Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 4 - Hàm số mũ và lôgarit - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Chứng minh bất đẳng thức.[r]

- Lôgarit cơ số a:  loga b a b (0a1 và b 0)

- Lôgarit cơ số 10: log10blgb hay logb

- Lôgarit cơ số e: loge blnb e 2,7183

 

 loga b loga b



1log n log

 đồng biến trên 0; khi  0; nghịch biến trên 0; khi  0.

Hàm số lôgarit yloga x:

Liên tục trên tập xác định 0; , nhận mọi giá trị thuộc .

1lim log

khi khi

a

x

a x

khi khi

a x

a x

Giới hạn:

 

0 0

b) Vì 5 13 48  5 2 3 1 2  4 2 3 3 2 2

nên

3 3

2 log 2

Bài toán 4.10: Rút gọn các biểu thức:

a) A log 2.log 3.log 5.log 6.log 73 4 6 7 8

a) Cho log 156 x,log 1812 y, tính log 2425 theo x, y

b) Cho alog 3,2 blog 5,3 clog 27 , tính log 63140 theo a, b, c.

2

log 2 3 5log 24

  3   7   11



Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:

a) Nếu a2c2 b2 thì logb c alogb c a2logb c a.logb c a

Do đó

log log log log

log log log log

Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1 Chứng minh:

a) Nếu loga x 1 log loga x a z, loga y 1 loga y.loga x thì:

log loga loga log log logx y z 1

Suy ra 0 log log c c a log logb c a

Do đó log loga a b log logb b clog logc c a

log log log log log log

log log log log log 1 0

b) Số hạng không chứa x ứng với 13k 52 0  k 4 là T5 C134 715.

Bài toán 4.18: Trong khai triển nhị thức

6 1

1

a x a x

a

a

e x





6 3lim

1

x

x

x x

1 2

1lim

a)  

1

1 ln

ln 2 2

x x

1lim

a) y'kln 5 5 ; '' kx y kln 5 52 kx

Ta chứng minh quy nạp: y n kln 5 5n kx

b) Với

13

x  

hoặc

12

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng 0;2, nghịch biến trong các khoảng  ;0 và 2;, đạt CĐ

Khi x  1 thì y ' 0 nên hàm số nghịch biến trên   ; 1

Khi x 1 thì y ' 0 nên hàm số đồng biến trên 1;

 nên đạt cực tiểu tại x0,y CT 0

Bài toán 4.33: Cho a, b, c là các sự thực dương Chứng minh hàm số

Hướng dẫn giải

a) Ta có log 4 13  và 4

1log 0

1log 4 log

3



b) Ta có log 1,1 06  nên 3log 1,1 6 30 1 (vì 3 1 ) và log 0,99 06  nên 7log 0,99 6 70 1 (vì 7 1 ).Suy ra 3log 1,16 7 log 0,996

Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số:

a) log 27 log 258  9 b) log 9 log 254  9

Hướng dẫn giải

a) log 27 log 25 log 258  8  9

b) log 9 log 3 log 27 log 254  2  8  9

Bài toán 4.38:

a) So sánh hai số 112233 1000 1000 và

2 2

Bài toán 4.39: Chứng minh:

a) lognn1 logn1n2 với mọi số nguyên n 1

b) a mb m c m, nếu m 1, a b c  với a0,b0

Hướng dẫn giải

a) A lognn 1 logn n 1 1 1 log 1n 1

b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác Khi đó, ta có

a) BĐT  logabca b c 3 loga b c a .b c

a b clogabc 3 log a a logb b logc c

log log log 3 log log log

 

2 logx y logy z logz t logt x

4 4

8 log log log logx y y z z t t x 8 1 8

Suy ra f t   1 với mọi t 0;  đpcm

Bài toán 4.43: Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi x 0

a) Xét hàm số f x  e x  x 1,x0 thì f x'  e x 1 0,  x 0 nên f đồng biến trên 0; vì f liên

tục trên 0; nên f đồng biến trên 0;:x0  f x   f  0 0: đpcm

2

1, 02

thì f x'  e x  x 1.Theo câu a) thì f x '  0 nên f đồng biến trên 0;.

b) Nếu x 0 thì BĐT đúng Nếu x 0, vì x2 2x 2 0,x nên

Do đó f x  đồng biến trên 0; nên f x  f  0  0 đpcm.

Bài toán 4.46: Cho 0x1;0 y1 và xy Chứng minh rằng:

a) Viết bình phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi bình phương Kết quả

4 2 3  4 2 3 2

b) Viết lập phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi lập phương Kết quả 39 80 39 80 3

Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức:

21 3

21!

2939!12! 930

a) Đưa về cơ số 3 Kết quả 2a2b 2

b) Đưa về cơ số e Kết quả 2d 2c

Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:

2

a a





 và 2

3 1log 3

3

b b

a) Chia tử và mẫu thức cho x Kết quả

4

3 ln 7

b) Thêm bớt 1 trên tử thức rồi chia tử và mẫu thức cho x Kết quả

512

Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

'

1

x y

a) Đặt

5 7log

2

và

log 5 log 72

Suy ra

5 7

102



.b) Dùng bất đẳng thức AM-GM