Chuyên đề về Đạo hàm

* Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc  khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan  sau đó tìm tiếp điểm M0x0; y0 bằng cách giải phương trình f/x0 = k và viết phương trình tiế[r]

I Kiến thức cơ bản.

1 Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản.

Hàm số

cos x

sin x



x

x

2 Đạo hàm của hàm hợp.

Ta xét hàm số y = f(u(x)) Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x như sau

yx'  fx'  f uu'. x'

Bảng đạo hàm của hàm số hợp

cos u

' u u

sin u



' u u

'

a u u

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u

rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x

3 Các phép toán đạo hàm.

Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x) Khi đó

*) (u + v)’ = u’ + v’

*) (u - v)’ = u’ – v’

*) (uv)’ = u’v + v’u

*) (ku)’ = k.u’ ( k là hằng số)

*)

'

2



  

 

 

4 Đạo hàm bậc cao của hàm số.

Đạo hàm bậc n của hàm số y = f(x) là đạo hàm bậc 1 của đạo hàm bậc n – 1 của hàm số y = f(x) ( n > 1)

II Các dạng toán cơ bản.

1 Dạng 1 Tính đạo hàm của hàm số.

Phương pháp Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp Nếu

yêu cầu tính đạo hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đe được kết quả

Ví dụ 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

a) y x  3 2 x2  3 x  4 b) y  sin x  cos x  tan x

c) y x  4  2 x d) y  cot x  3 x  2

Giải

2

1 sin cos tan cos sin

cos

x

x

2

1

sin

x

Ví dụ 2 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tương ứng.

a) y    x3 3 x2  4 x  1 tại x0 = -1

b) y  sin 2 x  cos x tại 0

4

 

c) y  x  2 x tại x0 = 2

Giải

y    x x  x    x  x  y'( 1)        3 6 4 13

sin 2 cos 2cos 2 sin

2cos sin

2

x

Ví dụ 3 Tính đạo hàm các hàm số sau

2

x y

x







2 3 1 1

y

x





4 3 2 2

y x   x  d) y  sin(2 x   1) cos(1  x ) e) y  3 x  2

f)y  x2  4 x  1 g) y  tan( x2 2 x  1)

Giải

' '

y



b) Ta có

'

'

y

sin(2 1) cos(1 ) 2cos(2 1) sin(1 )

e) Ta có  '

x



4 1

g) Ta có

' 2

'

2 2

tan( 2 1)

cos ( 2 1) 1

2

x

x x x





2 Dạng 2 Giải phương trình y’ = 0.

Phương pháp Ta tính y’ sau đó giải phương trình y’ = 0

Ví dụ 1 Giải phương trình y’ = 0 biết.

2 1

x y

x





3 3 2

y x   x y  4 x3 12 x2  9 x  1

2 2 2 1

y

x





2 3 3 1

y

x





4

2 5 3

x

g) y    x4 2 x2  3 h) 2 2 i)

1

y

x

 





2 2 1

y x







Giải

'

'

2

2

y

   

2

2

0 2

2 1

x

x x







          

Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2

b) Ta có '  3 2' 2 suy ra

2

x

x





       

Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2

3 2

1 2

x

x

 



 



Vây phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 3 1

,

d) Ta có

'

'

2

y

suy ra

2

2

0 2

2 1

x

x x







           

Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2

e) Ta có

'

'

2

y

suy ra

2

2

0 2

2 1

x

x x







           

Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2

f) Ta có

' 4

x

      

3

x

x





 



Vậy phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt x  0, x   3

y    x x    x  x

Suy ra y'    0 4 x3  4 x    0 x 0

Vậy phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0

h) Ta có

'

'

2

y

Suy ra

2

2

1

2 3

3 1

x

x x

 



 

Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3

i) Ta có

'

'

2

y

Suy ra

2

2

2

x

x

x









Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2

,

3 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.

Phương pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lượng giác.

Ví dụ 1 Chứng minh rằng

a) y’ – y2 -1 = 0 với y = tanx

b) y’ + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x

c) y’2 + 4y2 = 4 với y = sin2x

Giải

a) Ta có ' 12

cos

y

x



Khi đó

' 2

0

Vậy ta có điều cần chứng minh

b) Ta có ' 22

sin 2

y

x

 

2 2 sin 2 cos 2

2 2cos 2

x

Vậy ta có điều cần chứng minh

c) Ta cóy’ = 2cos2x

4 4cos 2 4sin 2 4

Vậy ta có điều cần chứng minh

III Bài tập tự luyện.

Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

1

y

x

 





2 2 2 1

y

x





2 3 1

y x





 d) y x  4  x2  1 e) y  2 x3 3 x2  1f) y  2 x3 3 x2  1

Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau

1

x y

x







3 3 2 2

1

x y x





2

x y

x

 





2

y

x





y   x  x 

Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tương ứng

2 3 3 1

y

x



 b) y x  4  5 x2  4 tại điểm x0 = 2

3

Bài 4 Giải phương trình y’ = 0 trong các trường hợp sau

2 3 3 1

y

x





2

1

x y

x





 

3 3 2 2

y x   x  d) y x  4  5 x2  4 e) y   2 x4  x2  4 f) y    x3 3 x  2

I Kiến thức cơ bản.

1 Tiếp tuyến tại một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 là một điểm thuộc vào TXĐ của hàm số trên

và tồn tại đạo hàm tại đó Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại điểm

(x0; f(x0)) có phương trình là y = y/(x0)(x-x0) + f(x0)

Nhận xét: ở trên ta có y / (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến Ta cần tìm được hệ số góc và tiếp điểm trong trường hợp này nếu muốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong nào đó Các bài tập hay gặp trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng nào đó.

2 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.

Cho hai hàm số y = f(x) (C1), y = g(x) (C2)

Khi đó (C1) tiếp xúc với (C2) khi và chỉ khi hệ phương trình ( )' ( )' có nghiệm

( ) ( )











Chú ý:

+ Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) là hai đường cong thì chúng tiếp xúc với nhau tại hai điểm khi hệ trên có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu một trong hai đường là đường thẳng thì để có hai tiếp tuyến ta cần hệ trên có hai nghiệm phân biệt

II Dạng toán cơ bản.

1 Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

Phương pháp: Ta cần tìm được toạ độ tiếp điểm dựa vào các dữ kiện bài toán đã cho.

Nhận xét: Trong dạng này ta thường gặp các trường hợp sau

+ Cho biết tọa độ của tiếp điểm

+ Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm được hoành độ tiếp điểm + Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm được tung độ tiếp điểm

+ Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác Khi đó ta cần giải hệ phương trình để tìm toạ độ của tiếp điểm

2 Dạng 2 Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phương trình tiếp tuyến với (C)

đi qua điểm M(xM; yM)

Phương pháp:

Cách 1: Tìm tiếp điểm

Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0) Khi đó tiếp tuyến cần tìm có

phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0)

Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(xM; yM) suy ra yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải phương trình này ta tìm

được hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1

Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Giả sử đường thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k khi đó nó có phương trình

y = k(x-xM) + yM

Ta có đường thẳng y = k(x-xM) + yM là tiếp tuyến của đường cong (C) ( )/ ( )

( )



 





giải hệ này ta tìm được hoành độ của tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

Nhận xét: ở trên có bao nhiêu nghiệm x ta có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M.

3 Dạng 3 Tiếp tuyến cho trước hệ số góc:

Phương pháp.

Cách 1 Tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0) Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0)

Khi đó theo giải thiết ta có f/(x0) = k Giải phương trình này ta tìm được hoành độ tiếp điểm sau đó tìm

y0 = f(x0) rồi viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1

Nhận xét: Trong dạng này ta có thể gặp các bài tập như sau:

*) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k = 1 sau tìm

a

 tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan sau  

đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b một góc khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn 

hoặc chúng ta dùng tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó

tan

1

k a

 



tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

III Ví dụ.

Ví dụ 1: Cho hàm số y  f x ( )  x3  2 x2   x 4 ( ) C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết a) Hoành độ tiếp điểm lần lượt là -1; 3; 2

b) Tung độ tiếp điểm lần lượt là -4

c) Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành.

Giải

TXĐ: D  

Ta có y/  f x/( ) 3  x2  4 x  1

a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; f x/( )0  f /( 1) 0   suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4

Với hoành độ tiếp điểm x0 = 3 ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; f x/( )0  f /(3) 40  suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76

b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - 4 ta có x0 = -1 hoặc x0 = 0

Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có f x/( )0  f /( 1) 0   suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có

phương trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4

Với x0 = 0 ta có f x/( )0  f/(0) 1  suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(0)(x+1) –

4 hay y = x – 3

c) Giao điểm của (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình

y   x  x     x x  x  x     x

Khi đó f /(1) 8  suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phương trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x – 8

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f x ( )  x3  m x (   1) 1 (Cm) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích bằng 8

Giải

TXĐ: D  

Ta có (Cm) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m)

Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m

/ /( ) 3 2

y  f x  x  m

Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm 1 suy ra

( m ; 0) ( 0)

m

2

| | | | |1 | | | 8 16 | | 2 1

m

m







Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB Vậy với

thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8

9 4 5

7 4 3

m

m

  



 



Ví dụ 3: Cho hàm số y  f x ( )  x3  3 ( ) x C2 viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

3

y  x

Giải

TXĐ: D   Ta có y/  f x/( ) 3  x3 6 x

a) Gọi A(xA; yA) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có

3

A

A

x

x

 





Với xA   1 ta có yA   4 khi đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) – 4 hay

y=9x+5

Với xA = 3 ta có yA = 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x – 27

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là k = 9 là

y=9x+5 và y= 9x – 27

b) Gọi M(xM ;yM) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.

Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng 1 suy ra hệ số góc của nó là

3

y  x

k = -3 (Làm tương tự như phần a)

Ví dụ 4: Cho hàm số y  2 x3  3 x2  12 x  5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp sau

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4

b) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 1 một góc 450

5 2

Giải

TXĐ: D   Ta có y/  6 x2  6 x  12

a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6

Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Khi đó ta có

0

0

1 13 2

1 13 2

x

x











Với 0 1 13 ta có khi đó tiếp tuyến cần tìm là

2

0

20 13 23 2

Với 0 1 13 ta có khi đó tiếp tuyến cần tìm là

2

0

7 13 23 2

b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đường thẳng 1 một góc 450 suy ra hệ số góc của tiếp

5 2

tuyến là k thoả mãn

0

2 1 2

2 1

2

2

k







  

sau đó làm tương tự như phần a (Tìm tiếp điểm)

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y  2 x3 3 x2  5 đi qua điểm 19 ; 4

12

Giải

Giả sử đường thẳng đi qua 19 có hệ số góc k, khi đó nó có dạng (d)

; 4 12

19 4 12

Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghịêm

2

19

12







Thay (2) vào (1) ta có

3 2 2 2 3 2

2

19

12

1

1 8

x

x



 











Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm 19 ( Tự viết phương trình tiếp tuyến)

; 4 12

Ví dụ 6 Cho hàm số y x  3  3 x2  3 x  5 ( ) C

a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx + m

Giải

a) Giả sử trên (C) có hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau

Ta có y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x+1)2

Khi đó ta có

vô lý

-1 = y'(x ).y'(x ) = 9.(x +1) (x + 1) 0     1 0

Suy ra giả sử là sai hay ta có điều cần chứng minh

b)

Ví dụ 7 Cho hàm số y = x1 3 - x2 có đồ thị (C)

3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(3; 0)

Giải

Đường thẳng (∆) đi qua A(3; 0) và có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3)

+) (∆) là tếp tuyến với (C)

Hệ có nghiệm



2

3 2

k = x 2 (1)

1

x ( 3) (2)

3

x

Thế (1) vào (2): 1 3  2  2  

( 2 )( 3)

2x3 -12x2 + 18x = 0

 



0 3

x x

+) Với x1 = 0  k1 = 0  PTT2: y = 0

+) Với x2 = 3  k2 = 3  PTT2: y = 3x - 9

Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán

y = 0 và y = 3x – 9

Ví dụ 8 Tìm a để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với (P) : y = x2 + a

1

y

x

 





Giải

Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (C) với (P)



 

 



2 2 2

2

2x = (1) ( 1)

1

(2) 1

x x

x

Hệ có nghiệm

Giải (1) x = 0 Thế vào (2)  a = - 1

Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P).

Ví dụ 9 Cho đường cong   (C)





2 2 2 1

y

x

Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này

vuông góc với nhau

Giải:

Gọi M(a; 0)  Ox; ∆ là đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)









2

1

1 (1) ( 1) (I)

1 ( ) 1 (2)

1

k

x

x







1 ( 1) 1 (1)

1 1 ( ) 1 (2)

1

x

x



(3)

x

Kết hợp (3) và (1) ta có:









1 (1 )

4

k

k

(4)  k2(1 - a)2 + 4k - 4 = 0

Từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) Hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và

k1.k2 = -1

         

 

1

a 1 4

1 a = - 1, a = 3 (1 )

a

a

Vậy các điểm cần tìm là (-1; 0); (3; 0)

Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tương đương mà chỉ có a và k Nhận thấy nếu tính được

theo a và k thay vào phương trình (1) thì được một hệ mới tương đương trong đó có một



1

1

x

phương trình chỉ chứa a và k từ đó ta có phép biến đổi như trên và cách giải này là ngắn gọn

Ví dụ 10 Cho đường cong    (C)



2 2 2 1

y

x

Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

Giải:

(∆) là đường thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (∆): y = k(x - a) + b

  





     



2

1

1 (1) ( 1)

1 ( ) 1 (2)

1

k

x

x





     



1 ( 1) 1 (3)

1 1 ( ) 1 (4)

1

x

x



2

(1 )



x

Kết hợp (5) và (1) ta có hệ











2

1 (1 )

2

k

k

( k 1 vì từ (1) nếu k = 1 thì x, hệ vô nghiệm.) 

   

1 (1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (7)

k

Vì từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và

k1.k2 = - 1















2 2

1 4

1 (8) 1

(1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (9)

a b a







   



   



2 2

1 (1 ) 4 (10) (I)

1 0 (11)

a

a b

Thế (10) vào (9): 2[(1 - a)b + 2] 0  (1 - a)b + 2 0

Từ (10) (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = 4 + 2(1 - a)b

(1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b)



Vì 2+ (1 - a)b 0  1 - a + b 0.