Chuyên đề 5 Đạo Hàm - Toán 11 có giải chi tiết

Bộ chuyên đề Toán 11 gồm Tóm tắt lý thuyết, hệ thống bài tập trắc nghiệm có giải chi tiết.Chuyên đề 5: ĐẠO HÀM+ Chủ đề 1: ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM.+ Chủ đề 2: CÁC QUY TẮC ĐẠO HÀM.+ Chủ đề 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.+ Chủ đề 4: VI PHÂN ĐẠO HÀM CẤP CAO.+ Chủ đề 5: TIẾP TUYẾN.+ Chủ đề 6: ÔN TẬP CHƯƠNG 4.

Trang 1

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM.

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):

= (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

2 Đạo hàm bên trái, bên phải

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc

đồng thời tồn tại đạo hàm trái và đạo hàm phải

4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Nếu hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm nhưng hàm đó

không có đạo hàm tại

Hướng dẫn giải:

Trang 2

Chọn C

Câu 3 Cho hàm số có đạo hàm tại là Khẳng định nào sau đây sai?

Trang 3

A B C D

Chọn A

Với số gia của đối số x tại Ta có

Câu 7 Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 là

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0

Trang 5

có đạo hàm tại khi và chỉ khi liên tục tại

Câu 14 Số gia của hàm số ứng với x và là

(1) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó

(2) Nếu hàm số liên tục tại điểm thì có đạo hàm tại điểm đó

(3) Nếu gián đoạn tại thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó

Trong ba câu trên:

A Có hai câu đúng và một câu sai B Có một câu đúng và hai câu sai

Chọn A

(1) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó Đây là mệnh đề đúng

(2) Nếu hàm số liên tục tại điểm thì có đạo hàm tại điểm đó

Phản ví dụ

Trang 6

Lấy hàm ta có nên hàm số liên tục trên

Nhưng ta có

Nên hàm số không có đạo hàm tại

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai

(3) Nếu gián đoạn tại thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có không liên tục tại thì có đạo hàm tại điểm đó

Vậy (3) là mệnh đề đúng

Câu 16 Xét hai câu sau:

(1) Hàm số liên tục tại

(2) Hàm số có đạo hàm tại

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (2) đúng B Chỉ có (1) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của khi

Vậy hàm số không có đạo hàm tại

Câu 17 Cho hàm số Xét hai câu sau:

(2) Hàm số trên liên tục tại

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai

Trang 7

Vậy hàm số không có đạo hàm tại

Hàm số liên tục tại nên Ta có

Hàm số có đạo hàm tại nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta có

Trang 9

Nên

Do đó

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm

Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại thì phải liên tục tại điểm đó

Trang 10

4 Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

Trang 14

x 

nên

12

Trang 16

Câu 24 Cho hàm số Với giá trị nào của thì ?

không tồn tại đạo hàm tại

Câu 26 Cho hàm số Giá trị bằng:

Trang 17

Đáp án D

Ta có

Suy ra không tồn tại

Câu 29 Cho hàm số Giá trị là

Trang 19

với là số nguyên dương ; ;

Trang 22

Câu 23 Tính đạo hàm của hàm số

Trang 25



Trang 26

11

Trang 27

x x y

x x

4 9 ( 2)

Trang 33

1 2

x x

Trang 35

Câu 74 Đạo hàm của hàm số là

Trang 37

Câu 82 Hàm số xác định trên Có đạo hàm của là:

Trang 38

Câu 85 Cho hàm số Để tính , hai học sinh lập luận theo hai cách:

Câu 86 Cho hàm số Ta xét hai mệnh đề sau:

Trang 39

Câu 88 Đạo hàm của hàm số là

Trang 41



Trang 43

Đáp án D

Bước đầu tiên sử dụng với

Trang 44

Đáp án A

Đầu tiên áp dụng với

Câu 102 Tính đạo hàm của hàm số (áp dụng u chia v đạo hàm)

Trang 45

Đầu tiên áp dụng với

Đáp án D

Bước đầu tiên áp dụng với

Trang 46

Vậy hàm số có đạo hàm tại và

Trang 47

Với thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên hàm số có đạo hàm tại

Ta có

Hàm số liên tục trên

Khi đó:

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Trang 48

DẠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN GIẢI PT, BPT

Câu 1 Cho hàm số Phương trình có nghiệm là:

Trang 50

1( )

x x

Trang 51

Câu 15 Cho hàm số y 4x2 Để 1 y0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

Trang 52

Câu 19 Cho hàm số

5 1( )

Trang 54

thì (1) trở thành: đúng với

, khi đó (1) đúng với

Vậy là những giá trị cần tìm

Trang 55

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Trang 57

Câu 6 Cho hàm số Giá trị bằng:

Câu 9 Cho hàm số Tính bằng:

Chọn D

Trang 58

Ta có

Câu 10 Cho hàm số

1( )

Trang 62

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:

Câu 5 Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?

A Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

B Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

C Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

D Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

Trang 63

Câu 7 Đạo hàm của hàm sốy3sin 2xcos3xlà:

A y3cos2x sin 3 x B y3cos2xsin 3 x

C y6cos 2x 3sin 3 x D y6cos 2x3sin 3 x

Trang 71

( 1) cos 2 2

Trang 73

Trang 83

Câu 82 Tính đạo hàm của hàm số sau

A Hàm số không có đạo hàm tại B Hàm số không liên tục tại

Trang 87

Câu 13 Cho hàm số Vi phân của hàm số là:

Trang 89

 

 Vi phân của hàm số là:

A

2 2

Trang 90

Câu 26 Cho hàm số ysin(sin )x Vi phân của hàm số là:

A dycos(sin ).sin dx x x B dysin(cos )dx x

C dycos(sin ).cos dx x x D dy cos(sin )dx x

và hàm số không có vi phân tại x  0

Câu 28 Cho hàm số ycos 22 x Vi phân của hàm số là:

A dy4cos 2 sin 2 dx x x B dy2cos 2 sin 2 dx x x

C dy2cos 2 sin 2 dx x x D dy 2sin 4 dx x

Trang 91

x y

1

x y

Trang 93

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số có đạo hàm Nếu cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó

được gọi là đạo hàm cấp hai của và được kí hiệu là: , tức là:

có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp của và được kí hiệu là , tức là:

Để tính đạo hàm cấp n:

 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

Trang 97

.Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ đúng B Chỉ đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai.

Trang 99

Với đúng

suy ra

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 25 Tính đạo hàm cấp n của hàm số

Trang 100

Ta chứng minh:

Giả sử

Trang 101

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

Câu 31 Tính đạo hàm cấp của hàm số

Trang 103

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Ý nghĩa vật lí :

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : tại thời điểm là

.

Cường độ tức thời của điện lượng tại thời điểm là :

Câu 1 Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó tính bằng

giây và tính bằng mét Gia tốc của chuyển động khi là:

A Vận tốc của chuyển động bằng khi hoặc

B Vận tốc của chuyển động tại thời điểm là

C Gia tốc của chuyển động tại thời điểm là

D Gia tốc của chuyển động bằng khi

A Gia tốc của chuyển động khi là

B Gia tốc của chuyển động khi là

C Vận tốc của chuyển động khi là

D Vận tốc của chuyển động khi là

Đáp án A

Trang 105

TIẾP TUYẾN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số và điểm Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử là tiếp điểm Khi đó thỏa mãn: (*)

- Giải (*) tìm Suy ra

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

3 Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số và điểm Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A

- Gọi là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó (*)

- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

+) Khi : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1 Cho hàm số , có đồ thị và điểm Phương trình tiếp tuyếncủa tại là:

Trang 106

Câu 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ là

Câu 4 Cho đường cong Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là

Chọn C.

Câu 5 Cho hàm số Phương trình tiếp tuyến tại là

Trang 107

Câu 6 Cho hàm số Phương trình tiếp tuyến tại là:

Câu 8 Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm Tiếp tuyến của tại điểm

Giao điểm của với trục hoành là Ta có:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là hay

Trang 108

Câu 10 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

Câu 11 Gọi là đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các giaođiểm của với hai trục toạ độ là:

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là và không cắt trục tung

Câu 12 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của và trục hoành:

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

Câu 13 Gọi là đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến với tại giao điểm của

và trục tung là

Trang 109

Chọn đáp án A

Tập xác định:

Giao điểm của và trục tung là

Đạo hàm: hệ số góc của tiếp tuyến tại là

Phương trình tiếp tuyến tại là

Câu 14 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình là:

Tiếp tuyến tại có hệ số góc là

Phương trình của tiếp tuyến là

Câu 15 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng

Tại Phương trình tiếp tuyến là

Câu 16 Cho đồ thị và điểm có tung độ Hãy lập phương trình tiếptuyến của tại điểm

Trang 110

Tung độ của tiếp tuyến là nên

Phương trình tiếp tuyến là

Câu 17 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung cóphương trình là:

Chọn A

Giao điểm của đồ thị với trục tung :

Hệ số góc của tiếp tuyến tại là :

Câu 18 Cho đường cong và điểm có hoành độ Lập phương trìnhtiếp tuyến của tại điểm

Chọn A

Câu 19 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình là:

Chọn C

Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến tại là :

Câu 20 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phươngtrình là:

Trang 111

A B C D

Chọn B

Câu 21 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là:

Chọn A

Câu 22 Cho hàm số có đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến của tại điểm

có hoành độ là nghiệm của phương trình là

Chọn A

Theo giả thiết là nghiệm của phương trình

Phương trình tiếp tuyến tại điểm là:

Câu 23 Gọi là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Phương trình tiếp tuyến với

đồ thị hàm số trên tại điểm là:

Trang 112

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm là:

Câu 24 Cho hàm số có đồ thị Phương trình tiếp tuyến của tại giaođiểm của với trục tung là:

Chọn đáp án A

Giao điểm của với trục tung là

Câu 25 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:

Gọi là tiếp điểm

Câu 27 Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là:

Chọn B

+

Câu 28 Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng là:

Trang 113

Chọn B

Câu 29 Cho hàm số , có đồ thị Phương trình tiếp tuyến của tại cóhoành độ là:

Câu 30 Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ là:

Câu 31 Cho hàm số , có đồ thị Tại các giao điểm của với trục ,tiếp tuyến của có phương trình:

Trang 114

Câu 33 Cho hàm số có đồ thị , tiếp tuyến với nhận điểm làmtiếp điểm có phương trình là:

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là

Phương trình của tiếp tuyến là

Câu 34 Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành

Trang 115

Phương trình tiếp tuyến là:

Câu 35 Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung

Câu 36 Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp

Phương trình tiếp tuyến:

Câu 37 Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng

Câu 38 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: biết tung độ tiếp điểm bằng

Trang 116

Phương trình tiếp tuyến

Câu 39 Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp

Câu 40 Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng

Gọi là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng nên ta có

Trang 117

Câu 41 Cho hàm số , có đồ thị là Tìm biết tiếp tuyến của đồ thị tại giao

điểm của và trục Ox có phương trình là

Trang 118

Chọn D

Ta có:

Phương trình các tiếp tuyến: ; ;

Câu 44 Cho hàm số (Cm) Tìm để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

Suy ra diện tích tam giác OAB là:

Theo giả thiết bài toán ta suy ra:

Câu 45 Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị tại điểm của hoành độ

bằng nhau Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

Chọn B

Trang 119

Theo giả thiết ta có:

Câu 46 Tìm trên (C) : những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8

Chọn A

Câu 47 Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm là:

Chọn C

Ta có

Phương trình tiếp tuyến

Câu 48 Tiếp tuyến của parabol tại điểm tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông.Diện tích của tam giác vuông đó là:

Chọn D

+ Ta có giao tại , giao tại khi đó tạo với hai trục tọa độ tam giácvuông vuông tại

Câu 49 Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa

độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ là:

Trang 120

A B C D

Chọn D

Giao với trục tung:

Câu 51 Cho hàm số Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt Tìm tọa độ các giao điểm

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d

Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Trang 121

Câu 52 Cho hàm số (Cm) Tìm để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ

Câu 53 Cho hàm số Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến

Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm

Câu 54 Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng

Chọn C

Trang 122

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng :

(trong đó là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C))

Phương trình (d):

Đặt Phương trình (1) trở thành:

Suy ra phương trình tiếp tuyến (d):

Câu 55 Cho hàm số , có đồ thị là Tìm biết có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của có tọa độ là và tiếp tuyến d của tại giao điểm của với trục Ox

có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của có tọa độ là

Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là và hệ số góc của d là

Câu 56 Cho hàm số: có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến tạo với trục tọa độ lập thành một tam giác cân

Định dạng
Số trang	240
Dung lượng	10,66 MB
File đính kèm	Chuyên đề 5 - Đạo Hàm.rar (9 MB)