Sử dụng quan hệ vuông góc giải quyết một số bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng ở trường phổ thông

Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy vềmôn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi thường trăn trởvới những khó khăn của học trò

Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy vềmôn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi thường trăn trởvới những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.

Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là bài toán thường xuất hiện ởcác kì thi vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học trò, bên cạnh đó nócũng là bài toán khó với nhiều đối tượng học trò đặc biệt là với các em có năng lựctrung bình Băn khoăn trước những khó khăn của học trò, tôi tìm tòi và quyết địnhchọn phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” để giúp các em tiếpcận loại toán này một cách hiệu quả nhất

Trong số những bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng có một lớp cácbài toán thiên về tính chất hình phẳng thuần túy đã gây cho học trò nhiều khó khănkhi tiếp cận Vì vậy tôi chọn đề tài là “Phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toánhình giải tích từ những mối quan hệ giưã các điểm, điểm và đường thẳng” đểnghiên cứu

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toánhình giải tích trong mặt phẳng thông qua phương pháp dạy học: “Phát hiện và giảiquyết vấn đề”

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh khối 10, 11 trường THPT Đông Sơn I

- Học sinh khối 12 ôn thi vào các trường đại học trường THPT Đông Sơn I

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nhiều nguồn khác nhau liên quan đến hìnhhọc phẳng

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

- Giảng dạy các tiết bài tập toán tại các lớp 11a2, 12a2 trường THPT ĐôngSơn I để nắm bắt tình hình thực tế của học sinh

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Một số điểm cần lưu ý

1.1 Những bài toán liên quan đến tam giác vuông (đặc biệt là tam giác vuông cân),

hình chữ nhật (đặc biệt là hình vuông), hình thang vuông thì ta có thể đặt một cạnhbằng a Từ đó sử dụng giả thiết, định lý Pitago, định lý hàm số côsin… sẽ xác địnhđược các yếu tố cần thiết thuận lợi cho việc giải quyết bài toán đó Bài toán cơ bản

về khoảng cách và bài toán cơ bản về góc cũng thường được sử dụng trong chủ đềnày

1.2 Vẽ hình chính xác, từ đó dự đoán xem có hai đường thẳng nào vuông góc với

nhau hay không Từ đó sử dụng định lý Pitago, phương pháp vectơ hay cộng góc

để chứng minh dự đoán này Việc phát hiện ra yếu tố vuông góc có thể là mấu chốt

để chúng ta giải quyết bài toán

1.3 Sử dụng định lý Talet, tam giác đồng dạng để so sánh khoảng cách từ 2 điểm

đến một đường thẳng Từ đó sử dụng bài toán cơ bản về khoảng cách hoặc phươngpháp tham số hóa để giải quyết bài toán

2 Một số tính chất của hình học phẳng vận dụng vào bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tính chất 1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Tính chất 2 Định lý hàm số cosin, hệ quả định lý hàm số cosin, định lý hàm số

sin, hệ quả định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác.

Tính chất 3 Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và

B A

Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có tính chất sau

Tính chất 4 Cho hình vuông ABCD. Gọi M N, lần lượt thuộc AB và BC sao

Tính chất 6 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC và,

M N lần lượt là trung điểm của AH CD, . Khi đó BM MN .

Chứng minh Gọi E là trực tâm của

tam giác MBC. Khi đó ME / /AB

(vì cùng vuông góc với BC). Do M

là trung điểm AH nên ME là đường

trung bình của tam giác HAB. Suy

Vì E là trực tâm của tam giác MBC nên BM CE  BM MN.

Thay đổi hình thức của tính chất 4 ta có các hệ quả sau

6.1 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, 1 .

2

AB CD Gọi H là hình chiếucủa D lên AC và M là trung điểm CH. Khi đó MB MD.

M H

C

B A

6.2 Cho tam giác ABC vuông tại B có hai trung tuyến BN và CM. Gọi H làhình chiếu của B lên CM, E là trung điểm của CH. Khi đó EN EB.

E B

A

N

C

H M

M H

C

B A

D

Trên đây là những tính chất được khai thác nhiều trong các bài toán

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG

- Kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung

bình

- Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập toán về phần hìnhgiải tích trong mặt phẳng cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn toán,chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán hình giải tích trong mặt phẳng

III GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Đưa ra các bài toán cụ thể trong các tiết dạy học bài tập, phân tích từng bàitoán cụ thể để định hướng cho học sinh cách giải quyết bài toán và những bàimang tính chất tương tự

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Sau khi áp dụng kết quả nghiên cứu của đề tài, qua việc kiểm tra khảo sát

cho thấy có trên 70% các em học sinh có hứng thú với bài học và trong số đó cókhoảng 40% các em học sinh biết cách vận dụng một cách linh hoạt, nhất là số các

em đang chuẩn bị thi vào các trường đại học

- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh đang học khối 10cũng như các em học sinh khối 12 THPT đang ôn thi vào các trường đại học và caođẳng

V BÀI TẬP ÁP DỤNG

-Trong khuôn khổ của đề tài, sau đây tôi xin trình bày một số bài toán hình

học giải tích phẳng liên quan đến tam giác vuông, hình thang vuông, hình chữnhật và hình vuông

- Ở mỗi bài toán đều có sự phân tích bài toán và đưa ra hướng giải để giúpcác em học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng hơn, qua đó học sinh có thểvận dụng cho những bài toán tương tự

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A

và B M9; 1   là trung điểm AB, CD: 2x y  4 0  Tìm toạ độ của C biết rằng

  3

2

vuông này có các cạnh liên

hệ với nhau qua đẳng thức

  3

, 2

A

Lời giải Đặt AB 6 x Suy ra BC 6 ,x AD = 4x Do đó

A trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng  : 2x y  7 0  Gọi H

là hình chiếu của A lên trung tuyến BN của tam giác ABC Biết rằng I  1; 9 làtrung điểm BH. Tìm tọa độ các đỉnh B và C.

Phân tích bài toán Dựa vào tính chất 6 hay hệ quả 6.2

thì ta có được MI AI. Từ đó viết được phương trình

của MI và tìm được tọa độ của M.

Lời giải Gọi P là trung điểm của AH. Ta có

B A

A đỉnh C thuộc đường thẳng  : 2x y  9 0  E là điểm đối xứng với D

qua C. Hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE là H 3; 13  Tìm tọa

độ các đỉnh B C,

Phân tích bài toán Nút thắt của bài toán này là AH HC. Từ đó tìm được tọa

độ của đỉnh C.

Dễ thấy BE / /AC nên lập được phương trình của BE. Từ đó tham số hóa đỉnh B

(ẩn b). Dựa vào phương trình BA BC . 0 để tìm b.

DM x y  

Phân tích bài toán Ta đi tính góc

 ,

MDC từ đó viết được phương trình

đường thẳng CD dựa vào bài toán cơ bản

Gọi phương trình đường thẳng CD là CD a x:   6 b y  4  0. Ta có

M là trung điểm của BC. Hình chiếu vuông góc của A lên BD là H5; 3 ,

đường trung tuyến AK của tam giác AHD có phương trình x 4y 13 0  Viếtphương trình cạnh BC .

Phân tích bài toán Từ tính chất 6 ta có

Suy ra tọa độ của A. Lưu ý rằng, đường

thẳng BC đi qua M và song song với AD.

E

M H

K

B A

Lời giải Gọi E là trực tâm của tam giác ABK. Khi đó KE / /AD (cùng vuônggóc với AB). Vì K là trung điểm của DH nên KE là đường trung bình của tamgiác ADH. Suy ra

  thuộc đoạn BC sao cho

3BM  2MC, điểm N  2;4 thuộc đoạn CD sao cho ND  2NC. Tìm toạ độ cácđỉnh của hình vuông biết A có hoành độ dương.

Phân tích bài toán Mấu chốt ở bài

toán này là dự đoán và chứng minh

được AM MN. Từ đó viết được

phương trình của AM và tham số hóa

điểm A. Từ độ dài của MN, sử dụng

định lý Pitago ta sẽ tính được độ dài

Tam giác ABN vuông cân nên B   4; 2 

Chú ý B M, cùng phía so với AN. Từ đó tìm được C  5;5 , D 4;2 

đã cho, biết rằng đỉnh C có tọa độ nguyên và đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 1

Phân tích bài toán Gọi I là trung điểm AM.

Dự đoán và chứng minh IMN vuông cân tại I

nên tìm được tọa độ của I, suy ra tọa độ của A.

Vì C   :x 2y 6 0  nên ta tham số hóa điểm

C với ẩn c. Từ đó tìm được tọa độ tâm E của

hình vuông đã cho theo c. Từ tính chất

EN AC ta tìm được c. Suy ra tọa độ của C, E,

,

B D.

E H

Lời giải Ta có tam giác NAM vuông tại N và NMB NBA  45 0 nên tam giác

NAM vuông cân tại N. Gọi I là trung điểm của AM. Khi đó tam giác IMN

vuông cân tại I. Gọi H là trung điểm của MN thì IH là đường trung trực của.

MN Do đó

Vì đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 1 nên A0; 0 

Vì C   :x 2y 6 0   C c2  6; c Gọi E là tâm của hình vuông Khi đó

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,

đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua A. Điểm E  11; 15 thuộc

đường thẳng DH, BC x:  3y 8 0,  đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác

ACH có phương trình 7x 11y 6 0  Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .

Phân tích bài toán Trước hết tìm được

tọa độ của C. Gọi M là trung điểm của

.

AH Mấu chốt ở bài toán này là dự đoán và

chứng minh được CM DH. Viết được

phương trình của DH và tìm được H, M,

B A

Lời giải Gọi M là trung điểm của AH. Vì C BC CM nên C7; 5 

Ta chứng minh CM DH bằng phương pháp vectơ Ta có

Lời giải Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Khi

đó AI BE BG, AE nên G là trực tâm của tam

giác ABE. Suy ra

/ /

GE AB  GE AD

Từ đó suy ra tam giác IGE vuông cân tại I.

Đường trung trực của GE là  :x  2 I  2; t

Ta có

I E M

I t

Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M 5; 3

là trung điểm của AB. Điểm E thuộc AC sao cho 3 .

4

AE  AC Biết rằng: 3 8 0.

DE x y   Viết phương trình cạnh CD .

Phân tích bài toán Mấu chốt của bài toán

này là dự đoán và chứng minh được tam giác

EMD vuông cân Từ đó tìm được điểm

,

E D Gọi I là giao điểm của ME và CD.

Từ định lý Talet ta tìm được tọa độ I. Từ đó

viết được phương trình của đường thẳng CD. I

E C

2 3 5

I I

x

I y

Từ đó suy ra có hai phương trình đường thẳng CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

: 3, : 4 3 29 0.

CD x CD x y 

Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M làtrung điểm CD. Biết rằng, H  7; 6 là hình chiếu của B lên CM, I  11; 2   làtrung điểm BH, đỉnh C có hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnh A B C D, , ,

Phân tích bài toán Gọi N là trung điểm của AB. Ta có C I N, , thẳng hàng và

CN BH nên viết được phương trình của CN. Tính được góc BCN Sử dụng bàitoán cơ bản về góc ta viết được phương trình của BC .

Lời giải Gọi N là trung điểm của AB. Khi đó

/ /

NI AH tính chất đường trung bình nên NI BH.

Lại có AMCN là hình bình hành nên AM//CN Do đó

M D

B A

C

Vì CN đi qua I và vuông góc với IH nên CN x:  2y 15 0 

Vì I là trung điểm của BH nên B  15; 10  

Vì C có hoành độ dương nên C5; 10  

Đường thẳng CD qua C và vuông góc với BC nên CD x : 5.

Đường thẳng HM qua H và song song với CN nên

Phân tích bài toán Giả thiết cho tam

giác vuông mà cạnh góc vuông này gấp

đôi cạnh góc vuông kia nên ta có thể nghĩ

đến việc dựng hình vuông để từ đó phát

hiện các yếu tố vuông góc Chẳng hạn, gọi

H là trung điểm AC. Dựng hình vuông

Vì BH là đường trung trực của ME nên BH x:  1  B 1; 21  

Ta có F  1; 9 là trung điểm của ME. Khi đó

Vì E là trung điểm AH nên A19; 1  

Vì H là trung điểm của AC nên C  21; 39 

Vậy A19; 1 , B 1; 21 ,      C  21; 39 

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M 10; 0 làtrung điểm AD. Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác BCM có phương trình:x 5y 50 0.

    Tìm tọa độ đỉnh D biết C có tọa độ nguyên

Phân tích bài toán Đặt cạnh hình vuông bằng tham số Sử dụng định lý Pitago,

định lý hàm số côsin để tính góc MCE Từ đó, sử dụng bài toán cơ bản về góc ta sẽlập được phương trình của đường MC, từ đó tìm được tọa độ của điểm C D ,

Lời giải Lấy F đối xứng với M qua A. Khi

đó BCMF là hình bình hành Suy ra BM CF,

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Gọi I là

giao điểm của CF với AB thì I là trọng tâm

của tam giác BMF. Do đó

x 5y 50 = 0

M 10;0( )

B A

1209 650 351 0

27 31

a b

a b

Kiểm tra lại điều kiện MD DC suy ra D15; 5 

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại B.Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AC và BC. I  7; 1 là trung điểm của AN,

Lời giải Gọi H là trung điểm của BN. Khi đó

IMNH là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn  C

đường kính IN HM, . Vì 1

4

BM BC  nên/ /

HE CM Suy ra HE EM  E  C .

Do đó IEN  90 0

Lại EIN EMN  45 0

Từ đó suy ra tam giác EIN vuông cân tại E. Suy ra

Vì N có hoành độ âm nên N  1; 3   Vì I là trung điểm AN nên A15; 5  Gọi

G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có

1

1 16

; 1

Nhận xét Bài toán trên được xây dựng từ tính

chất 6. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là

hình chiếu của B lên AC và M N, lần lượt là

trung điểm của AH, CD. Khi đó BM MN. N

M

H

Xét trường hợp đặc biệt, ABCDlà hình vuông

Lúc này, ngoài kết quả BM MN ta còn có BM MN, hay tam giác BMN vuôngcân tại M.

A

E I

N B

M H

N M I

M

N

C D

Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

ACD   với cos 1 ,

hoành độ dương Tìm tọa độ các điểm A B C D, , ,

Phân tích bài toán Tìm được tọa độ của A

thông qua tọa độ của H K, và đẳng thức

2 3

1

cos ,

5

  ta sẽ tính được các đoạn thẳng liên quan qua a. Từ đó tìm a.

Lời giải Từ giả thiết suy ra H thuộc cạnh BC và 2 .

x + y + 2 = 0

x + 2y 13 = 0 F

Phân tích bài toán Mấu chốt của bài toán này là dự đoán và chứng minh

.

IB IF Từ đó viết được phương trình IB, tìm được B.

Lời giải Gọi M N, là trung điểm của

AB và AC thì M I N, , thẳng hàng

và BN AC. Ta có tam giác ABF

nội tiếp đường tròn tâm I. Suy ra

 1  

2

AFB  AIB MIB

Suy ra tứ giác BINF nội tiếp Do đó

Vì A có tung độ lớn hơn 5 nên ta chọn trường hợp M   9; 1 ,A 15; 7 

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AB nên BC x y:   2 0 

1 3.2

N N

Vì AC đi qua A và N nên AC y : 7. Từ đó suy ra C  9; 7 

Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cáccạnh không song song với các trục tọa độ Điểm G  9; 5 là trọng tâm tam giác

Từ đó viết được phương trình của

AB và BC. Diện tích của hình chữ nhật được

tính thông qua tích khoảng cách từ G đến AB

C D

Lời giải Gọi VTPT của đường thẳng AB là n AB  a b;

Viết phương trình đường thẳng AB .

Phân tích bài toán Để dễ dàng phát hiện thêm các

mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán, ta hãy

dựng hình vuông BACD. Khi đó M là tâm của hình

vuông này, E là trung điểm của CD. Gọi I là giao

điểm của EG với AB. Từ định lý Talet ta tìm được

tọa độ của I. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông ta cũng tính được góc giữa hai đường thẳng

Áp dụng bài toán cơ bản về góc ta viết được phương trình đường thẳng AB.

Lời giải Theo định lý Talet ta có

12 5

5

HK  và đỉnh D có tọa độ nguyên.

Phân tích bài toán Giả thiết cho hình thang

vuông có các cạnh góc vuông liên hệ với nhau Từ

đó nếu đặt AD a thì ta tính được độ dài các đoạn

thẳng liên quan Ta tìm cách lập phương trình của

Lời giải Đặt AD a Suy ra AB  2 ,a CD  3 ,a MC a 5,BC a 2.

Ta tính a theo một trong hai hướng như sau:

5 5cos

Vì D có tọa độ nguyên nên D2; 4 

Vì đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với CD nên AD x : 2.

Ta có A là giao điểm của  1 và AD nên A2; 7 

Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E làtrung điểm của AB. Đường thẳng qua E vuông góc với BD cắt BC tại F. Biết rằng

 1; 8 ,

D AF : 5x 7y 36 0,  E thuộc đường thẳng  :x y  3 0  Tìm tọa độ,

B C biết rằng đỉnh A có tọa độ nguyên

Phân tích bài toán Mấu chốt của bài toán này là dự đoán và chứng minh được

.

AF DE Từ đó viết được phương trình của DE. Suy ra tọa độ điểm E. Ta có A