Một số mô hình điều khiển tuyến tính

Để có thể ứng dụng trong điều khiểnthực tiễn, các nhà toán học và kỹ sư cần phải đảm bảo về mặt lý thuyết dángđiệu của quỹ đạo trạng thái cũng như các thông số và quy tắc điều khiển.Muốn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

———————o0o——————–

DƯƠNG THỊ KIM GIANG

MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

HÀ NỘI-2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

———————o0o——————–

DƯƠNG THỊ KIM GIANG

MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Giảng viên hướng dẫn

PGS TS Lê văn Hiện

HÀ NỘI-2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là bài viết của tôi, được hoàn thành dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận này

là hoàn toàn trung thực, mọi thông tin đều được trích dẫn và ghi rõ nguồngốc trong mục tiêu tài liệu tham khảo

Nếu phát hiện có bất cứ gian lận nào, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Sinh viên thực hiện

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được thực hiện tại Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện

Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Văn Hiện, người đã địnhhướng và chỉ dẫn sát sao trong suốt quá trình nghiên cứu, triển khai và hoànthành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán và bộ mônToán Ứng dụng đã trang bị cho tôi những kiến thức toán học nền tảng Xincảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các Phòng, Banchức năng của Nhà trường và đặc biệt là Ban Chủ nhiệm Khoa Toán đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthành khóa luận này

Xin cảm ơn gia đình và những người thân luôn bên tôi, ủng hộ, độngviên, và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt chương trình đại học vớikhóa luận tốt nghiệp này

Sinh viên thực hiện

λ(A) Tập các giá trị riêng của ma trận A.

LTI Hệ tuyến tính dừng (linear time-invariant)

LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities)

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 Sơ bộ về lịch sử 4

1.1 Mối đe dọa vô hình 4

1.2 Hệ điều khiển cổ điển và nền tảng của chúng 6

Chương 2 Một số mô hình hệ điều khiển tuyến tính 14

2.1 Một số mô hình điều khiển tuyến tính 14

2.2 Mô hình tuyến tính hóa 24

2.3 Điều khiển phản hồi 27

Chương 3 Ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 31

3.1 Một số kết quả liên quan 31

3.2 Phân tích tính ổn định 32

3.3 Ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính 35

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả, phân tích

và thiết kế các mô hình ứng dụng trong thực tiễn đời sống Chẳng hạn, rấtnhiều mô hình điều khiển trong kỹ thuật, công nghiệp và tự động hóa hoạtđộng dựa trên nguyên lí của hệ điều khiển con lắc ngược (inverted pendulum)như mô tả trên Hình 1 dưới đây

Hình 1: Mô hình con lắc ngược

ở đó u đóng vai trò là lực tác dụng điều khiển để duy trì sự vận hành ổn địnhcủa hệ thống (góc θ biến thiên nhỏ) Để có thể ứng dụng trong điều khiểnthực tiễn, các nhà toán học và kỹ sư cần phải đảm bảo về mặt lý thuyết dángđiệu của quỹ đạo trạng thái cũng như các thông số và quy tắc điều khiển.Muốn vậy, rõ ràng ta cần phải sử dụng các phương trình toán học diễn tảchuyển động của cơ hệ (mô hình hóa toán học), các tính chất của nghiệm(phân tích định tính) và việc thiết kế quy tắc điều khiển Bên cạnh đó, các

mô hình thực tiễn thường có cấu trúc rất phức tạp Các phương trình diễn

tả chúng có thể ở dạng phi tuyến với nhiều tham số và ràng buộc Vì vậy,khi nghiên cứu lý thuyết, chúng ta thường phải nghiên cứu mô hình xấp xỉ(tuyến tính hóa) hay nghiên cứu các mô phỏng trên máy tính (rời rạc hóa).Với mong muốn được tìm hiểu về các mô hình toán học trong lý thuyết điềukhiển, trong khóa luận này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Một số mô hìnhđiều khiển tuyến tính” dựa trên cuốn chuyên khảo [1] và một số tài liệu liênquan khác

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khóa luận là giới thiệu một số mô hình điều khiển tuyến tínhđược ứng dụng trong thực tiễn thông qua việc mô tả bằng các phương trìnhtrạng thái Cụ thể, chúng tôi đi nghiên cứu mô hình, phân tích việc thiết lậpphương trình trạng thái với mô hình tuyến tính; sử dụng phương pháp tuyếntính hóa trong việc thiết lập phương trình trạng thái với mô hình điều khiểnphi tuyến Đồng thời, chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tính ổn định vàthiết kế điều khiển ổn định hóa một số mô hình điều khiển tuyến tính trìnhbày trong khóa luận

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu trong khóa luận là một số mô hình điều khiểntrong kỹ thuật

• Phạm vi nghiên cứu bao gồm:

1 Phân tích mô hình

2 Thiết lập phương trình trạng thái dạng tuyến tính

3 Phương pháp tuyến tính hóa thiết lập phương trình trạng thái với

mô hình điều khiển phi tuyến

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, Khóa luậnđược chia thành 03 chương Chương 1 giới thiệu sơ bộ về lịch sử và sự pháttriển của lĩnh vực điều khiển tự động các hệ tuyến tính và một số vấn đề cơbản liên quan đến hệ điều khiển Chương 2 trình bày một số mô hình điềukhiển tuyến tính Cụ thể, chương này giới thiệu một số mô hình vật lý, kĩthuật được mô tả thông qua các phương trình trạng thái Đồng thời, trongchương này, chúng tôi cũng giới thiệu mô hình tuyến tính hóa của một số hệđiều khiển phi tuyến Chương 3 trình bày một số kết quả nghiên cứu địnhtính về hệ điều khiển tuyến tính bao gồm tính ổn định, tính điều khiển được

và vấn đề thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính

Chương 1

SƠ BỘ VỀ LỊCH SỬ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ bộ về lịch sử của lý thuyết điềukhiển tuyến tính từ nguồn gốc, một số phương pháp điều khiển cổ điển chođến lý thuyết điều khiển hiện đại

1.1 Mối đe dọa vô hình

Các tiến bộ khoa học và công nghệ xảy ra trong các nấc thang của sự sáng tạonhiều thiết bị Trong lịch sử rất xa xưa, các thiết bị này rất đơn giản nhưng

đã chứa đựng nhiều tiến bộ như đồng hồ nước (năm 270 trước công nguyên),đồng hồ cơ (năm 1283 sau công nguyên), nồi hơi (1681 sau công nguyên) haymáy hơi nước (trước những năm 1700) Gần đây hơn, các thiết bị được phátminh có phần phức tạp hơn như động cơ đốt trong vào khoảng 1886, chế độbay tự động (1914) hay bộ khuếch đại điện tử (1912) Điều thường khôngđược nhận diện về những tiến bộ này là tất cả chúng đều phụ thuộc rất lớnvào việc sử dụng điều khiển phản hồi hoặc điều khiển tự động

Đồng hồ nước có trước năm 270 trước công nguyên nhưng được cải thiệnmột cách đáng kể về độ chính xác bởi nhà phát minh người Hy Lạp, Ktesibios,người đã phát minh ra bộ điều chỉnh phao cho đồng hồ vào thời kì này Cácđồng hồ cơ sử dụng hệ thống điều chỉnh bằng dây cót và bánh răng cho độchính xác hơn nhiều so với đồng hồ nước và lần đầu tiên được nhìn thấy ởchâu Âu vào khoảng 1283 Nồi hơi được sử dụng cho nhiều mục đích trongnhững năm 1600 và trở nên thông dụng với việc phát minh ra van an toàn ápsuất hơi vào năm 1681 bởi Dennis Papin Động cơ hơi nước trở thành độnglực chính cho Cách mạng Công nghiệp với phát minh bộ điều khiển ly tâmvào năm 1788 của James Watt Nhà vệ sinh xả nước được Thomas Crappertinh chỉnh bằng cách sử dụng bộ điều chỉnh phao và ông đã nhận được tước

hiệu “Hiệp sĩ” từ Nữ hoàng Victoria Do đó, ngay cả trong thời kì đầu, điềukhiển phản hồi hay bộ hiệu chỉnh đã đóng một vai trò hết sức quan trọngnhưng thường gần như vô hình trong việc làm cho các thiết bị kỹ thuật thậmchí đơn giản hoạt động trong thực tế.

Gần với hiện tại hơn, động cơ đốt trong diesel đã có thể trở nên phổbiến với việc tạo ra một bơm điều chỉnh áp suất nhiên liệu bởi Otto Dieselvào năm 1889 Một thiết bị lái tự động hoặc tăng cường ổn định dựa trênviệc sử dụng con quay hồi chuyển lần đầu tiên được trình diễn tại một triểnlãm hàng không ở Paris năm 1914 bởi Lawrence Sperry Các bộ khuếch đạiđiện tử được chế tạo bởi Edwin Armstrong vào năm 1912, sử dụng phản hồidương trong các máy thu sóng để tăng độ nhạy của chúng, giúp thu sóng vôtuyến thực tế Sau đó bộ khuếch đại phản hồi âm được Harold Black chế tạovào năm 1927, giúp giảm “méo” trong bộ khuếch đại tần số âm thanh chomáy đàm thoại và tái tạo nhạc sau này Máy bay ném bom chính xác đã đượchiện thực bằng cách sử dụng các bộ lặp đồng bộ để gửi dữ liệu tốc độ khôngkhí, gió và độ cao đến một máy tính đơn giản được sử dụng trong thiết bịngắm bom Norden (các thiết bị này được Mỹ sử dụng rộng rãi trong các cuộctấn công ném bom chống lại phát xít Đức trong Thế chiến thứ hai) Một lầnnữa điều khiển phản hồi và điều khiển tự động cũng là phần khuất hay vôhình (nhưng không ngừng tăng lên) trong hoạt động của những phát minhrất thành công này

Trong lịch sử sau đó, điều khiển phản hồi đã trở thành những “sợi chỉ”xuyên suốt trong nhiều cải tiến công nghệ quan trọng Trong nhiều khía cạnh,những tiến bộ công nghệ này đã làm lu mờ điều khiển tự động nhưng điềukhiển phản hồi đã tạo điều kiện cho nhiều sự phát triển Theo Berstein (2002)điều khiển phản hồi đã tạo ra hầu hết các làn sóng phát triển khoa học vàcông nghệ lớn bao gồm “Cách mạng khoa học, Cách mạng công nghiệp, Kỷnguyên hàng không, Thời đại vũ trụ và Thời đại điện tử” Do đó, điều khiểnphản hồi là một “sự đe dọa vô hình” trong lịch sử công nghệ Điều khiển tựđộng cho phép công nghệ hiện đại giống như các máy tính và phần mềm hiệnđại nhưng lại ít nhìn thấy hơn

1.2 Hệ điều khiển cổ điển và nền tảng của chúng

Điều khiển cổ điển bắt nguồn từ thời kỳ nguyên thủy của thiết kế hệ thốngđiều khiển Thời kỳ này được đặc trưng bởi nhiều phát minh kỹ thuật trựcquan và thiếu cơ sở lý thuyết cơ bản (trừ một vài trường hợp ngoại lệ) Thôngthường các thiết bị cơ khí thông minh hơn đã được sử dụng để thực hiện cácchiến lược điều khiển thực tế Thời kỳ này kéo dài từ thời cổ đại cho đến đầuThế chiến thứ hai, khoảng năm 1940 Ở giai đoạn này, các yêu cầu của chiếntranh cùng với sự sẵn có của các thiết bị điện tử và các công cụ lý thuyếtthích nghi từ ngành công nghiệp truyền thông đã có thể chuyển sang thời kỳ

cổ điển của sự phát triển hệ thống điều khiển

1.2.1 Thời kì phát triển nguyên thủy từ khi các công cụ lý

thuyết được sử dụng trong phân tích các hệ điều khiển

Sự ghi nhận chung về giá trị của các hệ thống điều khiển xuất hiện trongCách mạng Công nghiệp khi James Watt bắt đầu sử dụng bộ điều chỉnh tốc

độ cho động cơ hơi nước của mình vào khoảng năm 1788 Bản thân phát minhnày không phải là mới: cối xay gió và cối xay nước đã sử dụng các thiết bịtương tự trước đó nhưng ứng dụng cho các động cơ có sẵn một cách rộng rãi

đã đưa vấn đề điều khiển phản hồi trở thành vấn đề mở

Rất không may trong một số trường hợp sử dụng của bộ điều chỉnh dẫnđến sự mất ổn định tốc độ và để giải quyết vấn đề này, cần phải xây dựngmột lý thuyết để giải thích tại sao điều này có thể xảy ra Phân tích đầu tiên

về các bộ điều chỉnh tốc độ được thực hiện bởi George Airy (nhà thiên vănHoàng gia Anh tại Greenwich từ năm 1835) Các hệ cơ học hoạt động theochế độ của đồng hồ đã được sử dụng để điều khiển chuyển động của các kínhthiên văn lớn để bù cho sự quay của trái đất và chúng được gắn với các bộđiều tốc để cải thiện độ chính xác của chúng Sử dụng năng lượng và xem xétđộng lượng góc, Airy đã thiết lập một phương trình vi phân phi tuyến giảnlược cho hệ thống vào khoảng năm 1840 Xét dạng tuyến tính hóa của phươngtrình này, có thể chỉ ra rằng trong một số ngữ cảnh, các dao động nhỏ có thể

tạo ra tăng trưởng cấp mũ và do đó là đáng kể cho sự mất ổn định.

Một cuộc tấn công trực tiếp vào vấn đề của các bộ điều chỉnh tốc độđộng cơ đã được James Clerk Maxwell tạo ra trong một bài báo năm 1868,

“Về các bộ điều chỉnh” Maxwell thiết lập các phương trình vi phân cho hệtổng (overall systems) và tuyến tính hóa chúng Công trình này chỉ ra rằngđối với sự ổn định, phương trình đặc trưng của hệ tuyến tính phải có cácnghiệm với phần thực âm Các bài báo của Airy từ và Maxwell đã ảnh hưởngmột cách gián tiếp đến công trình của Edward Routh, người đã công bố tiêuchuẩn ổn định nổi tiếng của mình trong một bài luận giải thưởng Adams năm

1877 tại Đại học Cambridge

Độc lập với Airy và Maxwell, I Vyshnegradskii đã nghiên cứu phân tíchcác bộ điều chỉnh ở Nga vào năm 1876 Ở lục địa châu Âu đã có nhiều pháttriển lý thuyết lấy cảm hứng từ bài báo Vyshnegradskii (cũng được xuất bảnbằng tiếng Pháp) Aurel Stodola, người lúc đó đang nghiên cứu điều khiểncác tuabin thủy điện ở Thụy Sĩ, đã ghi lại bài báo của Vyshnegradskii và đềnghị Adolf Hurwitz nghiên cứu bài toán tìm các tiêu chuẩn ổn định cho các

hệ có bậc tùy ý Hurwitz không được chỉ dẫn về công trình của Routh và đãtìm ra dạng riêng mình về các tiêu chuẩn ổn định đơn giản đối với các hệtuyến tính Tiêu chuẩn này ở dạng một tập hợp các bất đẳng thức về địnhthức trong thiết lập của Hurwitz

Năm 1892 Alexandr Lyapunov đã nghiên cứu tính ổn định của một lớprất tổng quát các hệ phi tuyến dựa trên công trình trước đó của Jean-LouisLagrange Trên cơ sở xét năng lượng chung, ông có thể đưa ra một tiêu chuẩn

ổn định tổng quát cho các hệ phi tuyến cũng như các điều kiện mà theo đóphương pháp tuyến tính hóa cho một đánh giá đúng về tính ổn định của

hệ phi tuyến đang xét Bài báo của Lyapunov không được biết đến nhiều ởphương Tây cho đến khoảng năm 1960 khi nó được tái phát minh trong tàiliệu Phân tích và các phương pháp Lyapunov hiện đang được sử dụng rộngrãi trong thiết kế các hệ điều khiển

Gần như cùng lúc (1892-1898) phép tính toán tử (phân tích biến đổiLaplace) được phát minh bởi Oliver Heavyside ở England để phân tích dángđiệu suy giảm của các hệ thống mạch điện tuyến tính Cả phân tích Lyapunov

và phép tính toán tử đóng một phần quan trọng trong sự phát triển của lýthuyết điều khiển trong thế kỷ tới.

1.2.2 Các phát triển thời kì tiền cổ điển

Thử nghiệm với đèn chiếu sáng vào năm 1880, Thomas Edison đã phát hiện rahiệu ứng Edison Hiệu ứng này là một dòng điện có thể chạy qua chân khôngđến một dây dẫn kim loại trong vỏ đèn Không có lời giải thích nào cho hiệuứng này có thể được đưa ra cho đến khi nhận dạng electron vào năm 1897bởi J J Thompson ở Anh Việc phát hiện ra hiệu ứng Edison được tiếp nốivào năm 1904 bởi phát minh ra diode chỉnh lưu nhiệt vào năm 1904 bởi JohnFlemming ở Anh và cuối cùng là phát minh ra bộ khuếch đại ba cực nhiệtcủa Lee de Forest vào năm 1906 (mặc dù ông không hiểu cách thức hoạt độngcủa nó) Đây là sự khởi đầu của Thời đại Điện tử Rất nhanh chóng sau đóphản hồi đã được áp dụng xung quanh bộ khuếch đại triode tạo ra bộ khuếchđại tần số vô tuyến phản hồi dương đầu tiên vào năm 1912 và cuối cùng là

bộ khuếch đại âm thanh phản hồi âm vào năm 1927 Những phát minh mớinày tương ứng là các công trình của Edwin Armstrong và Harold Black.Đầu những năm 1930, Harold Hazen đã có những đóng góp quan trọngcho vấn đề xây dựng các trình mô phỏng cho các vấn đề điều khiển bao gồmnghiệm của phương trình vi phân Hazen đã sử dụng kinh nghiệm thu được

để viết hai bài báo quan trọng xuất bản năm 1934 nghiên cứu về tác độngcủa phản hồi trên các thiết bị cơ điện Đối với những bài báo này, ông đã đặt

ra thuật ngữ “động cơ phục vụ” Sau đó, các hiểu biết về các cơ chế phục vụ

mà Hazen có được đã được sử dụng trong thiết kế hệ thống điều khiển hỏalực nhanh cho tàu Bennett (1993)

Việc sử dụng các mạch khuếch đại trong máy thu tần số vô tuyến và liênlạc qua điện thoại dẫn đến nhu cầu hiểu sâu hơn về bản chất lý thuyết củamạch khuếch đại và lý do cho dáng điệu ổn định và không ổn định Điều nàydẫn đến công trình của Harry Nyquist về độ ổn định của bộ khuếch đại dựatrên phân tích hàm truyền vào năm 1932 và của Hendrik Bode về các đồ thịcường độ và tần số pha của các hàm truyền hệ mở và đóng của một hệ vàonăm 1940 Công trình của Nyquist dẫn đến sự ra đời của tiêu chuẩn ổn định

Nyquist và của Bode trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ đóng bằngcách sử dụng các khái niệm đạt được (gain) và biên pha Trái với các côngtrình trước đó, các tiêu chuẩn ổn định này đã đưa ra ý tưởng về mức độ ổnđịnh tương đối có thể đạt được Các lý thuyết sẵn có đó đều đến từ các ngànhcông nghiệp điện tử và viễn thông Do đó, giai đoạn này được thiết lập chomột giai đoạn phát triển nâng cao của các hệ thống điều khiển vào đầu Thếchiến thứ hai.

Chiến tranh thế giới thứ hai đặt ra yêu cầu phát triển bộ điều khiển điện

tử cho nhiều thiết bị bao gồm súng điều khiển bằng radar, bom định hướnghay hệ thống điều khiển bay tự động Vào thời điểm này, kích thước và mứctiêu thụ điện của bộ khuếch đại triode và pentode đã giảm đáng kể, đồngthời khuếch đại, dải tần số, độ mạnh và độ tin cậy của chúng đã được tănglên Do đó, các thiết bị này đã phổ biến để áp dụng cho các hệ điều khiểncần thiết và hiệu suất của chúng trong các ứng dụng thực tế đã được hiểu

rõ Trong thực tế, các thiết bị tự động thuộc nhiều loại, bao gồm cả nhữngthiết bị được đề cập ở trên, đã được phát triển trong chiến tranh Sự pháttriển vượt bậc về radar và thiết bị điện tử nói chung đã được thực hiện tạiViện Công nghệ Massachusetts trong Phòng thí nghiệm Bức xạ Công trìnhnày được thực hiện bằng cách sử dụng các kỹ thuật miền tần số Nhiều công

cụ thiết kế hệ điều khiển hiện đang được sử dụng xuất hiện từ những nỗ lựcnày bao gồm việc sử dụng các hàm truyền, sơ đồ khối và phương pháp miềntần số

Năm 1947, Nathaniel Nichols đã xuất bản biểu đồ Nichols để thiết kế hệthống phản hồi dựa trên công trình được thực hiện trong Phòng thí nghiệmbức xạ Walter Evans xuất bản năm 1948 kỹ thuật thiết kế phù hợp để xử lý

số lượng lớn các trạng thái khác nhau mô tả chuyển động của máy bay Mộtvấn đề quan trọng trong tất cả các hệ thống điện tử và đặc biệt là radar làtiếng ồn Albert Hall và Norbert Wiener nhận ra tầm quan trọng của vấn đềnày và đã phát triển các phương pháp miền tần số để giải quyết nó Đónggóp của Hall là thiết lập miền tần số ảnh hưởng của nhiễu lên các hệ thốngđiều khiển vào năm 1941 Wiener đã giới thiệu năm 1942 việc sử dụng các

mô hình ngẫu nhiên để xử lý ảnh hưởng của nhiễu trong các hệ động lực vàtạo ra một bộ lọc tối ưu để cải thiện tín hiệu trong hệ thống viễn thông (gọi

là bộ lọc Wiener) Hall và Wiener đã công bố công trình của họ ngay nhữngsau chiến tranh 1946 và 1949 Toàn bộ ghi chú về công việc được thực hiệntại Phòng thí nghiệm bức xạ đã được xuất bản thành một bộ gồm 27 tập

do Louis Fidenour biên tập vào năm 1946 Trong bộ sưu tập này có một tậpriêng về thiết kế hệ điều khiển phản hồi có tên là “Lý thuyết các cơ chế phụcvụ”

1.2.3 Thời kì điều khiển cổ điển

Thời kỳ điều khiển cổ điển được đặc trưng bởi sự tập trung vào các hệ lặpđơn, phản hồi đơn đầu vào và đầu ra (SISO) được thiết kế với các công cụ

lý thuyết được phát triển trong và ngay sau Thế chiến thứ hai Hầu hết cácphần này chỉ có thể được áp dụng cho các hệ tuyến tính dừng (LTI) Kháiniệm cơ bản chính là các đặc trưng hệ đóng có thể được xác định duy nhấtthông quan các thuộc tính của hệ mở Điều này bao hàm các tính chất quantrọng về loại bỏ nhiễu quan và lỗi trạng thái cân bằng của hệ phản hồi.Các công cụ lý thuyết được phát triển bởi Nyquist, Bode, Evans vàNichols trước đó và mối liên hệ giữa các phương pháp này đã được làm rõ và

mở rộng Hiệu suất được đánh giá thông qua băng thông, mức đạt dược vàbiên pha hoặc thời gian gia tăng, lỗi trạng thái ổn định, cộng hưởng và giảmxóc Mối liên hệ giữa các mục tiêu về hiệu suất đã được hiểu rõ Các phươngpháp tinh chỉnh để điều chỉnh và bù (sử dụng các bộ bù/trễ) vòng đơn đãđược phát triển Tuy nhiên, các vòng lặp liên quan phải được đóng cùng mộtlúc bằng cách sử dụng quy trình thử và sai không thể đảm bảo hiệu suất tốt,thậm chí tính ổn định

Trong thời kỳ cổ điển, bộ điều khiển phản hồi đã trở thành một phầncủa nhiều quy trình công nghiệp vì các phương pháp áp dụng chúng đã đượcbiết đến và do tính khả dụng thương mại của bộ điều khiển điện tử, khí nén

và thủy lực Điều này làm cho bộ điều khiển phản hồi là một phần của ngay

cả các thiết bị gia dụng cũng như các hệ thống kỹ thuật tiên tiến hơn Khicác bóng bán dẫn trở nên thông dụng trong những năm 1960, điều khiển cổđiển thậm chí còn lan rộng hơn

Vào khoảng 1956, một mối quan tâm lớn đã được phát triển trong việc

điều khiển các hệ thống hàng không vũ trụ, đặc biệt là máy bay, tên lửa vàphương tiện không gian: Thời đại vũ trụ đã bắt đầu Các hệ thống như vậymột cách tự nhiên có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra (MIMO) làm hạn chế việc

sử dụng Lý thuyết điều khiển cổ điển Mặc dù phân tích vòng lặp đơn có thểđược thực hiện trên các hệ thống như vậy, sự đan xen của các phản hồi trongcác phần khác nhau của đối tượng điều khiển khiến không thể sử dụng cácphương pháp thiết kế SISO Ngoài ra, các tham số không chắc chắn, lỗi môhình hóa cùng với nhiễu hệ thống ngẫu nhiên và nhiễu đo lường làm tăng bậccủa hệ được điều khiển và điều này làm gia tăng khó khăn trong thiết kế.Vấn đề trong việc điều khiển các vật thể đạn đạo (bay tự do) có thể thiếtlập về mặt vật lý theo một tập các phương trình vi phân phi tuyến Động lựchọc cảm biến và tiếng ồn có thể dễ dàng được tích hợp trong mô tả của chínhđối tượng điều khiển Điều này tự nhiên dẫn ta trở lại thời kì vấn đề miềnthời gian được Airy và Maxwell sử dụng vào những năm 1800 Một giúp đỡquan trọng cho vấn đề này chính là các công thức biến phân cổ điển trong cơhọc giải tích được đưa ra bởi Lagrange và Hamilton dựa trên các nguyên líbảo toàn vật lý Cách tiếp cận bằng phương trình vi phân này để xây dựngbài toán được gọi là phương pháp biến trạng thái hoặc phương pháp khônggian trạng thái trong công nghệ điều khiển

Có thể nói thời kỳ điều khiển cổ điển kéo dài trong khoảng từ năm 1945đến 1956 và đã tạo ra Thời kỳ điều khiển hiện đại từ năm 1956 đến nay Việcchuyển đổi từ giai đoạn trước mang tính bắt buộc bởi yêu cầu phân tích cácđối tượng điều khiển phức tạp hơn và các hệ thống điều khiển cần được thiếtkế

1.2.4 Thời kì điều khiển hiện đại

Số lượng lớn trạng thái trong hệ MIMO và số lượng vòng lặp phản hồi có thể

có trong hệ đóng khiến chúng ta cần phải nghiên cứu quyết định về các mức

độ phản hồi trong các vòng lặp khác nhau được đưa ra bằng cách nào Đâykhông phải là một câu hỏi đơn giản và thực tế khó có thể đưa ra bất kỳ phátbiểu mang tính cân bằng, hợp lý nào về những gì có thể được yêu cầu Để giảiquyết vấn đề này, người ta thấy hợp lí khi cố gắng thiết kế các hệ phản hồi

tối ưu theo nghĩa cân bằng công suất đầu vào chống lại lỗi/nhiễu chấp nhậnđược ở đầu ra và (hoặc) trạng thái của hệ Tất nhiên điều này phải được thựchiện theo cách sao cho toàn bộ hệ thống cũng như các vòng lặp riêng biệttrong đó ổn định.

Đây sẽ là một vấn đề nan giải nếu không phải vì công trình được thựchiện trước kia để giải quyết các vấn đề tối ưu hóa vật lý trong những năm 160,

1700 hay 180 bởi Leonard Euler, Bernoullis (Jacob, I, II, Johannes, I, II, III,

IV , Daniel và Nicolaus, I, II, II), Joseph-Louis Lagrange, William Hamilton

và những người khác Những nhà bác học này đã đưa ra nghiệm tổng quátcho một số bài toán cực tiểu hóa và cực đại hóa đã được áp dụng để giải cácvấn đề ước lượng và điều khiển MIMO trong quá khứ và hiện tại bằng cách

sử dụng Phép tính biến phân Công trình khởi đầu trong việc sử dụng cácphương pháp toán học này vào các hệ điều khiển khoảng năm 1957 và tiếptục cho đến hiện tại

Trong Lý thuyết điều khiển hiện đại, ta thường cực tiểu hóa chỉ số hiệusuất kiểu hàm năng lượng toàn phương suy rộng Điều này có thể xem nhưmột yêu cầu tự nhiên vì hầu hết các hệ thống trong tự nhiên hoạt động theocách cực tiểu tiêu thụ năng lượng

Năm 1957 Richard Bellman đã áp dụng quy hoạch động vào điều khiểntối ưu các hệ rời rạc Công trình này đã chỉ ra rằng có thể giải quyết các vấn

đề điều khiển dựa trên chỉ số hiệu suất sinh ra trong điều khiển phản hồi hệđóng Lev Pontryagin đã đề xuất một nguyên lí cực đại vào năm 1958 giải bàitoán cực tiểu thời gian điều khiển cho một lớp đối tượng sử dụng điều khiểnrơle

Vào năm 1960 và 1961, một loạt các đột phá đã được đưa ra với việcxuất bản bốn bài báo của Rudolf Kalman và đồng nghiệp Các bài báo này đềcập đến (1) điều khiển tối ưu các hệ rời rạc (với J Bertram); (2) các phươngtrình thiết kế cho Bộ điều chỉnh toàn phương tuyến tính (LQR); (3) lý thuyếtước lượng và lọc tối ưu cho các hệ rời rạc; và ( 4) bộ lọc Kalman liên tục (vớiRichard Bucy) Hai bài báo điều khiển đầu tiên dựa trên cực tiểu hóa chỉ sốhiệu suất năng lượng điều khiển tổng quát Hai bài sau với việc áp dụng các

kỹ thuật tương tự cho vấn đề lọc (hoặc ước lượng) tối ưu, đó là sự khái quát

hóa các kỹ thuật khớp bình phương nhỏ nhất của Carl Fredrik Gauss Tất cảcác giải pháp này ngay lập tức được áp dụng với điều khiển máy tính khi máytính lần đầu tiên trở nên phổ biến cho các ứng dụng trực tuyến Do đó, bốnđột phá lý thuyết ở trên đã tìm thấy ứng dụng thực tế ngay lập tức trong cácchương trình về không gian Bộ điều chỉnh LQR và bộ lọc Kalman tạo thànhmột phần trung tâm trong nhiều tài liệu về điều khiển hiện đại.

Chương 2

MỘT SỐ MÔ HÌNH HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này chúng tôi trình bày một số mô hình trạng thái các

hệ điều khiển vật lý, kĩ thuật Phương pháp tuyến tính hóa các mô hình phituyến tính cũng được trình bày trong chương này

2.1 Một số mô hình điều khiển tuyến tính

2.1.1 Mạch RLC

Hình 2.1: Động lực mạch RLC

Trên hình 2.1 là một mạch RLC thụ động dạng đơn giản Ta muốn xâydựng một mô hình trong đó điện áp cực v là đầu vào và điện áp trên tụ vC làđầu ra Các định luật Ohm và Kirchhoff cho ta mối quan hệ sau đây

Ri(t) + Ldi(t)

dt + vC(t) = v(t). (2.1)Đối với tụ, ta có

Hệ thống được mô tả bởi hệ hai phương trình vi phân thường cấp 1 Tathường viết lại hai phương trình trên dưới dạng một phương trình vi phândạng vectơ-ma trận sau đây

Hình 2.2: Sơ đồ khối của mạch RLC

Phương trình (2.4) hoặc (2.5) được gọi là trạng thái phương trình của

hệ thống trên Hình 2.1 Vì điện áp tụ là đầu ra nên một phương trình thứhai cần thêm vào để mô tả vấn đề, phương trình đầu ra là

y = vC =h0 1ix. (2.6)

Sự kết hợp của các phương trình (2.5) và (2.6) được gọi là mô hình khônggian trạng thái của hệ thống Trong Ví dụ này, vectơ trạng thái hai chiều đượcchọn là x =

x và u Ma trận A và B có các phần tử không đổi và do đó mô hình này đượcgọi là mô hình dừng (bất biến thời gian)

Mô hình không gian trạng thái tổng quát có thể là phi tuyến và đượcbiểu diễn dạng

˙x(t) = f (x(t), u(t), t), y(t) = g(x(t), u(t), t),

(2.7)

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển đầu vào và

y(t) ∈Rp là vectơ đo được đầu ra Các hàm f và g là các hàm vectơ,

(2.8)

Hơn nữa, nếu tất cả các phần tử ma trận là hằng số, các phương trình nàytrở thành mô hình tuyến tính dừng

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t).

(2.9)

Các đầu vào của hệ thống thường được chia thành hai nhóm: Nhóm cácđại lượng mà ta có thể thao tác và nhóm các biến được coi là nhiễu Loại biếnthứ hai được xác định bởi thế giới xung quanh hệ thống và các giá trị củachúng được giả thiết nằm ngoài sự kiểm soát của nhà thiết kế Trong nhữngtrường hợp đó, phương trình trạng thái có thể được viết dạng

˙x(t) = f (x(t), u(t), v(t), t) (2.10)hoặc trường hợp hệ dừng

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + B v v(t) (2.11)trong đó v(t) là vectơ nhiễu, v(t) ∈Rp và Bv∈Rn×p

Các thành phần của vectơ trạng thái là các hàm của thời gian Trongmột khoảng thời gian [t0, T ] xác định giới hạn bởi thời điểm đầu t0 và thời

điểm cuốiT, vectơ trạng thái mô tả dáng điệu của hệ trong không gian vectơ

n chiều Đường đi của điểm cuối vectơ được gọi là quỹ đạo Một ví dụ đượccho trên Hình 2.3 về một hệ ba chiều

Hình 2.3: Một quỹ đạo trạng thái trong không gian vectơ 3 chiều

2.1.2 Động cơ điện một chiều với khớp nối linh hoạt

Hình 2.4 mô tả một động cơ điện một chiều có khớp nối linh hoạt giữa quántính phần ứng (armature inertia) của động cơ và quán tính tải.R và L là điệntrở và độ tự cảm của cuộn dây phần ứng,k và b tương ứng là hằng số độ cứng

lò xo và hệ số giảm chấn bên trong nhớt (tuyến tính) của khớp nối linh hoạt

và J m và Jl là mô men quán tính của phần ứng và tải của động cơ Điện ápngoài phần ứng u là đầu vào của hệ thống và vị trí góc tải θl là đầu ra

Hình 2.4: Động cơ một chiều khớp nối linh hoạt

Nếu tách rời hai phần quán tính và đưa vào bộ ba biến trạng thái