bộ đề thi tỉnh lớp 9 môn toán có đáp án

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm của đường trong nội tiếp tam giác ABC.. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳn

1 PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC

TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG

ĐỀ THAM KHẢO (Đề gồm 2 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

a) Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên ab+ba chia hết cho 11.

b) Phân tích đa thức sau thành nhân từ: x4 + 2x2 – 3

Bài 3 (2 điểm)

a) Tính tổng sau: M = 6 6 6 6 80

15.18 18.21 21.24+ + + +87.90 90+ b) Tìm số ab sao cho bbb ab a b=

Bài 4 (2 điểm)

Có hai đội cờ thi đấu với nhau Mỗi đối thủ của đội này phải thi đấu một ván

cờ với mỗi đấu thủ của đội kia Cho biết tổng số ván cờ bằng 4 lần tổng số đấu thủ của cả hai đội và một trong hai đội có số đấu thủ lẻ Vậy mỗi đội có bao nhiêu đối thủ ?

Bài 6 (5 điểm)

1) Cho tam giác ABC có AB= 6cm, BC= 10 cm, CA= 8cm.

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm của đường trong nội tiếp tam giác ABC Tính độ dài IO ?

2) Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho DM· E = µB Chứng minh: a) Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE.

b) Tia DM là tia phân giác của góc BDE.

Bài 7 (3 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO sao cho

AO = 3.IO Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ

ý Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.

1 Chứng minh: Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn.

2 Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳng cố định.

3 Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF.

HẾT

Câu Nội dung Điểm

Gọi x, y là số đối thủ của mỗi đội (ĐK: x,y là số nguyên dương).

Vì mỗi đấu thủ của đội này phải thi đấu một ván cờ với mỗi đối

thủ của đội kia, nên tổng số ván cờ đã thi đấu là: x.y.

Theo giả thiết, ta có:

xy= 4(x+y)⇔ ⇔ (x-4)(y-4)= 16

= 1.16= 2.8=4.4

x hoặc y là số lẻ, nên ta có thể đồng nhất x- 4= 1 và y- 4=16

Suy ra x= 5; y= 10 Vậy: Một đội có 5 đấu thủ, đội kia có 20 đối thủ.

c)

2 2

Từ pt (1) suy ra 8−y2 ≥0 hay y ≤ 8

Từ pt (2) suy rax2+ =2 x y ≤2 2 x

Nếu x= 2⇒ =y 2 2Nếu x= − 2⇒ = −y 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:

2

2 2

x y

1) Trong tam giác ABC có BC2 =100;AB2+AC2 =100 Vậy tam

giác ABC vuông tại A (theo ĐL Pytago đảo)

Ta có S = p r ⇔ ⇔ 6.8= + +(6 8 10 ) r⇔ =r 2cm

I là giao điểm của ba phân giác của tam giác ABC, kẻ

IH ⊥BC tại H, IK⊥CA tại K, ; IL⊥ AB tại L Suy ra tứ giác

ALIK là hình vuông cạnh r Ta có BL= BH= AB- r= 6- 2= 4cm.

O là trung điểm của BC Nên BO= 5cm,

HO= BO- BH= 1cm

Trong tam giác OIH vuông tại H có: OI = 1 4+ = 5cm

0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ 2) Vẽ hình đúng

1 Chứng minh : Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn

Ta có ·KMB=900 ( vì chắn nửa đường tròn (O)

1 đ

Lại có ·KIB=900(gt) nên các tam giác KMB, KIB đều nội tiếp một đường

tròn đường kính là cạnh huyền BK Hay bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc

Lại có ·MKE MCE=· (cùng chắn cung ¼ME của (F) )

·MAB MCB=· (cùng chắn cung »MB của (O) )

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 21/03/2014(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A x 1 xy x 1 : 1 xy x x 1

1.Cho phương trình x2+2(m−2)x+m2−2m+4=0 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn x 2x x1x 151m

2 1

2 2

2 1

Câu III (4,0 điểm).

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1)

2 Tìm x,y,z∈N thỏa mãn x+2 3 = y+ z

Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn

thẳng AO (C khác A và C khác O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đườngtròn đã cho tại D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D) Tiếp tuyến của nửađường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E Gọi F là giao điểm của AM và CD

1 Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân

2 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳnghàng

3 Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD

Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1

Số báo danh

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 31 3 1

∆ ⇔(m−2)2−(m2−2m+4)>0⇔m<0 (*) 0,50Với m<0 theo Vi-et ta có:

42

24

2 2 1

2 1

m m x x

m x

x

112

215

11

2

2 1 2 1

2 2 1 2

1

2 2

2 1

=

−

−+

m m

142

14

−

15

124

16

4

1

=

−+

−

−+

⇔

m

m m

do m<0⇒t<0 0,50

415

12

16

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1; 1; 1

a 2k(a 1) 1

- Với a = 2 (vì k = 1) Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 ⇔ b 1

3

2

(2) vô lý ( do x,y,z∈N nên vế phải của (2) là số hữu tỷ )

yz

z y x

z y

z y x

M I

H F

)

Mặt khác ·CBM EMF 2=· ( ) (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ¼AM ) Từ (1) và (2) ⇒EFM EMF· =·

Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E

(Có thể nhận ra ngay · EMF MBA MFE = · = · nên suy ra EMF cân)

0,500,50

0,500,50

0,50

Gọị H là trung điểm của DF Suy ra IH⊥DF và ·DIH DIF· ( )3

2

Trong đường tròn ( )I ta có: ·DMF và ·DIF lần lượt là góc nội tiếp và góc

ở tâm cùng chắn cung DF Suy ra DMF· 1DIF·

2

Từ (3) và (4) suy ra DMF DIH· = · hay DMA DIH· = ·

Trong đường tròn ( )O ta có: ·DMA DBA=· (góc nội tiếp cùng chắn »DA )Suy ra DBA DIH· =·

Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC Do đó

DBA HIB 180+ = ⇒DIH HIB 180· +· = o ⇒ Ba điểm D, I, B thẳng

hàng

0,500,500,500,500,50

Vì ba điểm D, I, B thẳng hàng⇒ABI ABD· = · = 1

2sđ»AD

Mà C cố định nên D cố định ⇒ 1

2sđ»AD không đổi

Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD

0,500,50

3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa thi: Ngày 4 tháng 7 năm 2012 Môn: TOÁN (Toán chung)

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: x 2 3x 3 ( )

b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ dương.

c) Với m tìm được ở câu b), hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (d)

Câu 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC Từ trung điểm

M của cạnh AC kẻ ME vuông góc với BC (E thuộc BC), đường thẳng ME cắt đường thẳng d tại

H và cắt đường thẳng AB tại K

a) Chứng minh: ∆AMK = ∆CMH, từ đó suy ra tứ giác AKCH là hình bình hành

b) Gọi D là giao điểm của AH và BM Chứng minh tứ giác DMCH nội tiếp và xác định tâm

O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

c) Chứng minh: AD.AH = 2ME.MK

d) Cho AB = a và ACB 30· = 0 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH theo a

0,25c)

Tính được: A = – 2

0,250,25

Câu 2

(2,0) (1,0)a) + Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = – 2x + 1 nên a = – 2 (không yêu cầu nêu b ≠ 1)

+ Thay tọa độ điểm M (1 ; – 3) và a = – 2 vào y = ax + b + Tìm được: b = – 1

0,50,250,25b)

0,250,250,250,25

⇔ x2 – 2(m – 1)x +4 = 0+ Lập luận được: ' 0 ( )2

m a

⇔  >mm 1= −1 hoÆc m 3=+ Kết luận được: m = 3

0,25

0,250,25c)

(0,5) + Tìm được hoành độ tiếp điểm: x=−ab ' = m 1 3 11− = 1− =2

+Tính được tung độ tiếp điểm: y = 2 và kết luận đúng tọa độ tiếp điểm là (2; 2)

0,250,25

0,250,250,250,25b)

(1,0)

+ Nêu được: CA ⊥ BK và KE ⊥ BC , suy ra M là trực tâm tam giác KBC

+ Nêu được: KC // AH và BM ⊥KC, suy ra BM ⊥AH

+ ·HDM HCM 90+· = 0 +900 =1800 => Tứ giác DMCH nội tiếp

+ ·MCH 90= 0 => Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH là trungđiểm MH

0,250,250,250,25c)

AH AD AM

0,25

(0,75) + ·ACB MHC 30=· = 0(cùng phụ góc CMH) => MH = 2MC

Mà AC = 2MC nên: MH = AC = a 3 + Độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác DMCH là:

4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa thi: Ngày 4 tháng 7 năm 2012 Môn: TOÁN (Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là tham số)

a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B

b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B Tìm m để |yA − yB| = 2

Câu 4: (4,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 2 cm Đường thẳng vuông góc với AC tại

C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F

a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn

ĐỀ CHÍNH THỨC

b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF Tính độ dài đoạn thẳng ID.

c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường

thẳng AD tại N Gọi S1 là diện tích tam giác CME, S2 là diện tích tam giác AMN Xác định vị trí

Câu 2

(2,0 điểm) a) (1,0) Giải phương trình: 3(1 x)− − 3 x+ =2 (1)

Bình phương 2 vế của (1) ta được:

3(1 x) 3 x 2 3(1 x)(3 x) 4− + + − − + = ⇒ 3(1 x)(3 x) 1 x− + = −

⇒ 3(1 x)(3 x) 1 2x x− + = − + 2

⇒ x2+ − =x 2 0⇒ x = 1 hoặc x =−2 Thử lại, x = −2 là nghiệm

0,25

0,250,25 0,25b) (1,0) Giải hệ phương trình:

2 2

0,25

Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

− x2 = (3 − m)x + 2 − 2m

⇔ x2 + (3 − m)x + 2 − 2m = 0 (1)

∆ = (3−m)2 − 4(2 − 2m) = m2 + 2m + 1Viết được: ∆ = (m + 1)2 > 0, với m ≠ − 1 và kết luận đúng

0,250,250,25b) (0,75) Tìm m để |yA − yB| = 2

Giải PT (1) được hai nghiệm: x1 = − 2 và x2 = m − 1

0,250,25

Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b +1

2 và a + b = 2 ⇔ a = 3

4 và b =

54

0,250,25

0,25

0,25

5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2010-2011

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức:

2

a 1 a a 1 a a a a 1 M

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N;

từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 1 2 1 2

N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng

BM và CN cắt nhau tại F.

a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng tích AM ⋅ AN không đổi.

c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF

2( a 2)− =3 ⇔ a = +2 3 hay a = −2 3 (phù hợp) 0,25

Bài 2

a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3= + , y 6 x= − và y mx= có đồ thị lần lượt

là các đường thẳng (d1), (d2) và (∆m) Với những giá trị nào của tham số m thì đường

thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A

có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt

trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định

I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá

0,5x 3 mx+ = ⇔ (m 0,5)x 3− =Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5− < < 0,25Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (∆m) là:

6 x mx− = ⇔ (m 1)x 6+ =Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m+ > > −1

Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính

AB cố định Gọi M là điểm di động trên (C )

sao cho M không trùng với các điểm A và B

Lấy C là điểm đối xứng của O qua A Đường

thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng

AM tại N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C )

tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng BM và

c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam

giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

Hay AM AN AB AC 2R× = × = 2 không đổi (với R là bán kính đường tròn (C )) 0,25

Bài 5 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên 0,75

Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức 1 2 21

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: x2 − 2 x − = 3 0.

b) Cho phương trình bậc hai: x2 − 2 x m + = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 và thoả mãn: x12 + = x22 8.

Câu 4: (1,0 điểm) Cho các số thực a, b thoả mãn: a b + = 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a = + + +3 b3 a2 b2.

Câu 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, M là điểm bất kì trên cạnh

BC (M khác B, C) Từ M vẽ MP vuông góc AB, MQ vuông góc AC (P thuộc AB, Q thuộc AC).

a) Chứng minh: A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi O là trung điểm của AM Chứng minh các tam giác OPH và OQH là tam giác đều,

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x y ; ) ( = − 3;2 ) . 0,25

Lưu ý: Học sinh chỉ viết kết quả thì cho 0,75 điểm

3a

Phương trình: x2 − 2 x − = 3 0.

Lưu ý: Học sinh chỉ viết kết quả thì cho 0,5 điểm

Vậy với m = − 2 phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 và thoả mãn:

I

Nên: P, H, Q cùng nhìn đoạn AM dưới một góc vuông 0,5

Vậy A, P, M, H, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM 0,25

5b

Xét đường tròn đường kính AM, tâm O.

Ta có: OP = OH = OQ nên ∆ POH , HOQ ∆ cân tại O 0,25

Suy ra ∆ POH , HOQ ∆ đều ⇒ OP PH HQ QO = = = 0,25

Môn thi : Toán

Thời gian : 120 phút không kể thời gian giao đề

Ngày thi 30 tháng 6 năm 2012

Câu 1 (2 điểm)

1.Tính 1 2

2 1-

2 Xác định giá trị của a,biết đồ thị hàm số y = ax - 1 đi qua điểm M(1;5)

=

−53

952

y x

y x

3 Chứng minh rằng pt: 2

1 0

x +mx m+ - = luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2 4.( 1 2)

Câu 3: (1,5 điểm)

Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất

phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng

đường AB

Câu 4: (3 điểm)

Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của

đường tròn (O),với P và Q là 2 tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song

với AQ.Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường

thẳng AQ tại K

1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp

2.Chứng minh KA2=KN.KP

3.Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc ·PNM

4 Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán

3 Gọi độ dài quãmg đường AB là x (km) x>0

Thời gian xe tải đi từ A đến B là

40

x h Thời gian xe Taxi đi từ A đến B là :

60

x h

Do xe tải xuất phát trước 2h30phút = 5

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25

G K

N

S

M I

APN =AMP ( Góc nt……cùng chắn cung NP)

ΔAKN ~ Δ PKA (gg) AK NK AK2 NK KP.

3 Kẻ đường kính QS của đường tròn (O)

Ta có AQ ^ QS (AQ là tt của (O) ở Q)

Mà PM//AQ (gt) nên PM ^ QS

Đường kính QS ^ PM nên QS đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ

sd PS=sd SM Þ ·PNS=SNM· (hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau)

Hay NS là tia phân giác của góc PNM

QUẢNG NGÃI Môn thi: Toán (không chuyên)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao

3/ Giải phương trình: 9x2 +8x− =1 0

Bài 2: (2,0 điểm)

Cho parapol ( )P :y=x2 và đường thẳng ( )d :y=2x m+ 2 +1 (m là tham số).

1/ Xác định tất cả các giá trị của m để ( )d song song với đường thẳng

( )d' :y =2m x m2 + 2 +m.

2/ Chứng minh rằng với mọi m, ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B.

3/ Ký hiệu x x là hoành độ của điểm A và điểm B Tìm m sao cho A; B x A2 +x B2 =14

Bài 3: (2,0 điểm)

Hai xe ô tô cùng đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm hơn xethứ nhất là 1 giờ Lúc trở về xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5 km mỗi giờ, xe thứ hai vẫn giữnguyên vận tốc nhưng dừng lại nghỉ ở một điểm trên đường hết 40 phút, sau đó về đến cảngDung Quất cùng lúc với xe thứ nhất Tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết chiều dài quãngđường từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120 km và khi đi hay về hai xe đều xuấtphát cùng một lúc

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường tròn sao cho

CA > CB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, cắt tia BC tại

M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K

1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn

xy

−

=+ .

11

1

m

m m