải bài toán này đã được trình bày ở chương 1

Tổng hợp sự phân tích đó ta được lời giải của bài toán như sau:

Cách 1: M không thuộc đường thẳng d1 suy ra xác định mặt phẳng (P) qua M

và chứa d1, ta có: x + 3z - 5 = 0

Hình 2.3Gọi B là giao điểm của (P) và đường thẳng d2 Khi đó tọa độ của B là nghiệm

cùng phương với véc tơ AB

* Khi t = -1 không tồn tại t‟ để hai véc tơ trên cùng phương

* Khi t = 1 không tồn tại t‟ để hai véc tơ trên cùng phương

* Khi t khác cả hai giá trị 1 và -1 thì điều kiện để hai véc tơ MA 

 , trường hợp t = -1 không thỏa mãn Với t = t‟ = 0, ta có

A(-1; -3; 2), B(2; -1; 1) suy ra AB   (3;2; 1)  Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B chính là phương trình đường thẳng cần tìm, suy ra

Cách 1: Ta thấy mp(P) hoàn toàn xác định; đường thẳng (d) nằm trong mp(P)

suy ra nếu (d) cắt (d2) tại B thì giao điểm B phải thuộc mp(P) Trong cách giải này ta đã khai thác vị trí tương đối của đường thẳng d2 với mặt phẳng (P)

Cách 2: Trong cách giải này ta đã sử dụng tính chất đường thẳng d cắt mỗi

đường tại mối điểm dựa vào phương trình tham số và điều kiện thẳng hàng

Cách 3: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng và từ đó suy ra

véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Trong các ví dụ trên nếu tiếp tục phân tích bài toán theo các chiều hướng khác

có thể ta sẽ có thêm cách giải khác Điều đó cho thấy sau khi giải bài toán nào

đó nên khuyến khích học sinh nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, phương diện khác nhau, từ đó có các cách giải khác nhau Từ đó tạo cho học sinh có thói quen nghiên cứu, tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán, đồng thời qua đó rèn luyện khả năng phân tích, đồng thời tìm lời giải quyết bài toán theo hướng phân tích ban đầu

Các phương pháp trên đều sử dụng các kiến thức cơ bản trong chương trình, ở nhiều lĩnh vực khác nhau, nhờ sự tìm tòi, sáng tạo trong tư duy khi giải toán Trong quá trình giải toán đã có sự mổ xẻ bài toán, phân tích theo nhiều hướng, từ đó tìm được nhiều lời giải cho một bài toán

Bài toán 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2), B

(2; -2; 1), C(-2; 0; 1) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp(P): 2x + 2y + z – 3 = 0

sao cho thỏa mãn MA = MB = MC (ĐH khối B năm 2008)

Phân tích:

Có những cách nào có thể tìm điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Cách 1: Do điểm M nằm trong mặt phẳng (P) nên có thể quy tọa độ điểm M

phụ thuộc vào hai ẩn Dựa vào điều kiện MA = MB = MC ta lập được hệ hai

ẩn hai phương trình Giải hệ ta xác định được tọa độ điểm M

Cách 2: Do MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực đoạn AB, tương tự

do MA = MC nên M thuộc mặt phẳng trung trực đoạn AC Kết hợp M thuộc mặt phẳng (P) và hai mặt trung trực của hai đoạn AB, AC ta tìm được tọa độ điểm M

Cách 3: Nếu có thêm nhận xét BC2 = AB2 + AC2 thì ABC là tam giác vuông tại A nên M thuộc đường thẳng d qua trung điểm I của đoạn BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Kết hợp với giả thiết M thuộc mp(P) nên xác định được tọa độ điểm M

2x y z 0 x 22x 3y z 2 y 3

Bài toán 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (3; 0; 0),

B (0; 2; 0), C(0; 0; 1) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

Ta có những cách phân tích sau:

+ Phân tích thông qua sai lầm của học sinh:

Nhiều học sinh đưa ra hệ điều kiện: H thuộc mặt phẳng qua A vuông góc BC,

H thuộc mặt phẳng qua B vuông góc AC, H thuộc mặt phẳng qua C vuông góc AB, mà không đưa điều kiện H thuộc mặt phẳng (ABC) nên không tìm được H

Hay một số học sinh áp dụng cách tìm tọa độ trực tâm H như trong mặt

phẳng: Gọi H(x; y; z) khi đó tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: AH.BC 0