Nội dung trọng tâm của học phần dành đ ể nghiên cứu một số bài toán cơ bản (bài toán biên, bài toán hỗn hợp,…) gắn với phương trình đ ạo hàm riêng tuyến tính cấp II.. - Làm bài tậ[r]
Trang 1ĐẠI HỌC ĐÀLẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC
ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN
1 Tên học phần: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Mã số: TN 214
2 Số đơn vị học trình : 4 (4×15=60 tiết)
3 Trình độ : Dành cho sinh viên năm cuối ngành Toán học
4 Phân bố thời gian: Lên lớp 100% số tiết (60 tiết = 40 +20)
5 Điều kiện tiên quyết : Giải tích 3, Hàm biến phức và học xong Phương trình vi phân
6 Mô tả vắn tắt nội dung học phần : Môn học này trang bị những kiến thức cơ bản nhất
về phương trình vi phân đạo hàm riêng Nội dung trọng tâm của học phần dành để nghiên cứu một số bài toán cơ bản (bài toán biên, bài toán hỗn hợp,…) gắn với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp II
7 Nhiệm vụ của sinh viên:
- Dự lớp
- Làm bài tập, tham gia thảo luận
8 Tài liệu học tập, Sách tham khảo:
• Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXBĐHQGHN
(2001)
• Nguyễn Minh Chương, Phương trình đạo hàm riêng, NXBGD (2000)
• R.Courant, Partial Differential Equations, NewYork-London (1962)
• M.Taylor, Partial Differential Equations, Springer-Verlag (1996)
• F.John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag (1986)
• M.M.Smirnov, Bài tập phương trình vật lý toán, Matxcơva (1970) (tiếng Nga)
9 Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:
- Dự lớp
- Thi cuối học kỳ
10 Thang điểm: 10
11 Mục tiêu của học phần : Học phần này nhằm cung cấp cho sinh viên chuyên ngành
Toán một số kiến thức cơ bản nhất về phương trình đạo hàm riêng Giúp cho sinh viên nắm vững các phương pháp giải các bài toán cơ bản (bài toán biên, bài toán hỗn hợp,…) của phương trình đạo hàm riêng cấp II, nhằm áp dụng vào giải quyết các vấn
đề thực tế trong vật lý kỹ thuật
12 Người biên soạn : Trịnh Đức Tài
Trang 2NỘI DUNG CHI TIẾT Học phần : PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (4 tín chỉ)
Chương I KHÁI QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (6 tiết)
I.1 Mở đầu
I.2 Các ví dụ dẫn đến bài toán biên
I.2.1 Phương trình dao động của dây
I.2.2 Phương trình dao động của màng
I.2.3 Phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng
I.2.4 Phương trình Laplace
Bài tập
Chương II PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 2 (5 tiết)
II.1 Phân loại phương trình tuyến tính cấp II trong trường hợp hai biến
II.2 Khái niệm về đặc trưng
II.3 Bài toán Cauchy và bài toán Cauchy với dữ kiện cho trên mặt đặc trưng II.4 Sự phụ thuộc của nghiệm đối với các dữ kiện biên
Bài tập
Chương III PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE (19 tiết)
III.1 Phương trình Laplace
III.1.1 Phương trình Laplace và hàm điều hoà
III.1.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace
III.1.3 Công thức Green đối với toán tử Laplace
III.1.4 Biểu diễn tích phân của hàm điều hoà
III.1.5 Các tính chất cơ bản của hàm điều hoà
III.1.6 Hàm điều hoà trong mặt phẳng và hàm giải tích phức
III.2 Bài toán Dirichlet trong
III.2.1 Bài toán Dirichlet trong Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện biên
III.2.2 Hàm Green đối với bài toán Dirichlet
III.2.3 Hàm Green đối với hình cầu và công thức Poisson
III.2.4 Định lý trung bình đảo Các định lý Harnack, Liouville
III.3 Bài toán Dirichlet ngoài
III.3.1 Bài toán Dirichlet ngoài Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện
III.3.2 Công thức Poisson đối với miền ngoài mặt cầu
Trang 3III.3.3 Dáng điệu hàm điều hoà ở vô tận
III.4 Bài toán Neumann
III.4.1 Bài toán Neumann và định lý duy nhất
III.4.2 Bài toán Neumann trong hình tròn và công thức Dini
III.5 Giải bài toán Dirichlet trong hình tròn bằng phương pháp tách biến
Tích phân Poisson
Bài tập
Chương IV PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG (15 tiết)
IV.1 Bài toán Cauchy
IV.1.1 Bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng và định lý duy nhất nghiệm
IV.1.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy Công thức Kirchoff
IV.1.3 Phương pháp hạ thấp Công thức Poisson và công thức D’Alembert
IV.1.4 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán Cauchy vào dữ kiện ban đầu IV.1.5 Ý nghĩa vật lý
IV.2 Bài toán hỗn hợp
IV.2.1 Bài toán hỗn hợp và định lý duy nhất nghiệm
IV.2.2 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện ban đầu
IV.2.3 Phương pháp tách biến giải bài toán hỗn hợp
IV.2.4 Sơ đồ tổng quát của phương pháp tách biến
IV.2.5 Sự dao động của màng
Bài tập
Chương V PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT (15 tiết)
V.1 Bài toán Cauchy
V.1.1 Nguyên lý cực đại và cực tiểu đối với nghiệm phương trình truyền nhiệt V.1.2 Bài toán Cauchy Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào
dữ kiện ban đầu
V.1.3 Công thức Poisson Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt
V.2 Bài toán hỗn hợp
V.2.1 Bài toán hỗn hợp Định lý duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện biên và dữ kiện ban đầu
V.2.2 Giải bài toán hỗn hợp bằng phương pháp tách biến
V.2.3 Giải bài toán hỗn hợp bằng phương pháp hàm Green
Bài tập