một trong các đại lượng (không phải là đại lượng phải tìm) bằng hai cách dựa theo giả thiết của bài toán hình học, trong đó có đại lượng phải tìm, sau đó cân bằng hai biểu thức này của đ[r]
Trang 1H uỳ
nh
Phương pháp cân bằng khi giải toán hình học
Phương pháp cân bằng là gì? Đó là phương pháp biểu thị
một trong các đại lượng (không phải là đại lượng phải tìm) bằng
hai cách dựa theo giả thiết của bài toán hình học, trong đó có đại
lượng phải tìm, sau đó cân bằng hai biểu thức này của đại lượng
trung gian để tìm được đại lượng chưa biết
Hãy xét một số ví dụ sau đây:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn mà hai cạnh là a, b và bC = α
Tìm đường cao CH
Đại lượng trung gian ở đây là diện tích tam giác Thật vậy ta hãy
biểu thị diện tích bằng hai cách: S = 1
2ab sin α và S = 1
2AB.C H Theo định lí hàm số côsin ta có:
AB = √
a2 + b2− 2ab cos α Dùng phương pháp cân bằng hai biểu
thức của S ta có:
ab sin α = CH.√
a2 + b2 − 2ab cos α Suy ra CH = √ ab sin α
a2 + b2− 2ab cos α
a
b
A
B
C
H
α
Lưu ý thêm rằng nếu α = 90◦ thì ta có CH = √ ab
a2 + b2
Tìm các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao CH và trung
tuyến CM chia góc C thành ba góc bằng nhau
Ở đây ta hãy cân bằng hai biểu thức về AM và BM
Thật vậy, đặt \AC H = M C H =\ BC M = x\ và CH = h (tham số
phụ) ta có:
H A = h tan x, MH = h tan x, AM = 2h tan x (1)
Do BM = BH − MH nên BM = h tan 2x − h tan x (2)
Cân bằng (1) và (2) được phương trình:
2h tan x = h tan 2x− h tan x Thay tan 2x = 2 tan x
1− tan2x rồi giải phương trình đối với ẩn là tan x ta được:√
3 tức x = 30◦
x x x
A
M
H
Trang 2H uỳ
nh
Vậy tam giác ABC có các góc là bA = 60◦, bB = 30◦, bC = 90◦ Lưu ý rằng ta có thể giải bài toán này bằng cách dùng đại lượng trung gian là diện tích tam giác ABC
Tìm góc phẳng ở đỉnh của một hình chóp tứ giác đều biết rằng góc này bằng góc tạo với cạnh bên của hình chóp với mặt phẳng đáy Đặt [SAO = ASD = x[ trong hình chóp
đều SABCD mà tâm của đáy là O
Ta hãy biểu thị cạnh bên SA bằng hai
cách:
Gọi AB = a (tham số phụ)
Từ tam giác SOA ta có:
SA = OA
cos x =
a√ 2
2 cos x
x
x
A
B
C b D
S
F
Xét tam giác SAM trong đó M là trung điểm của cạnh AD (như thế SM⊥AD) ta có: SA = a
2 sin x 2 Cân bằng hai biểu thức của SA được: a
√ 2
2 cos x =
a
2 sinx 2 Thay sinx
2 =
r
1− cos x
2 ta có phương trình bậc hai cos2x + cos x− 1 = 0
Giải ra được cos x =
√
5− 1
√
2 , từ đó x ≈ 39◦
nhau
Cho lăng trụ tam giác có hai mặt bên AA0B0B và AA0C0C vuông góc với nhau và là hai hình vuông cạnh m Tìm khoảng cách giữa hai đường chéo AC0 và BA0 của hai mặt bên đó
Để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC0
và BA0 qua điểm A0 trong mặt bên AA0C0C ta kẻ đường thẳng A0D
song song với đường thẳng AC0
Trang 3H uỳ
nh
Thế thì đường thẳng AC0 song song với mặt phẳng A0BD, tức
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng AC0 đến mặt phẳng A0BD bằng khoảng cách phải tìm giữa AC0 và BA0
Ta tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng A0BD Khoảng cách này chính là
đường cao hạ từ đỉnh A của lăng trụ đã
cho tới đáy A0BD Gọi khoảng cách này là
x rồi xét tam giác đều A0DB có cạnh bằng
a√
2 Ta có diện tích tam giác A0BD bằng
a2√
3
2
x
bC0
b C
B
A
Db b
F
O
Bây giờ ta biểu thị bằng hai cách thể tích của lăng trụ:
V = 1
3.dt4A0BD.x = 1
6a
2√ 3.x
V = 1
3.dt4ABD.AA0 = 1
6a
2 Cân bằng hai biểu thức này của V ta được phương trình √3.x =
a Từ đó x = a
√ 3
3 Tài liệu được trích từ "Trăm lẻ một chuyện lí thú về Toán" của tác giả Lê Hải Châu
Trang 4H uỳ
nh