Đáy là tam giác ABC cân BAC 1200, cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG I Môn Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = -x3+3x2+1
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm m để phương trình x3-3x2 = m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt
Câu II (2,0 điểm )
1 Giải bất phương trình : 4 4 2 16 6
2
2.Giải phương trình: 2 1
3 sin sin 2 tan
2
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân:
ln 3 2
x
e dx I
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a 2 Đáy là tam giác ABC cân BAC 1200, cạnh
BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)
Câu V (1,0 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: 3 3 3
1 1 1 3
2
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x2y2 4x 2y 1 0 và điểm A(4;5) Chứng
minh A nằm ngoài đường tròn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T 1 , T 2 , viết phương trình đường thẳng T 1 T 2
2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
2 4 2 3 0
x y z x y z Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P)
Câu VII.a(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện:
z i z 2 3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất
B Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d:
2 2x y 2 2 0 và B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết
phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC
Câu VII.b(1,0 điểm)
Cho hàm số (C m ):
2
1
y x
(m là tham số) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại A, B vuông góc
……….Hết………
www.vietmaths.com
Trang 2SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG 1
KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN
I.1
(1 điểm)
* TXĐ: R
Sự biến thiên: y' = -3x2 + 6x = -3x(x - 2) y' = 0 0
2
x x
* Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và (2;+∞) Hàm số đồng biến trên (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 5 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1
* lim
xy = + ∞, lim
xy = - ∞ Bảng biến thiên: x -∞ 0 2 +∞
y' - 0 + 0 - + ∞ 5
y
1 -∞
*Đồ thị: y'' = -6x + 6 y'' = 0 x = 1 điểm uốn I(1;3) là tâm đối xứng của đồ thị
0,25
0,25
0,25
0,25
I.2
(1 điểm)
* PT đã cho -x3 + 3x2+ 1 = -m3 + 3m2+ 1 Đặt k = -m3 + 3m2+ 1
* Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đt y = k
* Từ đồ thị (C ) ta có: PT có 3 nghiệm phân biệt 1 < k < 5
* m (-1;3)\ 0; 2
0,25 0,25 0,25 0,25
II.1
(1 điểm) * Đk:
4 0
4 0
x x
x 4 Đặt t = x 4 x 4 (t > 0)
BPT trở thành: t2 - t - 6 0 2( )
3
t
0,25
www.vietmaths.com
Trang 3* Với t 3 2 2
16
x 9 - 2x
( )
0 ( ) 4( 16) (9 2 )
a
b
x 4
9 - 2x 0
x 4
9 - 2x
* (a) x 9
2
* (b) 145 9
36 x < 2
*Tập nghệm của BPT là: T= 145;
36
0,25
0,25
0,25
II.2
(1 điểm) * Đk: cosx 0 x 2 k
PT đã cho 3sin2x + sinxcosx - s inx
cos x = 0
* sinx( 3sinx + cosx - 1
cos x) = 0
s inx 0
1
3 s inx cos 0
osx
x c
* Sinx = 0 x = k
* 3sinx + cosx - 1
cos x = 0 3tanx + 1 - 12
cos x = 0
tan2x - 3tanx = 0 t anx 0
t anx 3
x
x 3
k k
Vậy PT có các họ nghiệm: x = k, x =
3 k
0,25
0,25
0,25
0,25
III
(1 điểm) * Đặt t =
2
x
e , Khi x = ln2 t = 0
x = ln3 t = 1
ex = t2 + 2 e2x dx = 2tdt
* I = 2
1 2
2 0
( 2)
1
1
2 0
2 1 ( 1 )
1
t
* = 2
1
0
(t 1)dt
2 0
( 1) 1
* = ( 2 2 )1
0
t t + 2ln(t2 + t + 1)10= 2ln3 - 1
0,25 0,25 0,25
0,25
www.vietmaths.com
Trang 4IV
(1 điểm) * Áp dụng định lí cosin trong ABC có AB = AC =
2 3
a
S
ABC
1
2AB.AC.sin1200 =
2
3 3
a
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC
H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
* Theo định lí sin trong ABC ta có:
sin
BC
A = 2R R = 2
3
a
= HA SHA vuông tại H SH = 2 2
3
a
.
S ABC
3 S ABC
2
2 9
a
* Gọi hA, hM lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC)
2
M A
h SA hM = 1
2hA SBC vuông tại S S
SBC
2
* Lại có:
.
S ABC
3 S SBC
.hA hA =
.
3 S ABC
SBC
V
V = 2
3
a
Vậy hM = d(M;(SBC)) = 2
6
a
0,25
0,25
0,25
0,25
V
(1 điểm)
* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 a2b + ab2 (*) Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) 0 (a + b)(a - b)2 0 đúng
Đẳng thức xẩy ra khi a = b
* Từ (*) a3 + b3 ab(a + b)
b3 + c3 bc(b + c)
c3 + a3 ca(c + a)
2(a3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:
13
a + 13
a + 13
a 33
3 3 3
1 1 1
a b c = 3
abc (2)
* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.a.1
(1 điểm)
* Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2
Ta có IA = 2 5 > R A nằm ngoài đường tròn (C)
* Xét đường thẳng 1: x = 4 đi qua A có d(I; 1) = 2 1 là 1 tiếp tuyến của (C)
* tiếp xúc với (C ) tại T1(4;1)
0,25 0,25 0,25
www.vietmaths.com
Trang 5* T1T2 IA đường thẳng T1T2 có vtpt n
= 1
2 IA
=(1;2) phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1)
x + 2y - 6 = 0
0,25
VI.a.2
(1 điểm)
* Mp(P) có vtpt nP= (1;1;-2)
(S) có tâm I(1;-2;-1)
* IA
= (2;1;2) Gọi vtcp của đường thẳng là u
tiếp xúc với (S) tại A u
IA
Vì // (P) u
nP
* Chọn u0= [IA
,nP] = (-4;6;1)
* Phương trình tham số của đường thẳng :
3 4
1 6 1
0,25
0,25
0,25 0,25
VII.a
(1 điểm)
* Đặt z = x + yi (x; y R) |z - i| = |Z - 2 - 3i| |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* x - 2y - 3 = 0 Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất |OM
| nhỏ nhất M là hình chiếu của O trên
* M( 3
5;-6
5) z = 3
5-6
5i
Chú ý:
HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
0,25 0,25 0,25 0,25
VI.b.1
(1 điểm)
* B = d Ox = (1;0) Gọi A = (t;2 2 t - 2 2) d
H là hình chiếu của A trên Ox H(t;0)
H là trung điểm của BC
(t 1) (2 2t 2 2) 3|t - 1|
ABC cân tại A chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1|
* 16 = 8|t - 1| t 3
t 1
* Với t = 3 A(3;4 2), B(1;0), C(5;0) G(3;4 2
3 ) Với t = -1 A(-1;-4 2), B(1;0), C(-3;0) G( 1; 4 2
3
)
0,25
0,25 0,25
0,25
www.vietmaths.com
Trang 6VI.b.2
(1 điểm)
* Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ABC d là giao tuyến của (ABC) với ( ) qua A và vuông góc với
BC
* Ta có: AB
= (1;3;-3), AC
= (-1;1;-5) , BC
= (-2;-2;-2) [AB
, AC
] = (18;8;2) mp(ABC) có vtpt n = 1
4[AB
, AC
] = (-3;2;1)
mp( ) có vtpt n' = -1
2 BC
= (1;1;1)
* Đường thẳng d có vtcp u =[n, n' ] = (1;4;-5)
* Phương trình đường thẳng d:
1
2 4
3 5
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.b
(1 điểm)
* Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox:
2
1
x
x
= 0
2
0
x
x 1
(Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt pt f(x) = x2 - x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
(1) 0
f
1 4 0
m m
(*)
* Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm của f(x) = 0 1 2
1 2
1
m
x x
x x
Ta có: y' = '( )( 1) ( 2 1) ' ( )
( 1)
x
Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A và B lần lượt là:
k1 = y'(x1) = 1 1 1
2 1
'( )( 1) ( ) ( 1)
x
1
'( ) ( 1)
f x
1
2 1
x
x
* Tương tự: k1 = y'(x2) = 2
2
2 1
x
x ( do f(x1) = f(x2) = 0) Theo gt: k1k2 = -1 1
1
2 1
x
2
2 1
x
x = -1
* m = 1
5( thoả mãn (*))
0,25
0,25
0,25
0,25
www.vietmaths.com