Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
MÔN: TOÁN
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A PHẦN TRẮC NGHIỆM: Viết phương án đúng A, B, C hoặc D vào bài thi
Câu 1 Phương trình x2 mx2m0 có một nghiệm bằng -1 Nghiệm còn lại là:
2 3
D.
2 3
Câu 2 Tập nghiệm của phương trình 3x4 x 2 là:
A 0 B 2 C 0;4 D Một đáp án khác
Câu 3 Cung của một đường tròn bán kính R có độ dài bằng 6
R
Số đo cung AB bằng:
Câu 4 Một hình trụ có đường kính đáy và chiều cao bằng 6dm Diện tích toàn phần của
hình trụ (đơn vị dm2) bằng:
B PHẦN TỰ LUẬN:
Câu 5 Cho biểu thức
A
a) Rút gọn A.
b) Tính A biết:
2 3 5 3 3
Câu 6 Cho hệ phương trình:
(1)
x y
mx y m
a) Giải hệ phương trình với m 1.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất x y; thoả mãn:
2 2 185
x y
Câu 7 Một đoàn xe phải chở 420 tấn hàng Khi sắp khởi hành có một xe bị hỏng không
tham gia chở hàng nên mỗi xe phải chở thêm so với dự định 2 tấn Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau.
Câu 8 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao AD, BE
a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn Xác định tâm I của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng: MN // DE.
c) Cho (O) và dây AB cố định Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB.
Trang 2Câu 9 Với a, b, c là các số thực dương thoả mãn (a b b c c a )( )( ) 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M ab bc ca .
Cán bộ coi khảo sát không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT
NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN
A PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm)
B PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm)
Câu 5
a (1điểm)
2
2
3
9
A
x x x
x
x
0.25
0.25 0.5
b
(0,5điểm) 3 2 3 2 3 2 5 3 3
6 3 3 5 3 3 11
4 3 25 27
2 3 5 3 3
Thay vào A ta được:
6 3
11 9
0.25 0.25
Câu 6
a
(1điểm)
Với m 1 hệ (1) trở thành:
Vậy với m =1 hệ có nghiệm duy nhất
1 2
x y
0.75
0.25 b)
(0,5điểm)
x y
Để hệ (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) phải có nghiệm duy nhất
Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: m 6
Trang 3Với m 6 thì hệ có nghiệm duy nhất là:
6
6
m x m m y m
Nghiệm của hệ thoả mãn:
2 2 185
x y
2
185
4 75 236 0
Giải ra ta được
59 4;
4
m m
0.25
0.25
Câu 7
(1,5 điểm)
Gọi x (chiếc) là số xe lúc đầu (x là số nguyên, x > 1)
Số xe lúc sau là : x – 1 (chiếc)
Lúc đầu mỗi xe phải chở
420
x (tấn)
Lúc sau mỗi xe phải chở
420 1
x (tấn)
Vì lúc sau mỗi xe phải chở thêm 2 tấn so với lúc đầu nên ta có phương trình:
2 1
Giải phương trình trên ta tìm được x= 15 (chiếc)
Vậy lúc đầu đoàn xe có 15 chiếc
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
Câu 8
(2,5 điểm)
a
(1 điểm)
Do AD, BE là đường cao của ∆ABC (giả thiết) nên :
ADB và AEB 900
Xét tứ giác AEDB có ADB A B E 900nên bốn điểm A, E, D, B cùng
thuộc đường tròn đường kính AB
Tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB
0.25
0.5 0.25 (1 điểm)
Xét đường tròn (I) ta có: D 1 B 1 (cùng chắn cung AE)
Xét đường tròn (O) ta có: M 1 B 1 (cùng chắn cung AN )
0.25 0.25
Trang 4Suy ra: D1 M 1 MN DE //
(do có hai góc đồng vị bằng nhau). 0.5 (0,5 điểm) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
*) Xét tứ giác CDHE ta có : CEH 900 (do AD BC)
CDH 900 (do BE AC )
suy ra CEH CDH 1800, do đó CDHE nội tiếp đường tròn đường kính
CH
Như vậy đường tròn ngoại tiếp ∆CDE chính là đường tròn đường kính CH, có bán kính bằng 2
CH
*) Kẻ đường kính CK, ta có:
KAC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) KA AC,
mà BE AC (giả thiết) nên KA // BH (1)
chứng minh tương tự cũng có: BK // AH (2)
Từ (1) và (2), suy ra AKBH là hình bình hành
Vì I là trung điểm của AB từ đó suy ra I cũng là trung điểm của KH, lại có O
là trung điểm của CK vậy nên 2
CH
OI
(t/c đường trung bình)
Do AB cố định, nên I cố định suy ra OI không đổi
Vậy khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi
0.25
0.25
Câu 9
a
(1 điểm)
Đặt S a b c khi đó ta có:
ab bc ca S abc
Suy ra:
1
(1)
abc
ab bc ca
a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các số dương ta có:
3
1 2
a b b c c a
1 ( a b b c c a )( )( ) 2 ab.2 bc.2 ca 8abc hay
1 (3) 8
abc
Từ (1) (2) và (3) suy ra:
1
8
3
ab bc ca
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 3
a b c
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng
3
4 khi và chỉ khi
1 3
a b c
0.25
0.25
0.25 0.25