Một số biện pháp giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm

Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia.. Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà khô

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU………1

1.1 Lí do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 1

1.4 phương pháp nghiên cứu……….2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2 NỘI DUNG………3

2.1 Cơ sở lí luận………3

2.2 Thực trạng của đề tài……… 3

2.3 Các giải pháp thực hiện……… 3

2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích ……… 4

2.3.2 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số……… 5

2.3.3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần……… 6

2.3.4 Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ……… 7

2.3.5 Xác định tích phân của các hàm số lượng giác………8

2.3.6 Tích phân các hàm số hữu tỉ ……… 9

2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối……… 10

2.3.8.Một số tích phân đặc biệt 11

2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm 11

3.KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ ……… 14

3.1 Kết luận……….14

3.2 Kiến nghị……… 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO………15

DANH MỤC………15

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài

Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụng các kiến thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải nguyên hàm, tích phân một cách nhanh nhất Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, các khả năng giải các dạng bài tập Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tich cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa giả thiết

và yêu cầu của bài toán Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để giải

một bài toán nhanh nhất Với lý do trên tôi đã chọn chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm”

1.2 Mục đích nghiên cứ.

Cùng với các môn học khác, môn toán giúp học phần đào tạo ra những con người lao động mới, có tri thức khoa học, năng động, sáng tạo trong công việc, đóng góp một phần không nhỏ trong thời đại khoa học kĩ thuật đang phát triển như vũ bão hiện nay

Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân rất phong phú và đa dạng, nó cũng dạng toán mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay Thời lượng trong phân phối chương trình thì ít ỏi Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân Giúp các em đạt hiệu quả cao trong

các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm”

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Cách giải một số dạng nguyên hàm, tích phân.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1

Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương pháp và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó Do đó các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa khai thác được hết cách giải Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh giải một cách nhanh nhất một bài toán là rất cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là

kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo sách giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải quyết nhanh được Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân Trong quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được

đề tài “Giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm”

2 NỘI DUNG.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Dựa vào định nghĩa tích phân Các tính chất của tích phân Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.

Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại được thành từng dạng

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích

Phương pháp chung:

Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:

f(x) =

với fi(x) là nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số

Bước 2: Khi đó:

Ví dụ 1: Tinh tích phân :

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:

1 = (1 + ex) – ex

Ta được:

= x - ln(1 + ex) + C

Ví dụ 2: Tích phân bằng:

A I = 1 B C I = ln2 D I = ln2 [1]

Nhận xét :

- Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp thì bài toán này rất khó giải quyết

- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức

- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực hiện đồng nhất thức

Ví dụ 3: Giả sử khi đó a+b là

A B 1 C D

Ở ví dụ 3 ta thấy rằng muốn tính được nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x = (cosx – cos5x )

Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất

thường là biến đổi tích thành tổng

2.3.2 Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau

Định lý1:

a.Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:

3

f(u)du = F(u) + C.

b Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm

’(t) là những hàm số liên tục, ta được:

f(x)dx = f[(t)].’(t)dt

Định lý 2:

a Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:

b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]

(ii) () = a và ( ) = b

(iii) Khi đó :

[1]

Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

x= a + (b – a)sin2t

Hàm f(x) = f(lnnx; ) t = lnx

Ví dụ 1: Tính tích phừn:

Giải: Đổi biến số:

Ta có:

Ví dụ 2: Tính tích phân:

Giải:

Đặt:

Khi đó:

[2]

2.3.3 Tínhnguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần

Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: P(x)axdx, P(x)sin(ax +b)dx, P(x)cos(ax + b)dx

đặt: u = P(x)

Dạng 2 : P(x)logaxdx

Đặt u = loga x

5

Dạng 3: eaxsinbxdx, eaxcosbxdx

nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax hoặc u = sinbx ;

u = cosbx

Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp này:

Ví dụ1 : Tinh tích phân :

Giải: Ta viết lại I dưới dạng:

Đặt:

Đặc biệt: Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm

Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số

f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex Tính a2 + b2 +c2 +d2

A 244 B 247 C 245 D 246

- Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào?

- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :

F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương của các hệ số và chọn đáp án đúng

Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và dẫn

đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm

2.3.4 Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.

Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).

- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:

- Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) = [A(x) + B(x)] + C.

Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn

Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =

Hướng dẫn : Chọn hàm số phụ: g(x) =

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: f(x) + g(x) =

Và tính f(x) - g(x) =

[3]

2.3.5 Xác địnhnguyên hàm, tích phân của các hàm số lượng giác.

Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau: a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác

c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác

d) Phương pháp đổi biến

I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:

-Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.

-Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.

-Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.

-Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi

biến t = tg

e) Phương pháp tích phân từng phần

f) Sử dụng nguyên hàm phụ

Ví dụ 1 : Tính:

Giải: Nhận xét

Từ nhận xét ta đổi biến

7

Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.

Đổi cận: x = 0  t = 0;

x =  t = -1

Ví dụ 2 : Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinx + B thỏa các điều

kiện:

f ' (1) = 2 ;

HD: f ' (x) = A.cosx  f ' (1) = - A mà f ' (1) = 2  A =

= 2B mà  B = 2 [6]

2.3.6 Tích nguyên hàm, phân các hàm số hữu tỉ.

Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:

a) Phương pháp tam thức bậc hai

b) Phương pháp phân tích c) Phương pháp đổi biến

d) Phương pháp tích phân từng phần

e) Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức đổi biến

số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần

Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể

Ví dụ 1: Tính tích phân:

Giải: Biến đổi:

Khi đó :

+) Ta đi xác định tích phân

Đặt x = tgt, ;

Suy ra:

Đổi cận: x = 0  t = 0;

x = 1  t = a

Khi đó:

+) Ta đi xác định tích phân

Đặt x = tgt, ;

Đổi cận: x = 0  t = 0;

x = 1  t =

Khi đó

Từ đó ta có:

I =

Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ

trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến

2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Để tính tích phân : ta thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b] Từ đố phân đoạn [a, b] thành

các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:

9

[a, b] = [a, c1]  [c1, c2] …  [ck, b].

+) Bước 2: Khi đó ta có :

Ví dụ : Tính tích phân: (a > 0)

Giải: Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu a  1, khi đó ta có:

Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:

[4]

2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :

Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp một

số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn , lẻ của hàm số

Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì

Ví dụ 1 : = 0

Nếu hàm số y = f(x) là hàm chẵn thì

Và

Ví dụ 2 :

[5]

2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :

Bài 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn

Giá trị của tích phân bằng

A 0 B C 1 D

Lời giải Ta có

Từ

Bài 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn f(0) = f(1) = 1

A Q = 2018 B Q = 2 C Q = -2 C Q = -2018

Lời giải: Ta có

Bài 3 Cho Tính tích phân

A I = 1 B I = 2 C I = 4 D I = 5

Lời giải Đặt Suy ra

Đổi cận:

Bài 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

11

Khi đó

= 10+f(0)=13 Chọn đáp án D

Bài 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;1], thỏa mãn

với mọi x trên [0;1] Tính

Lời giải Từ giả thiết , nhân 2 vế với ta được

Suy ra

Thay x = 0 vào ta có C = 0

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

2.4.1 Với hoạt động giáo dục: Tôi đã sử dụng những phương pháp giải các bài nguyên

hàm ,tích phân này vào giảng dạy thấy đa số học sinh hiểu bài và vận dụng một cách linh hoạt, dễ dàng khi giải toán, kết quả giải bài tập chương này tăng lên rõ rệt

Năm

Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến

Số lượng Tỷ lệ

Số lượng Tỷ lệ

Số lượng Tỷ lệ

2016-2017

2.4.2 Với bản thân : Trong quá trình giảng dạy khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm

vào dạy thì tôi đã dẫn dắt học sinh áp dụng bài tập một cách nhanh chóng, định hướng

2.4.3Với đồng nghiệp : Trong quá trình sinh hoạt chuyên môn tôi cũng đưa ra sáng

kiến kinh nghiệm của mình, đã được đồng nghiệp trong tổ đón nhận và đóng góp ý kiến để bài dạy được sâu sắc hơn, hoàn thiện hơn

2.4.4 Với nhà trường: Với sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong

trường nói chung và của bản thân tôi nói riêng cũng đã đóng góp một phần nhỏ để chất lượng nhà trường ngay càng đi lên

3 Kết luận và kiến nghị:

3.1 Kết luận: Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá

trình dạy và học đối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với học sinh trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia hiện hành Theo tôi khi dạy phần toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán

và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn

3.2 Kiến nghị :

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập

Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến do mình viết, không coppi, không sao chép.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Người viết sáng kiến

Lê Thị Hằng

13