CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

CÁC DẠNG BÀI NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Vấn đề 1: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ I.. Tìm nguyên hàm dựa vào bảng công thức.. Sử dụng bảng công thức nguyên hàm :... Tìm nguyên hàm bằng ph

CÁC DẠNG BÀI NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Vấn đề 1: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

I Dùng định nghĩa nguyên hàm

 

 

 

 

 

 

1

2

2

2

1

1

1

2

2

3

4 sin cos

1

6 tan

cos

1

7 cot

sin

9

1

10 log

ln 1

11 log

ln10

1

12 ln

1 13

a

n

n n

x

x

x

x x

x

x

a x x

x x

x

x

n x





 

 



   

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

2

1

15

2 1

16

19 tan

cos

20 cot

sin

23 log

ln

24 log

ln10

25 ln 26

a

n

n n

u u

u u

u u

u u u

u

u u

a u u u

u u u u u u

n u







 

   

 

 

  

   



 



  

  



 



 



 



 

II Tìm nguyên hàm dựa vào bảng công thức

Sử dụng bảng công thức nguyên hàm :

1

3

2

1

2

1 2

2

1.

3.

1 1

5.

1 2 7.

2 1

1 2

11.

1 1

19 tan

n n

n n

n

x

n

x

x

x

x

x

x

xdx



 









 



 

















2

2

2

2

ln cos

1

cos

1

sin

31.

ln 33.

2

x x

x

x

a

a

  

 



















1

1

2

'

1

1

1

1 2

3

.

.

.

cos(

16 sin

n n

n

n

u

u

a x b

a x b

a x b

a

a

a x b

a a x b

a x b

a x b

a x b dx



 







 



























2

2

2

2

)

1

1

1

a x b

C a

a x b

a

a

a

a

a x

























cot 1

32.

ln 34.

mx n

mx n

mx n

mx n

a a

e

m



















III Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích

1 Hàm hữu tỉ ( )

( )

P x

Q x

  với P x Q x( ), ( ) là đa thức không chứa căn

 Nếu bậc của P x( )bậc của Q x( ) thì Chia đa thức

 Nếu bậc của P x( )bậc của Q x( )thì xem xét mẫu số :

o Nếu mẫu số phân tích được thành tích số , ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp :

 







o Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số ( biến đổi và đưa về dạng lượng giác )

IV.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp sử dụng gián tiếp bảng nguyên

hàm

1 Một số dạng đổi biến loại 1, đặt tu x( )

 I f a x b dx(  )n  pp t a x b  dtadx

m n

n

x







I   f a x  b dx   t a x   b dt  axdx



1 1

1

n



 I f(ln )x 1dx pp t lnx dt 1dx

 I f e e dx( )x x  pp t e xdte dx x

I f x xdx t xdt  xdx

 I f(sin )cosx xdx pp t sinxdtcosxdx

pp

pp

2

2

(sin ;cos )sin 2



2 Một số dạng đổi biến loại 2, đặt x( )t

I   f a  x x dx   x a t  dx  a tdt

2

tan

cos

pp

t

2

sin

pp

2

1

pp n

V.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tíc phân từng phần

1 Nội dung phương pháp udvu v vdu

2 Một số nguyên hàm thường gặp

 Dạng 1:

sin

;

x x

x

e a

Đặt

( )

sin

cos

;

x x

x

e a







   

    



với P x( ) là đa thức

log

x

x

( )

lnx

u

x



 



với P x( ) là đa thức

cos

x

x

x

cos

x

x

x

 









Vấn đề 2: TÍCH PHÂN

( )

u b b

2 Công thức tích phân từng phần. ( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )

b a

u x v x dx  u x v x  u x v x dx

Vấn đề 3: ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

I Diện tích hình phẳng

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn   a b ; , trục hoành và hai đường thẳng xa x; b

( ) 0

b

a

y





 

 



 



2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đò thị hàm số (C1) :y f x( );(C2) :yg x( ) liên tục trên đoạn

  a b ; và hai đường thẳng xa x; b

( ) ( )

b

a





 

 



 



3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C1) :y f x( );(C2) :yg x( ) liên tục trên đoạn

  a b ; và đường thẳng x  a

 Giải phương trình hoành độ giao điểm của ( C1) và ( C2) Phương trình này cho ta nghiệm xb (Giả

sử b  a )

 Diện tích hình phẳng cần tính là:

( ) ( )

b

a





 

 



 



4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C1) :y f x( );(C2) :yg x( ) liên tục trên đoạn

  a b ;

 Giải phương trình hoành độ giao điểm của ( C1) và ( C2) Phương trình này cho ta nghiệm x  a x ;  b

 Diện tích hình phẳng cần tính là:

( ) ( )

b

a





 

 



 



5 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (C1) :x f y( );(C2) :xg y( ) và đường thẳng ya

 Giải phương trình tung độ giao điểm của ( C1) và ( C2) Phương trình này cho ta nghiệm yb

 Diện tích hình phẳng cần tính là:

( ) ( )

b

a





 

 



 



6 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường (C1) :y f x( );(C2) :yg x( );(C3) :yh x( )

 Lần lượt vẽ và tìm giao điểm của (C1);(C2);(C3)

 Phân chia hình ban đầu thành các hình nhỏ 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )

S   S S   f x  g x dx   g x  h x dx

II Thể tích khối tròn xoay

1 Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y f x y( ); 0;xa x; b quanh trục Ox

2

( ) 0

( )

b

a

y







 

 



 



2 Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường x f y x( ); 0;ya y; b

quanh trục Oy

2

( ) 0

( )

b

a

x







 

 



 



3 Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường y f x y( ); g x x( ); a x; b

2 2

( ) ( )

b

a







 

 



 



III Sử dụng tích phân trong chứng minh đẳng thức C n k

1 Công thức khai triển nhị thức Newton

0

n

k



0

n

k



2 Phương pháp

 Viết khai triển Newton của ( a x b )n

 Lấy nguyên hàm hoặc tích phân hai vế theo cận thích hợp

 Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức cần chứng minh

IV Sử dụng tích phân trong bài toán chuyển động

Cho một chất điểm chuyển động với quãng dường là một hàm số theo biến số thời gian t là s t( ) Khi đó :

 Vận tốc của chất điểm là : v t( )s t( )s t( )v t dt( )

 Gia tốc của chất điểm là : a t( )v t( )s t( )v t( )a t dt( )

V Sử dụng tích phân trong bài toán tăng trưởng và phát triển

 Cho hàm số f x( ) biểu diễn cho sự tăng ( giảm ) số lượng của một đối tượng nào đó (số người, vi khuẩn,

vi trùng…)

 Giá trị f x( ) là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm x

 Đạo hàm f x( ) chính là tốc độ tăng hay giảm của đối tượng đó tại thời điểm x

 Số lượng tăng thêm ( hay giảm đi ) của đối tượng trong khoảng x    a b ; là ( )

b

a

f x dx