Đáp án đề thi đại học toán khối A năm 2009

Tài liệu tham khảo đề thi và đáp án đề thi đại học khối A từ năm 2003 đến năm 2010

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009

Môn: TOÁN; Khối A

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

1 (1,0 điểm) Khảo sát…

• Tập xác định: \ 3

2

⎨ ⎬

⎩ ⎭

\

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

1

2 3

x

−

Hàm số nghịch biến trên: ; 3

2

⎛−∞ − ⎞

⎝ ⎠ và

3

; 2

⎛− +∞⎞

⎜ ⎟

- Cực trị: không có

0,25

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1

2

→−∞ = →+∞ = ; tiệm cận ngang: 1

2

y=

→ −⎜ ⎟ → −⎜ ⎟

= −∞ = +∞ ; tiệm cận đứng: 3

2

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến…

Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng ± 1 0,25

Gọi toạ độ tiếp điểm là ( ; )x y , ta có: 0 0 2

0

1

1 (2x 3)

−

= ± + ⇔ x0= − hoặc 2 x0 = −1 0,25

• x0= −1, y0=1; phương trình tiếp tuyến y= − (loại) x 0,25

I

(2,0 điểm)

• x0= −2, y0=0; phương trình tiếp tuyến y= − − (thoả mãn) x 2

Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y= − −x 2

x −∞ 3

2

− +∞

y' − −

y

1 2

−∞

+∞

1 2

y

x O

1 2

y=

3 2

x= −

0,25

1 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Điều kiện: sinx≠ và 1 sin 1

2

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 2sin )cos− x x= 3(1 2sin )(1 sin )+ x − x

⇔ cosx− 3 sinx=sin 2x+ 3 cos 2x ⇔ cos cos 2

⎛ + ⎞= ⎛ −

⎞

⎟

⎠

0,25

2

x= +π k π

x= −π +k π

0,25

Kết hợp (*), ta được nghiệm: 2 ( )

x= −π +k π k∈]

0,25

2 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Đặt u=33x− và 2 v= 6 5 ,− x v≥ (*) Ta có hệ: 0 2 3 3 28

+ =

⎧

⎨

8

⇔

8 2 3

u v

−

⎧ =

⎪

⎨

⎩

⇔

2

8 2 3 ( 2)(15 26 20) 0

u v

−

⎧ =

⎪

⎨

⎩

0,25

II

(2,0 điểm)

Tính tích phân…

III

Đặt t sin ,x cos ;

(1,0 điểm)

2

1

0,50

2 2

π

15 4

I = −I I = −π 0,25

Tính thể tích khối chóp

(SIB) (⊥ ABCD) và (SIC) (⊥ ABCD ;) suy ra SI⊥(ABCD)

Kẻ IK ⊥BC (K BC∈ ) ⇒ BC⊥(SIK) ⇒ nSKI = 60 D

0,50

Diện tích hình thang ABCD : S ABCD =3 a2

Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng

2 3

; 2

a

suy ra

2 3 2

IBC

a

IV

(1,0 điểm)

5

5

IBC

IK BC

Δ

S

5

a

Thể tích khối chóp S ABCD :

3

a SI

0,25

I

C

Chứng minh bất đẳng thức…

Đặt a x y b x z= + , = + và c y z= +

Điều kiện (x x y z+ + =) 3yz trở thành: c2=a2+b2−ab

a +b + abc≤ c a b c, ,

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

3 3 3 5 ; 3 dương thoả mãn điều kiện trên

0,25

4

4 a b+ ⇒ a b+ ≤2c(1) 0,25

a +b + abc≤ c a b a+ ( +b −ab) 3+ abc≤5c3

⇔ ( ) 2 2

⇔ (a b c+ ) 2+3abc≤5c3

⇔ (a b c+ ) +3ab≤5c2

0,25

V

(1,0 điểm)

(1) cho ta: (a b c+ ) ≤2c2 và 3 2 2

) 3 ; 4

3 ( từ đây suy ra điều phải chứng minh

1 (1,0 điểm) Viết phương trình AB

Gọi N đối xứng với M qua suy ra I, N(11; 1− và N thuộc đường thẳng ) CD 0,25

VI.a

(2,0 điểm)

E∈ Δ ⇒ E x( ;5−x); IEJJG=(x−6;3−x) và JJJGNE=(x−11;6−x)

E là trung điểm CD ⇒ IE⊥EN

IE EN=

JJG JJJG

⇔ (x−6)(x−11) (3+ −x)(6−x) 0= ⇔ x= hoặc 6 7

x=

0,25

• x=6 ⇒ IEJJG=(0; 3 ;− ) phương trình AB y: − = 5 0 0,25

• x=7 ⇒ IEJJG=(1; 4 ;− ) phương trình AB x: −4y+19 0.= 0,25

2 (1,0 điểm) Chứng minh ( )P cắt ( ),S xác định toạ độ tâm và tính bán kính…

( )S có tâm I(1;2;3), bán kính R= 5

Khoảng cách từ đến I ( ) :P d I P( ,( ))= 2 4 3 4 3

− − −

= < suy ra đpcm 0,25

Gọi H và lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, r

H là hình chiếu vuông góc của trên I ( ) :P IH d I P= ( ,( ))=3, r= R2−IH2 = 4 0,25

Toạ độ H=( ; ; )x y z thoả mãn:

1 2

2 2 3

= +

⎧

⎪ = −

⎪

⎨ = −

⎪

⎪ − − − = .

⎩

0,25

Tính giá trị của biểu thức…

2

36 36 ,i

VII.a

(1,0 điểm)

1

| |z = −( 1) +3 = 10 và 2 2

2

A

I

C

2 2

| | | | 20

1 (1,0 điểm) Tìm m

Diện tích tam giác IAB: 1 sinn

2

1;

2R = lớn nhất khi và chỉ khi S IA IB⊥ 0,25

Khi đó, khoảng cách từ đến I Δ: ( , ) 1

2

R

2

1 1

m

=

⇔ (1 4− m)2 = +1 m2 ⇔ m=0 hoặc 8

15

2 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M

2

Δ qua A(1;3; 1)− và có vectơ chỉ phương uG=(2;1; 2).−

1

M∈Δ ⇒ ( 1 ; ; 9 6 ).M − +t t − + t

(2 ;3 ;8 6 ),

MA= −t −t − t ⎡MA u, ⎤ (8t 14;20 14 ;t t 4)

JJJG

JJJG G

⇒ ⎡⎣MA uJJJG G, ⎤⎦ =3 29t2−88t+68

0,25

2

,

u

JJJG G

Khoảng cách từ M đến ( ) :P ( )

( )2

1 2 12 18 1 11 20

3

+ − +

0,25

29 88 68

3

t

− + = ⇔ 35t2−88t+53 0= ⇔ t= hoặc 1 53

35

VI.b

(2,0 điểm)

1

t= ⇒ M(0;1; 3);− 53

35

t= ⇒ 18 53 3; ;

35 35 35

Giải hệ phương trình…

VII.b

Với điều kiện xy>0 (*), hệ đã cho tương đương: 2 2

2 4

⎪

⎨

(1,0 điểm)

2 4

x y y

=

⎧

⎨

=

y

=

⎧

⎨ = ±

⎩

( ; ) (2;2)x y = ( ; ) ( 2; 2).x y = − −

-Hết -