[r]
Trang 1Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
ĐỀ CHÍNH THỨC
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Năm học: 2008-2009 Mụn thi: Toán LỚP : 12 BTTHPT
Ngày thi: 28/03/2009 Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1(5,0 điểm)
Cho hàm số y=x4− 2 x2+ 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x4−2 x2
+ log2(1− m)=0
Bài 2 (3,0 điểm)
1 Tính I = ∫
0
1
(2 x −1)ex− x2dx
2 Giải hệ phơng trình:
x2− 2 xy+ y2=1
x2+y2=5
¿ {
¿
¿
Bài 3 (4,0 điểm)
1 Từ 5 chữ số 1;2 ;3 ;4 ;5 có thể thành lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong các số đó chữ số đầu tiên bên trái không phải là chữ số 5
2.Giải phơng trình: sin 2 x −2 sin x − cos x+ 1=0
Bài 4 (4,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình:
¿ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;0)
2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết BA = 4 ,
BC =3, cạnh bên SA = 2 và vuông góc với mặt đáy Chứng minh hình chóp đã cho có bốn mặt đều là các tam giác vuông Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 5.(4,0 điểm)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(1;1;2) , B(1;2;-1), C(-2;0;-1), D(0;2;0)
1.Chứng minh hai đờng thẳng AB và CD chéo nhau
2 Tính thể tích tứ diện ABCD
Hết
Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
Đáp án đề chính thức
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Năm học: 2008-2009 Mụn thi: Toán LỚP : 12 BTTHPT
Ngày thi: 28/03/2009
Đáp án gồm có 4 trang
Số bỏo danh
.
………
…
Trang 2Bài 1
5đ 1(3đ) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x4− 2 x2+1
1 Tập xác định R
2 Sự biến thiên ¿y ,=4 x3− 4 x
y ,=0⇔
¿
¿
¿
Bảng biến thiên
x − ∞ -1 0 1 +∞
y , - 0 + 0 - 0 +
y +∞ +∞
0 1 0
3 Đồ thị :
0,5
0,5
1,5
0,5
2 (2đ) x4−2 x2− log2(1− 2 m)=0⇔ x4
− 2 x2+1=1 − log2(1 − m)
Số nghiệm của phơng trình là số giao diểm của đồ thị (C) ở câu 1 với
đ-ờng thẳng (d) : y=1 − log2(1 −m )
Đờng thẳng (d) tồn tại khi 1- m > 0 hay m < 1
* Nếu 1 −log2(1− m )< 0 ⇔log2(1− m )>1 ⇔ 1− m>2⇔ m<− 1
Phơng trình vô nghiệm
*Nếu m = -1 phơng trình có 2 nghiệm
* Nếu 0<1 − log2(1− m)<1⇔−1<m<0 , phơng trình có 4 nghiệm phân
biệt
* Nếu m = 0 phơng trình có 3 nghiệm
* Nếu 0 < m <1 phơng trình có 2 nghiệm
0,5
0,5 0,25 0,25 0,25
0,25
Bài 2
3đ 1.(1đ)
I = ∫
0
1
(2 x −1)ex− x2dx=−∫
0
1
2 (2đ)
x2− 2 xy+ y2=1
x2
+y2 =5
⇔
¿ ¿
¿
*Từ hệ (I) suy ra x, y là hai nghiệm của phơng trình: t2-3t +2 =0
0,5
x
Trang 3¿
¿
¿
suy ra hệ (II) có hai nghiệm (-1;-2) và (-2; -1)
Vậy hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm là:
Bài 3
4đ 1.(2đ)Số các số đợc thành lập từ 5 chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 bằng số hoán vị của
5 phần tử 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 bằng P5 =5! = 120
Do tính bình đẳng của các chữ số nên số các số thành lập đợc từ 5 chữ
số ấy có chữ số 5 đứng đầu tiên bên trái bằngP5
5 =
120
5 =24
Vậy số các số thoả mãn bài toán là 120 - 24 = 96
0,75 0,75 0,5
2.(2đ)
PT sin2x -2sinx - cosx +1 = 0 tơng đơng với phơng trình
2sinx cosx -2sinx-cosx +1 = 0 hay 2sinx(cosx- 1) -(cosx - 1) =0
Tơng đơng với (cosx - 1)(2sinx - 1) = 0
<=>¿¿
cosx =1⇔ x=k 2 π ;k ∈ Z
sin x=1
2⇔
¿
¿
¿
Vậy phơng trình có nghiệm là:
x=k 2 π ; x= π
6+k 2 π ; x=
5 π
6 +k 2 π ;k ∈ Z
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
4đ 1.(2đ)Đờng tròn (C) có tâm I (2; -2) Bán kính R = 1
Đờng thẳng (d) đi qua điểm A có phơng trình là ax + by +c=0
Với a, b không đồng thời bằng 0
Do A(1 ; 0) thuộc (d) suy ra a.1 + b.0 = c hay c = -a
Suy ra (d) có phơng trình ax + by - a = 0
(d) là tiếp tuyến của (C) ⇔khoảng cách từ A đến (d) bằng R
⇔|a 2+b (− 2)−a|
√a2+b2 =1⇔|a − 2b|=√a2
+b2⇔ 3 b2− 4 ab=0
* Chọn b = 0 ; a = 1 Ta có (d1) : x =1
* Chọn a =3 thì b = 4 Ta có (d2) : 3x + 4y-3 = 0
0,25
0,25
0,5 0,5 0,5
2.(2đ)
Trang 4C H
B A
Hình vẽ
Do SA⊥(ABC) suy ra SA⊥ ABvà ra SA⊥ ACsuy ra các mặt bên SAB
và SAC là các tam giác vuông tại A Theo giả thiết thì tam giác ABC
vuông tại B
Do AB⊥ BC⇒SB ⊥ BC ( theo định lí 3 đờng vuông góc)
Suy ra tam giác SBC vuông tại B
Vậy hình chóp SABC có 4 măt đều là các tam giác vuông
Kẻ AH⊥SB(H ∈SB)do
BC⊥ SB
BC⊥ SA
⇒ BC⊥(SAB)⇒BC⊥ AH
¿ {
¿
¿
Ta có
AH⊥SB
AH⊥ BC
⇒ AH ⊥(SBC)
¿ {
¿
¿
suy ra AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC)
Lại có AH.SB = SA AB suy ra AH=SA AB
2 4
SB =
8 SB
Trong tam giác SAB vuông tại A cóSB=√SA 2
+ AB 2
=√4+16=2√5
Suy ra AH = 8
2√5=
4√5 5
0,25
0,25 0,25
0,5 0,25 0,25 0,25
Bài 5
4đ 1.(2,5đ)
⃗AB=(0;1 ;−3),⃗ AC=(− 3;− 1;− 3),⃗ AD=(−1 ;1;− 2)
Ta có
[⃗AB ,⃗AC].⃗ AD=|−11− 3 − 3|(−1)+|− 3 −3 −30 |.1+|−30−11 |(− 2)=9 ≠ 0
1,0 1,0
Trang 5V = 1
6|[⃗AB ,⃗AC].⃗ AD|= 1
6 9=
9
6= 3
2 (đơn vị thể tích)