Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? Câu 2. Biết AI vuông góc SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính [r]
Trang 1UBND TỈNH QUẢNG TRỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12
NĂM HỌC 2016 – 2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4,0 điểm)
1 Tìm số nguyên dương n biết
n
2 Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 2
9 2
s t t , với t (giây) là khoảng thời gian tính lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó Hỏi khoảng thời
gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
Câu 2 (6,0 điểm)
1 Cho hàm số x 2x
f x e e Tìm x để f ' x 2f x 3.
2 Giải bất phương trình 2
3 Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm 3 2
2
,
1 2
x y x xy m
x y
Câu 3 (6,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a BC , a 3 Hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; gọi I là điểm nằm trên cạnh SC sao cho
SC = 3IC Biết AI vuông góc SC
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB
2 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C , đáy ABC là tam giác đều Gọi là góc tạo bởi A B với mặt phẳng ACC A và là góc giữa mặt phẳng A BC với mặt phẳng ACC A
Chứng minh rằng: 600 và 2 2 1
3
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho các số x x x y y y1, 2, 3, 1, 2, 3 thỏa mãn:
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 0; 1 2 3 0; 1 2 3 0
x x x y y y x y x y x y x x x y y y
Chứng minh rằng:
2 3
x x x y y y
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z, t có tích bằng 1 Chứng minh:
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
x y z t
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh………Số báo danh………
Trang 2UBND TỈNH QUẢNG TRỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12
NĂM HỌC 2016 – 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Môn thi: TOÁN
C1
Ý1
2,0
đ
Xét khai triển 0 1 2 2
1x nC nC x C x n n C x n n n 0, 5
x dx C xC x C x C dx
suy ra
1
n n
0, 5
Từ đề ra, ta có 2 1 1 210 1 1 10
n
n n
0, 5
C1
Ý2
2,0
đ
2
Xét hàm v t( )với t0;10;v t'( ) 3t 18; '( ) 0v t t 6
Lập bảng biến thiên v t( )
1,0
Vận tốc lớn nhất trong khoảng 10 giây kể từ lúc xuất phát là (6) 54 /v m s 0,5
C2
Ý1
1,0
đ
x
0,5
C2
Ý2
3,0
đ
Điều kiện 1
4
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với
2
2
2
x x
x x
0,5
0,5
0.5
[
2
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm S[0;2] 1,0
C2
Ý3
2,0
đ
4
u x x u v x y
Hệ trở thành
uv m
0,5
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (*) 0,5
Trang 3từ (1) 2
2 1
u u m
u
Xét hàm 2
2 1
u u
f u
u
với điều kiện (*), ta có
2 2
2
u
0,5
Lập bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là ;2 3
2
C3
Ý1
4,0
đ
O
D B
C A
S
I
a) Ta cóSO(ABCD);SOC,AIC đồng dạng với nhau suy ra IC IS OC AC SCa 6 SOa 5
1,0
Thể tích khối S.ABCD là
3
ABCD
1,0
b) Xét hệ tọa độ Oxyz, sao cho O là giao điểm 2 đường chéo của ABCD,
0,5
,
33 ,
[ ].
u v AB a
d SB AI
u v
Lưu ý: thí sinh có thể tính trức tiếp khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
1,0
C3
Ý2
2đ
J
C
C'
A' B
B'
Gọi I, J lần lượt trung điểm AC và A’C’ và đặt AB=a, BB’=b
0,25
Ta có BIACC A' ' BA I'
BJI A C' ' (BA C' '),(ACC A' ')
0,5
tam giác BIA’ vuông tại I nên
2 2
0
3 3
3
A I b a
IB a
b
0,5
Tam giác BIJ vuông tại I nên cot 2
3
JI b
IB a
2
cot cot
3 3
b a b a
Trang 4C4
2,0đ
Trong không gian Oxyz, lấy v1 x x x1; 2; 3,v2 y y y1; 2; 3,v3 1;1;1 , v1; 0; 0
Từ giả thiết ta có v v v1, 2, 3 đôi một vuông góc
0,5
Gọi u u u1, 2, 3lần lượt là hình chiếu của v trên giá các vec tơ v v v1, 2, 3 0,5
1
3
v u u u 0,5
Từ hai đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh 0,5
C5
2đ
Đặt x bc2 ,y cd2 ,z da2 ,t ab2
với a,b, c,d là các số thực dương 0.25 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
d ab
0.25
Theo BĐT Cauchy-Schwarz
a b c d
a bc c da
0.5
Tương tự
2
a b c d
d ab
b cd
0.5
Cộng theo vế hai BĐT trên ta có điều phải chứng minh 0.5
-Hết -