Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn đó.[r]
Trang 1Theo chương trình thay sách – giáo khoa năm đầu tiên 2009 1) Đề thi và lời binh Đại học môn Toán khối A ngày 4 /7 /2009
Biên soạn : Phạm Quốc Khánh
Trang 2I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7 điểm)
Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số y = 2x + 3 x + 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1) , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại 2 điểm A , B và tam giác OAB cân có đỉnh tại O
Lời bình
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số đã cho
MXĐ : D = R\{-3/2}
y’
2
1
=
x < 0 x ≠ -3/2 nên hàm số luôn nghịch biến trên
D
lim ; lim
x = -3/2 là tiệm cận đứng
lim ; lim
y = 1/2 là tiệm cận ngang
Trang 3Bảng biến thiên :
x
y’
y
1/2
-
+
1/2 +
Giao điểm với trục tọa độ : 0;2 ; 2;0
3
Đồ thị:
o
y
2/3
3 2
1 2
2) Viết phương trình tiếp tuyến
Vì OAB cân tại O nên tt song song với y = ± 1 nên Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là :
0
1
x
y
x
2
4x 12x 9 1
0
1 2
x x
0 0
1 0
y y
Vậy phương trình tiếp tuyến với © : y – y0 = y’ (x – x0)
1 1 1
1 2
2
y x Loai
y x
Trang 4Câu 2 : (2 điểm)
1 ) Giải phương trình :
3
2 ) Giải phương trình : 2 33 x 2 3 6 5 x 8 0 x R
Giải
3
1
2
x
cos x 2sin cos x x 3 1 sin x 2sin x
2 2
2
Đk :
Trang 52) Giải phương trình :
Đk : 6 – 5x ≥ 0 6
5
x
Đặt t 3 3x 2 t3 3x 2 và
3
8 5
6 5
3
t
Thay vô phương trình : 2 3 8 5 3 8 0
3
t
3
8 5
3
t
t
4
15 4 32 40 0
t
3
3 2 3
t
2
2
Trang 6Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân :
Giải
/2
0
2
4 1
0
. I cos cos x x dx
0
1 sin x .cos x dx
0
1 2sin x sin x .cos x dx
Đặt t = sinx dt = cosx.dx
1 2
x t
1
2 4 1
0
1 2
1
0
2 1
3 5
t t t
8 15
2
2 2
0
. I cos x dx
2
0
1 cos 2
2
x dx
2
0
1
1 cos 2
0
sin 2
2 x 2 x
Vậy 8
Trang 7Câu 4: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ;
AB = AD = 2a ; CD = a , góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 9 Gọi I
là trung điểm của cạnh AD Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
A
B
D
\\
\\ 2a
2a
a C I
E
600
Thể tích VS.ABCD 1
.
3 SABCD SI
Vì (SBI)(SCI) = SI và vuông góc với
(ABCD) nên SI (ABCD)
SBC ABCD ; SEI 600
SI = IE tg600
Gọi F trung điểm BC
F
3
Kẻ CH IF
H
CH = ID = a Vậy
2
IFC
CF2 = HC2 + HF2
2
CF a a
Do đó V 1
.
3 SABCD SI
AB DC
AD IE tg
3
5
a
Trang 8Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ; y ; z thõa mãn
x.(x + y + z) = 3yz Ta có :
Giải
x y 3 x z 3 3 x y x z y z 5 y z 3
1 y z 3 .y z
x x x x
3
1 3 3
u v t
t u v
2
3t 4t 4 0
t 2 3 t 2 0 t 2
Bất đẳng thức đã cho chia 2 vế cho x3 Ta có :
1 u3 1 v3 3 1 u 1 v u v 5u v3
2 t3 3 1 u 2 1 v 3 1 u 1 v2 3 1 u 1 v t 5t3
Từ x(x + y + z) = 3 yz
Đặt : Ta có :
2 t3 6 1 u 1 v 5t3
2 t3 6 1 u v uv 5t3
2 3 6 1 1 5 3
3
t
t t t
4t 6t 4t 0 t t2 1 t 2 0
Điều này xảy ra với mọi t ≥ 2 đpcm
Trang 9Gọi z 1 ; z 2 là 2 nghiệm phức của phương trình : z 2 + 2 z + 10 = 0
Tính giá trị của biểu thức :
II - PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)
Câu 6a : (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
Có điểm I(6 ; 2) là giao của 2 đường chéo AC và BD Điểm M(1 ;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB
1 Chương trình chuẩn :
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
(P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y – 6z - 11 = 0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm
và bán kính đường tròn đó
Giải Câu 6a : (2 điểm)
1) Viết phương trình đường thẳng AB
Câu 7a : (1 điểm) :
C D
I
M
E
E E ( n; 5 – n)
IE n 6;5 n 2 AB
F
Trang 10Gọi F trung điểm AB 2
:
2
F
F F
MF 12 n 1 ;n 1 5 11 n n; 6 IE
MF IE 0 11 n n 6 n 6 3 n 0
7
n
n
5
4 1
.
y
2) Tọa độ tâm và bán kính đường tròn
Tâm cầu và bán kính cầu I(1;2;3) R = 5
Tính khoảng cách từ I đến mp (P) : . ; 2.1 2.2 3 4 3 5
4 4 1
mp(P) cắt mặt cầu theo 1 hình tròn
Pt đt qua I vuông góc với (P) :
1 2
3
Giao (P) = T là tâm tròn
T (P) 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 t = 1 T(3 ; 0 ; 2)
Bán kính tròn r = . R2 IT2 2 5 9 4
Trang 112 Chương trình nâng cao :
Câu 6b : (2 điểm) 1) Trong hệ Oxy , cho đường tròn © và đường thẳng có ptr :
C : x2 y2 4 x 4 y 6 0 : x my 2 m z 0
Với m là tham số thực Gọi I là tâm đường tròn © Tìm m để cắt © tại 2 điểm phân biệt A ; B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
2) Trong không gian với hệ Oxyz Cho mp (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đthẳng :
Câu 7b : (1 điểm) Giải hệ phương trình :
Xác định tọa độ điểm M 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mp(P) là bằng nhau
x y R
Câu 7a : (1 điểm) :
Tính A =
Trang 12Câu 6b (2 điểm) 1) Tìm m ?
© : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 có tâm I(-2 ; -2) và bán kính R = 22 22 6 2
Theo bài ra có AIB :
I
A
B
H
1
.sin 2
AIB
Vậy diện tích AIB lớn nhất khi sin AIB = 1 hay :
AIB vuông tại I và có : IH sin AIH sin 450
2
1 4
1 1
m m
2
15
m
2) Tìm tọa độ điểm M ?
M M t t; ; 9 6 t
qua A vtcp a AM t t 6 t 8
Xét : .AM a 14 8 ;14 t t 20;4 t
Ta có : d M ; 2 d M P ; 261t2 729t 612 11t 20
2
1 53 35
t t
Vậy có :
0;1; 3
18 53 3
35 35 35
M M
Trang 13Câu 7b : (1 điểm) Giải hệ phương trình :
x y R
Đk x > 0 ; y > 0
4
x y R
4 4
xy
xy
2 2