Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia.. Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà khô
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU………1
1.1 Lí do chọn đề tài……… 1
1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 1
1.4 phương pháp nghiên cứu……….2
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2
2 NỘI DUNG………3
2.1 Cơ sở lí luận………3
2.2 Thực trạng của đề tài……… 3
2.3 Các giải pháp thực hiện……… 3
2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích ……… 4
2.3.2 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số……… 5
2.3.3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần……… 6
2.3.4 Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ……… 7
2.3.5 Xác định tích phân của các hàm số lượng giác………8
2.3.6 Tích phân các hàm số hữu tỉ ……… 9
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối……… 10
2.3.8.Một số tích phân đặc biệt 11
2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm 11
3.KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ ……… 14
3.1 Kết luận……….14
3.2 Kiến nghị……… 14
TÀI LIỆU THAM KHẢO………15
DANH MỤC………15
1 MỞ ĐẦU.
0
Trang 21.1 Lí do chọn đề tài
Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụng các kiến thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải nguyên hàm, tích phân một cách nhanh nhất Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, các khả năng giải các dạng bài tập Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tich cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa giả thiết
và yêu cầu của bài toán Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để giải
một bài toán nhanh nhất Với lý do trên tôi đã chọn chọn đề tài “Một số biện pháp
giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm”
1.2 Mục đích nghiên cứ.
Cùng với các môn học khác, môn toán giúp học phần đào tạo ra những con người lao động mới, có tri thức khoa học, năng động, sáng tạo trong công việc, đóng góp một phần không nhỏ trong thời đại khoa học kĩ thuật đang phát triển như vũ bão hiện nay
Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân rất phong phú và đa dạng, nó cũng dạng toán mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay Thời lượng trong phân phối chương trình thì ít ỏi Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân Giúp các em đạt hiệu quả cao trong
các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Một số
biện pháp giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm”
1.3 Đối tượng nghiên cứu: Cách giải một số dạng nguyên hàm, tích phân.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa
Trang 3nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương pháp và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó Do đó các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa khai thác được hết cách giải Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh giải một cách nhanh nhất một bài toán là rất cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là
kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo sách giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải quyết nhanh được Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân Trong quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được
đề tài “Giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc
nghiệm”
2 NỘI DUNG.
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Dựa vào định nghĩa tích phân Các tính chất của tích phân Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.
Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại được thành từng dạng
2.3 Các giải pháp thực hiện
2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =
n i i
i f x
1
) (
với fi(x) là nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số
Bước 2: Khi đó:
n i
i i i
n i
i f x dx f x dx dx
x
f
1 1
) ( )
( )
Ví dụ 1: Tinh tích phân :
e
dx I
Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
2
Trang 41 = (1 + ex) – ex.
Ta được:
x
x x
x
x
x x
x x x
e
e d dx dx e
e I
e
e e
e e e
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
= x - ln(1 + ex) + C
Ví dụ 2: Tích phân
1 2 0
dx I
A I = 1 B.I ln4
3
C I = ln2 D I = ln2 [1]
Nhận xét :
- Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp thì bài toán này rất khó giải quyết
- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức
2 3
6 5
1
2
b x
a x
x
- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực hiện đồng nhất thức
Ví dụ 3: Giả sử
2
2 ) ( 2
sin 3 sin
4
0
b a xdx
khi đó a+b là
A 16 B 1 C 103 D 15
Ở ví dụ 3 ta thấy rằng muốn tính được nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x = 21 (cosx – cos5x )
Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất
thường là biến đổi tích thành tổng
2.3.2 Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau
Định lý1:
a.Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:
f(u)du = F(u) + C
Trang 5b Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm
’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
f(x)dx = f[(t)].’(t)dt
Định lý 2:
a Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:
) (
) (
)
(
)
(
) ( )
(
b
a
b
a
u F du u
f
b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]
(ii) () = a và ( ) = b
(iii) Khi đó :
b
a
dt t t f dx x f
( ) ' ( ) )
(
[1]
Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
2 2
x
a
t t a x
t t
a x
0 , cos
2 2
, sin
2
x
2 , , 0 , cos
0 , 2
, 2
, sin
t t
t
a x
t t
t
a x
x a
x a x a
x a
, xacos 2t
x ab x x= a + (b – a)sin2t
Hàm f(x, f (x) ) t = f (x)
Hàm f(x) = xa1xb t = xa xb
Hàm f(x) = f(lnnx; 1x ) t = lnx
Ví dụ 1: Tính tích phừn:
1
2
x x
dx
4
Trang 6Giải: Đổi biến số:
xdx tdt x
t x
t 2 1 2 2 1
Ta có:
C x
x
C t
t
dt t
t t
dt t
t
tdt
x x
xdx x
x
dx I
1 1
1 1 ln
2
1
1
1 ln
2
1
1
1 1
1 2
1 1 1
1 1
2 2
2 2
2 2 2
Ví dụ 2: Tính tích phân:
8
3x x2 1
dx I
Giải:
Đặt:
3 8
2 3
1
1
2 2
t x
t x
x
tdt dx t
xdx dx x
x dt x
t
Khi đó:
dt t t
tdt x
x
tdt x
x
dx
1 1
1 2
1 1 1
1
2
2
3 ln 2
1 1
1 ln
2
1
1 ln 1 ln 2
1 1
1 1
1 2 1
3
2
3
2 3
2
t t
t t
dt t t I
[2]
2.3.3 Tínhnguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần
Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: P(x)axdx, P(x)sin(ax +b)dx, P(x)cos(ax + b)dx
đặt: u = P(x)
Dạng 2 : P(x)logaxdx
Đặt u = loga x
Dạng 3: eaxsinbxdx, eaxcosbxdx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax hoặc u = sinbx ;
u = cosbx
Trang 7Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp này:
Ví dụ1 : Tinh tích phân : .
1
) 1 ln(
2
2
dx x
x x x
1 )
1 ln(
2
x
x x
x
Đặt:
1
1 1 1 1
1 ln
2
2 2 2
2
x v
x dx dx x x x du dx x dv
x x u
Đặc biệt: Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm
Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số
f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex Tính a2 + b2 +c2 +d2
A 244 B 247 C 245 D 246
- Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào?
- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :
F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương của các hệ số và chọn đáp án đúng
Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và dẫn
đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm
2.3.4 Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là:
' ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
C x B x G x
F
C x A x G x
F
- Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) =
2
1
[A(x) + B(x)] + C
Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn
6
Trang 8Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =
x x
x
cos sin
sin
Hướng dẫn : Chọn hàm số phụ: g(x) =
x x
x
cos sin
cos
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: f(x) + g(x) =sinsinx x coscosx x
Và tính f(x) - g(x) =
x x
x x
cos sin
cos sin
[3]
2.3.5 Xác địnhnguyên hàm, tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau: a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản
b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác
c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác
d) Phương pháp đổi biến
I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:
-Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.
-Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.
-Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.
-Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi
biến t = tg2x
e) Phương pháp tích phân từng phần
f) Sử dụng nguyên hàm phụ
Ví dụ 1 : Tính:
0
2
2 sin
2
2 sin
dx x
x I
Giải: Nhận xét
) cos , (sin
sin 2
) cos ( sin 2 sin
2
cos sin 2 sin
2
2 sin )
cos ,
x x
R
x
x x
x
x x x
x x
x R
Từ nhận xét ta đổi biến
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx
Đổi cận: x = 0 t = 0;
x = 2 t = -1
Trang 9Ví dụ 2 : Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinx + B thỏa các điều
kiện:
f ' (1) = 2 ;
2
0
f (x)dx 4
A
2 A
B 2
B
2 A
C A 2
B 2
D
2 A
B 2
HD: f ' (x) = A.cosx f ' (1) = - A mà f ' (1) = 2 A = 2
2
0
f (x)dx
2
0
f (x)dx 4
B = 2 [6]
2.3.6 Tích nguyên hàm, phân các hàm số hữu tỉ.
Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:
a) Phương pháp tam thức bậc hai
b) Phương pháp phân tích c) Phương pháp đổi biến
d) Phương pháp tích phân từng phần
e) Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức đổi biến
số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể
Ví dụ 1: Tính tích phân: .
3 4
1
0
2 4
x x
dx I
Giải: Biến đổi:
1 1
1 2
1 3 1
1 3
4
1
2 2
2 2 2
x
Khi đó :
1
0
1
0 2
2
1
x
dx x
dx I
+) Ta đi xác định tích phân
1
0 2 1
1
x
dx I
8
Trang 10Đặt x = tgt, 2 2
t
;
t tg
dt t tg x
dx dt t tg
2 2
2
1
1 1
&
1
Đổi cận: x = 0 t = 0;
x = 1 t = 4
.a
Khi đó:
4
0
4 1
4
t dt I
+) Ta đi xác định tích phân
1
0 2
dx
Đặt x = 3 tgt, 2 t2;
t tg
dt t tg x
dx dt
t tg dx
3
1 ) 1 ( 3
1 3 3
&
1
2 2
2
Đổi cận: x = 0 t = 0;
x = 1 t =
6
Khi đó
3 6 3
1 3
0
6
0 2
Từ đó ta có:
3 6 4 2
1
Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ
trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để tính tích phân :
b
a
dx m x f
I ( , ) ta thực hiện theo các bước sau:
+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b] Từ đố phân đoạn [a, b] thành
các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c1] [c1, c2] … [ck, b]
+) Bước 2: Khi đó ta có :
Trang 11
2
1
1
) , (
) , ( )
, (
c c
b c
c
dx m x f dx
m x f dx m x f I
Ví dụ : Tính tích phân:
1
0
dx a x x
Giải: Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a 1, khi đó ta có:
3
1 2 2
3 )
(
1
0
2 3 1
0
I
Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
3
1 2 3 2 3 2 3
1 2
3
2 3 2
3
) ( )
(
3 3 3 3
3
1 2 3
0
2
3
1
0
a a a a a a
a
ax x ax
x
dx a x x dx a
x
x
I
a
a a a
[4]
2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :
Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp một
số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn , lẻ của hàm số
Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì
0 )
( dx x
Ví dụ 1 :
4
4
5
tan
xdx= 0
Nếu hàm số y = f(x) là hàm chẵn thì
0
) ( 2 )
(x dx f x dx
Và
a
a
dx x f
0
) ( 1
) (
e
x
1
0 4 1
1
4
2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :
Bài 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn
2
1 ) 1 (
.
3
)
(
.
2 f x f x x Giá trị của tích phân
1
0
) ( ' x dx
10