VẤN ĐỀ 1: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI 1.Kiến thức cần nhớ.. - Chọn điểm rơi chính là việc dự đoán dấu “=” xảy ra khi nào.. - Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN,GTNN thường đạt tại
Trang 1VẤN ĐỀ 1: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI
1.Kiến thức cần nhớ
- Chọn điểm rơi chính là việc dự đoán dấu “=” xảy ra khi nào
- Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN,GTNN thường đạt tại vị trí biên
- Thông thường với các biểu thức đối xứng thì dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau
Để hiểu về biểu thức đối xứng ta xét hai ví dụ sau:
P
x y z x y z x y z
Nếu ta hoán đổi vai trò của x,y,z cho nhau thì biểu thức P không thay đổi nên ta nói biểu thức
P là biểu thức đối xứng với vai trò các biến bình đẳng với nhau Vậy điểm rơi tại x y z
x y
- Nếu ta hoán đổi vai trò của x,y cho nhau thì biểu thức P sẽ thay đổi nên ta nói biểu thức P không là biểu thức đối xứng với vai trò các biến không bình đẳng với nhau Vậy điểm rơi không đạt tại x y z
- Chúng ta cần nhớ đến bất đẳng thức Côsi (Cauchy) áp dụng cho các số không âm
Bất đẳng thức cho 2 số : a b 2 ab a b , 0 Dấu “=” xảy ra a b
Bất đẳng thức cho 3 số : 3
a b c abc a b c Dấu “=” xảy ra a b c
2.Các bài tập mẫu áp dụng
a
Phân tích: Nếu vội vàng ta dẫn đến lời giải sai như sau :
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương P a 1 2 a.1 2 MinP 2
Dấu “=” xảy ra a 1 a 1 3
a
Vậy ta không tìm ra giá trị của a nên lời giải trên là sai
Từ đó việc dự đoán dấu “=” xảy ra (tức chọn điểm rơi) là vô cùng quan trọng
Lời giải đúng: Chọn điểm rơi tại a3
Với a 3 a 1
a
nên để dùng BĐT Côsi ta phải chèn thêm hệ số k0như sau :
1
a
Tìm k dựa trên dấu “=” xảy ra
1
3
3
ka
a a
Với hướng phân tích như trên ta có lời giải chi tiết như sau:
2
x
Lời giải
Trang 2Chọn điểm rơi tại x1.
3 2
x
Dấu “=” xảy ra
1
1 2
2 1
kx k x
x
Bài 3: Cho , 0
1
x y
x y
Tìm GTNN của biểu thức 2 2
P
x y xy
Lời giải
Vì P là biểu thức đối xứng nên ta chọn điểm rơi tại 1
1 2
x y do x y
Ta cũng cần nhớ tới BĐT đã biết 1 1 4
a b
a b a b
2
4
a b
ab
.Ta tách như sau:
4 2 6
1 6
2
P
x y xy x y xy xy x y x y
MinP x y
Với ý tưởng này, trong những năm gần đây nhiều tỉnh đưa ra nhiều bài toán mà nếu nắm bắt
được thì các em học sinh hoàn toàn có thể chinh phục Cụ thể ta xét một số bài tập trong đề
Bài 4: Cho ,x y0 Tìm GTNN của 2 2
x y x y S
x y xy
Lời giải
Theo bài 3 ta có
x y xy x y
2
x y xy
Bài 5: Cho , 0
4
x y
x y
Tìm GTNN của 2 2
2
x y xy
(Trích đề thi vào lớp 10 Hưng Yên năm 2017)
Lời giải
Với ý tưởng hoàn toàn giống như bài 3 trên thì ta chọn điểm rơi tại x y 2
Trang 3 2 2 2
2
Bài 6: Cho
, y 0 1
x
Tìm GTNN của 2 2
P
xy x y x y
(Trích đề thi vào lớp 10 Thái Bình năm 2013)
Lời giải
x y xyx y x y xyxy x y xy
Đến đây ta quy về cách giải giống bài số 3
Chọn điểm rơi tại x y 1
xy P
x y xy x y xy x y xy x y
2 2
xy x y x y
xy x y
Bài 7: Cho , , 0
1
x y z
x y z
Tìm GTLN của biểu thức P x y y z zx
Lời giải
Chọn điểm rơi tại 1
3
x y z Vì tìm GTLN nên ta dùng
2
a b
ab
Ta thêm hệ số:
2
k x y
k xy
Dấu “=” xảy ra 2
3
k x y
3 3
Bài 8: Cho , , 0
2
a b c
a b c
Tìm GTLN của Q 2abc 2b ca 2c ab
(Trích đề thi vào lớp 10 Hà Nội năm 2014)
Lời giải
Trang 4Chọn điểm rơi tại 2
3
a b c
Ta thêm hệ số: 2
2
2
k a bc
k a bc
Dấu “=” xảy ra
2
16 3
9 2
a b c
k
k a bc
16 2a
bc
Tương tự 2 3 16 2 , 2 3 16 2
b ca b ca c ab c ab
a b c
Dấu “=” xảy ra 2
3
a b c
Bài 9: Cho 2 2 2
, , 0
3 7
x y z
x y z
Chứng minh 8 14 x 8 14 y 8 14 z 3 3 7
Lời giải
Chọn điểm rơi tại 1
7
x y z
8 14
2
Dấu “=” xảy ra
1
8 2 7 7
8 14
x
k
Vậy ta có 8 2 7 8 14
2
x
Tương tự 8 2 7 8 14 y7y 8 7, 8 2 7 8 14 z7z 8 7
8 2 7 8 14x 8 14y 8 14z 7 x y z 24 3 7
3
7
x y z x y z x y z
Vậy 8 2 7 8 14 x 8 14 y 8 14 z24 6 7
7 1
Trang 5Đây là tài liệu tâm huyết thầy viết để hỗ trợ các em ôn thi gồm các chuyên đề giúp các em đạt kết quả cao trong kỳ thi tới
Với tiêu chí dễ hiểu ,dễ tiếp thu và không cần đi học thêm nhiều cộng với kinh nghiệm dạy thì thầy hy vọng cuốn tài liệu này bổ ích với tất cả các em
Cuốn tài liệu có sự đầu tư về thời gian cùng tham khảo và sưu tầm đề thi các tỉnh nên em nào
có nhu cầu mua bản full thì liên hệ thầy theo fb https://www.facebook.com/thaynghiepdaytoan