I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. Gọi M và N lầ
Trang 1đề thi thử đại học - NĂM 2011 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .
Câu I Cho hàm số y=2x x−+11 có đồ thị (C).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II 1 Giải phơng trình: x x x sin 2x
2
1 cos 2 ) 2
cos 2 (sin
2 Giải hệ phơng trình :
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x y x
y y x
x
.
Câu III 1.Tính tích phân sau: 2
0
3sinx cos sinx cos 2
x
x
π
−
=
∫
2 Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng
2
2
3
2 4 2 2
2
x y
x y
+
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lợt là
II, PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
Câu Va 1 Viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC với cỏc đỉnh:
A(-2;3),B( ; 0 ), ( 2 ; 0 )
4
1
C
2 Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua điểm M(- 4; 5;3- ) và cắt cả hai đường thẳng: ' : 2 3 11 0
d
ùù
ớù - + =
- .
.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
10x 2 + 8x+ 4 =m( 2x+ 1 ). x2 + 1.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao )
Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (∆) và (∆ ' ) có phơng trình
đề chính thức
Trang 2() ()
+=
=
+=
∆
= +=
+=
∆
4t'2 t'2y
t'2-2
x : ;
4 2t-1y
t3x
z
z
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và (∆ ' )
Câu VIb Cho hàm số
1
2 3
2 2
−
+
−
=
x
x x
khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận của (C) là nhỏ nhất
******** Hết ********
Kỳ thi thử đại học- cao đẳng
năm 2011
Hớng dẫn chấm môn toán
I.1 Khảo sát hàm số y=
1
1 2
−
+
x
1 Tập xác định: R\{1}
2 Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: 2 ( 1 ) 2
3 )
1 (
) 1 2 ( ) 1 ( 2 '
−
−
=
−
+
−
−
=
x x
x x
y
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1;+∞)
Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
−
+
= −
1 2 lim lim
1
x y
x x
=+∞
−
+
= +
1 2 lim lim
1
x y
x x
Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng
2
1
1 2 lim
−
+
=
±∞
→
±∞
x y
x x
Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
* Bảng biến thiên:
-∞
+∞
2
0,5
Trang 3Câu Nội dung Điểm
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
I.2 Với M bất kì ∈ (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam
Gọi M + − 1
3 2
; 0 0
x
* Tiếp tuyến tại M có dạng: ( ) 2 3 1
) 1 (
3
0 0
2
−
=
x x
x x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A
−
+
1
6 2
;
1
0
x
B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S∆IAB =
2
1
IA IB= 2 1 2 3 6
1
6 2
1
0 0
=
=
−
⋅
−
0,25
0,25
* ∆IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA=
IB (HS tự chứng minh)
−=
+=
⇒
−
=
3
1 1
2 1
6
0
0 0
x x x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M 1 (1 + 3 ; 2 + 3)
M 2 (1 − 3 ; 2 − 3)
Khi đó chu vi ∆AIB = 4 3 + 2 6
0,5
II.1 Giải phơng trình lợng giác
x sin 2
1 x cos 2 ) 2
x cos 2
x (sin
(2 sin x)cos x 2
x cos 2
x sin 1 2
x cos 2
x sin
+
⇔
+
=
+
⇔
2
x sin 2
x cos 2
x sin 2
x cos x sin 2 x sin 2
1 1 2
x cos 2
x sin
3
0 2
3 2
x cos 2
x sin ) x sin 2 ( 2
x sin 2
x
+
Trang 4Câu Nội dung Điểm
* sinx cosx 0 sin x 0 x k x k2 (k )
* 2+sinx=0⇔sinx=−2 (vô nghiệm) 0,5
*
2 2
3 4
x sin 2
3 4 2
x sin 2 2
3 2
x cos 2
x
+π
⇔
−
=
+π
⇔
−
=
của phơng trình là: x k2 (k )
2
π
0,5
II.2
Giải hệ phơng trình:
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x y x
y y x x
* Hệ phơng trình tơng đơng với
=
− + +
=
− +
−
0 22 )2
(
4 )3 ( )2
(
2 2
2 2
2
x y x
y
( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0
Dat
2 2 3
− =
− =
* Thay vào hệ phơng trình ta có:
4( ) 8
u v
u v u v
+ =
2
0
u
v
=
=
hoặc
0 2
u v
=
=
thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : 2
3
x y
=
=
; =x y= −32; 52
x y
=
=
5
x y
= −
=
;
1,00
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 5C©u Néi dung §iÓm
2
0
2 2 0 0
sinx cos 2 2 cos sinx 2
sinx cos 2
cos sinx
sinx cos 2 sinx cos 2
2 ln sinx cos 2 2
4
x
x x
dx x
c x
π
π π
π
π
=
−
∫
∫
2
2 0
1
2 ln(1 2) ln(1 2)
2 8
dx x c
π
π
π
−
∫
2 0 tan( ) 2 tan
0,25
0,25
0,25
0,25
IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp
Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng
2
2
3
2 4 2 2
2
x y
x y
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
2 2 2 2 2
2
z y z x
x y
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
c
⇔a c b c( − +) b c a c( − +) 2c ab≤2ab c+ 2(2)
Ta có:
(3) 2
b c c b
c b c
ab
a c b c
− +
2
ab
b c a c− ≤
2c ab c≤ +2 ab( )5
Cộng (3); (4); (5) ta được: a c b c( − +) b c a c( − +) 2c ab ≤2ab c+ 2 đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a 2z+y=2z+x=4x+2y
b x=y=2
5z
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 6Câu Nội dung Điểm
Ta có các tam giác SMN và AMN cân tại S và A Gọi I là trung điểm của MN suy ra SI
⊥ MN và AI ⊥ MN Do (SBC) ⊥ (AMN) nên SI ⊥ (AMN)
6
1 S
SI 3
1
VS.AMN = AMN =
1,00
Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI ⊥ SK nên tam giác
ASK cân tại A Do đó
2
3 a AK
SA = =
0,5 0,5
MN =
4
a MN 2
1 NI , 2
a BC 2
4
3 a 2
SA 2
SC
4
2 a 16
a 16
a 3 NI SN
SI
2 2 2
=
1,00
4
10 a 8
a 4
a 3 SI SA AI
2 2 2
2 − = − =
96
5 a 2
a 4
10 a 4
2 a 6
1 V
3 AMN
.
0, 5
0, 5
Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng công thức:
4
1 SC
SN SB
SM SA
SA V
V
ABC S
AMN
1,00
+ Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc)
0,25
S
A
C B
M
N I
K
Trang 7C©u Néi dung §iÓm
Va 1.(1,0 điểm)
Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của
góc A
khi và chỉ khi
( ) ( )
2
2 2 2
9
4 4
9
3
4
d
æö÷
ç ÷+ -ç
- çè ø÷
-+
+
Đường thẳng AD có phương trình:
2 3 3 6 3 9 1
+ = - Û - - = - Û =
và đường thẳng AC:
2 3 3 6 4 12 3 4 6 0
-Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó hoành
độ là
1 b- và bán kính cũng bằng b Vì khoảng cách từ I tới AC cũng
phải bằng
b nên ta có:
3 5 ;
3 4
4
3 1
2
- +
+
- = Þ
Rõ ràng chỉ có giá trị b=12 là hợp lý Vậy, phương trình của
đường tròn
- ÷+ - ÷=
ç ÷÷ ç ÷÷
2 (1,0 điểm)
Mặt phẳng P’ đi qua đường thẳng d’ có phương trình dạng:
2m x mx(2++(33m n y y++11) )+-n y2(nz-+211z m+ = Û+7)7n0=0.
Để mặt phẳng này đi qua M, phải có:
( 8 15 11) ( 5 6 7) 0
=-Chọn m=1,n=- 3, ta được phương trình của P’:
Trang 8Câu Nội dung Điểm
2x+ -6z 10=0.
Tiếp theo, đường thẳng d” đi qua A(2; 1;1- ) và cú vectơ chỉ phương
(2;3; 5)
mur - Mặt phẳng P” đi qua M và d” cú hai vectơ chỉ phương
là
mur
và MAuuur(6; 4; 2- ) hoặc nr(3; 2; 1- ) Vectơ phỏp tuyến của P” là:
3; 5, 5; 2 2;3, (7; 13; 5)
2; 1 1;3 3; 2
pổỗ - - ửữ p
ỗ -
.
Phương trỡnh của P”: 7(x+ -4) 13(y+ -5) 5(z- 3)=0
hay: 7x- 13y- 5z- 29=0
Rừ ràng đường thẳng d phải là giao tuyến của P’ và P” nờn cú
phương trỡnh:
ỡùùớù -ùợ27x x+136z y--105z=-029=0 .
VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m( 2x+1) x2 + 1=10x2 + 8x+ 4
1,00 Nhận xét : 10x2 + 8x+ 4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)
Phơng trình tơng đơng với : 2 ( ) 2 0
1
1 2 ( ) 1
1 2
2 2
+
+
− +
+
x
x m x
x
x
+
+ 1
1 2
2 Điều kiện : -2< t ≤ 5 Rút m ta có: m=
t
2 2 +
Lập bảng biến thiên của hàm số trên (− 2 , 5] , ta có kết quả của m để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4 <m≤ hoặc -5 < m<−4
0,25 0,75
Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4;
-2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phơng trình
các cạnh của hình vuông trên.
1,00 + Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n(a;b)
(a 2 + b 2 ≠ 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:n1(−b;a).Phơng trình AB có dạng:
a(x-2) +b(y-1)= 0
⇔ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 ⇔ - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
−=
−=
⇔ +
+
= +
−
a b
a b b a
a b b a
2 2 2 2
Tr
ờng hợp 1 : b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0–
Tr
ờng hợp 2 : b= -a Khi đó
0,25 0,25
Trang 9Câu Nội dung Điểm
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0–
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0–
Vb
2
Cho (∆):
=
+
−
=
+
=
4
2 1 3
z
t y
t x
+
=
=
+
−
=
u z
u y
u x
4 2 2
2 2
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’)
1,0 0
+ Gọi đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’) là d
Khi đó [ ], ' ( 4 ; 2 ; 1 )
2
+ Gọi (α) là mặt phẳng chứa (∆) và (d) thì (α) qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến: n1 =[u,ud]=(−2;1;−10)
Vậy phơng trình của (α) là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi (β) là mặt phẳng chứa (∆’) và (d) thì (β) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
tuyến: n 2 = [ ] u ,' u d = ( ;6 18 ; − 12 )
Vậy phơng trình của (β) là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của ∆ và ∆’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0– – –
+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)
0,25
0,25
0,25
0,25
+) Ta có
1 x
1 1 x y
− +
−
1 x
1 lim )]
1 x 2 ( y [ lim
x
−
=
−
±∞
cận xiên y = 2x – 1
−
+
− +∞
=
−
+
−
−
2 x x lim
; 1
x
2 x x 2 lim
2
1 x
2
1
+) Gọi M ∈ ⇒ = − +x − 1
1 1 x
; x M ) C (
0 0
0 , x0 ≠ 1
0,25
Tổng khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận của (C) là
1 x 5
1 1
x 1
2
1 1 x
1 1 x x 1 x
d
0 0
2 2 0 0
0 0
− +
−
= +
−
− +
−
− +
−
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có 4
0 0
5
2 1 x 5
1 1 x 2
−
−
4 5
2
0 0
5
1 1 x 1 x 5
1 1
−
=
−
0,25
5
2 1
; 5
1 1 M ; 5 5
2 1
; 5
1 1
4 4
4 4
Trang 10Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa
