(4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic của các bài toán biên sau.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ NĂM HỌC 2011-2012
——oOo——-Môn thi: Bài toán biên elliptic
Dành cho học viên cao học khóa: 2010-2012 Ngành học: Toán Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2 điểm) Cho dãy hàm{fk}∞k=1trong không gian các hàm giảm nhanh S(Rn)hội tụ
về hàm 0 trong S(Rn)
Chứng minh rằng với mọi số thực s ta đều có
(a)(1 điểm) fk ∈ Hs(Rn), k=1, 2, ,
(b)(1 điểm) và lim
k → ∞
R
Rn(1+ |ξ|2)s|Ffk(ξ)|2dξ =0
Câu 2. (3,5 điểm) Cho các toán tử vi phân
A1(x, D) = x1 ∂2
∂x12 + ∂
2
∂x22, A2(x, D) = ∂
2
∂x12 +x2 ∂2
∂x22
trong miền B= {x = (x1, x2)| (x1−2)2+ (x2−1)2 ≤1|}
(a) (1,5 điểm)Tính toán tử hợp thành A(x, D) = A1(x, D)A2(x, D)và biểu trưng chính của toán tử hợp thành đó
(b) (2 điểm) Khảo sát tính elliptic đều của các toán tử A1(x, D), A2(x, D) và A(x, D) trên miền B
Câu 3. (4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic của các bài toán biên sau
(a)(2 điểm) Bài toán biên trong hình vuông
∆u(x1, x2) =0 khi 0<x1, x2<1,
∂u
∂x1(0, x2) = ϕ0(x2), ∂u
∂x1(1, x2) = ϕ1(x2) khi 0<x2 <1,
∂u
∂x2(x1, 0) =ψ0(x1), ∂u
∂x2(x1, 1) =ψ1(x1) khi 0< x1 <1
(b)(2,5 điểm) Bài toán biên trong nửa không gian
∆2u(x1, x2, x3) =0 khi x1 >0,
∂3u
∂x31(x1, x2, x3) = g(x1, x2, x3) khi x1 =0, 3
∑
j = 1
∂u
∂xj (x1, x2, x3) =h(x1, x2, x3) khi x1=0
Chú ý:Học viên được sử dụng tài liệu của mình
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ , NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Bài toán biên elliptic
Dành cho sinh viên khoá: 2010-2012 Ngành học: Toán Giải tích
(a) Do fk ∈ S(Rn)nênFfk ∈S(Rn)
Khi đó(1+ |ξ|2)(|s|+1+n)/2|Ffk(ξ)| <C Do đó
Z
Rn(1+ |ξ|2)s|Ffk(ξ)|2dξ<C
Z
Rn(1+ |ξ|2)−(n+1)dξ < +∞
1
(b) Do S− lim
k → ∞fk =0 nên S−klim→ ∞Ffk =0.
Khi đó lim
k → ∞ξsup∈Rn
(1+ |ξ|2)(|s|+1 + n ) /2|Ffk(ξ)| =0 Mà
Z
Rn(1+ |ξ|2)s|Ffk(ξ)|2dξ< sup
ξ∈Rn
(1+ |ξ|2)|s|+1+n|Ffk(ξ)|2
Z
Rn(1+ |ξ|2)−(n+1)dξ.
Như vậy ta có điều phải chứng minh
1
(a) A(x, D) =x1 ∂
4
∂x41
+ (1+x1x2) ∂
2
∂x21
∂2
∂x22
+x2 ∂ 4
∂x42
+2 ∂ 3
∂x32 với biểu trưng chính
a(x, ξ) =x1ξ41+ (1+x1x2)ξ21ξ22+x2ξ42
1,5
(b) Toán tử A1(x, D)là elliptic đều với hằng số C=1, 1
các toán tử A2(x, D), A(x, D)không elliptic đều vì chọn dãy điểm
x = (2, 1/n), n=2, 3,
1
(a) Các biểu trưng chính
+ phương trình a(x, ξ) =ξ21+ξ22,
+ điều kiện biên b(0, x2, ξ) =b(1, x2, ξ) =ξ1, b(x1, 0, ξ) =b(x1, 1, ξ) =ξ2 0,5
Trang 3Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
η(0, x2) =η(1, x2) = (1, 0), η(x1, 0) =η(x1, 1) = (0, 1),
ξ(0, x2) =ξ(1, x2) = (0, 1), ξ(x1, 0) =ξ(x1, 1) = (1, 0)
0,5
Toán tử∆ là elliptic đúng, hệ gồm một toán tử biên b(x, ξ)là chuẩn tắc và
a+(x, ξ+τη) =τ−i
0,5
Kiểm tra b(x, ξ+τη)trên từng cạnh của hình vuông Từ đó dẫn đến bài toán biên đang
xét là elliptic
0,5
(b) Các biểu trưng chính
+ phương trình a(x, ξ) = (ξ21+ξ22+ξ23)2,
+ điều kiện biên b1(x, ξ) =ξ31, b2(x, ξ) =ξ1+ξ2+ξ3 0,5
Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
η(0, x2, x3) = (1, 0, 0), ξ(0, x2, x3) = (0, ξ2, ξ3)
0,5
Toán tử∆ là elliptic đúng và
a+(x, ξ+τη) = (τ−i)2
0,5
Hệ hai toán tử biên có b1(x, η) =1, b2(x, η) =1 nên hệ chuẩn tắc và
b1(x, ξ+τη) ≡ −3τ+2i(moda+), b2(x, ξ+τη) ≡ (ξ2+ξ3) +τ(moda+)
0,5
Có định thức
det
−3 2i
1 ξ2+ξ3
= −3(ξ2+ξ3) −2i6=0,∀ξ2, ξ3∈R.
Từ đó dẫn đến bài toán biên đang xét là elliptic
0,5
Hà nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN (ký và ghi rõ họ tên)
Đặng Anh Tuấn