(4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic tại từng điểm trên biên của các bài toán biên sau.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ NĂM HỌC 2011-2012
——oOo——-Môn thi: Bài toán biên elliptic
Mã môn học: Số tín chỉ: 2 Đề số: 2
Dành cho học viên cao học khóa: 2010-2012 Ngành học: Toán Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2 điểm) Hỏi hàm e3x+5có là hàm suy rộng tăng chậm không? Giải thích câu trả lời
Câu 2. (3,5 điểm) Cho các toán tử vi phân
A1(x, D) = ∂
2
∂x21 +x1 ∂2
∂x22, A2(x, D) = ∂
2
∂x12 +x2 ∂2
∂x22
trong miền B= {x = (x1, x2)| (x1−1)2+ (x2−2)2 ≤1|}
(a) (1,5 điểm)Tính toán tử hợp thành A(x, D) = A1(x, D)A2(x, D)và biểu trưng chính của toán tử hợp thành đó
(b) (2 điểm) Khảo sát tính elliptic đều của các toán tử A1(x, D), A2(x, D) và A(x, D) trên miền B
Câu 3. (4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic tại từng điểm trên biên của các bài toán biên sau Bài toán biên
∆2u(x1, x2, x3) =0 khi x21+x22+x23<1
∂3u
∂x31
(x1, x2, x3) =g(x1, x2, x3) khi x21+x22+x23 =1
3
∑
j = 1
bj(x1, x2, x3)∂u
∂xj
(x1, x2, x3) =h(x1, x2, x3) khi x12+x22+x23 =1
(a)(b1(x), b2(x), b3(x)) = (x1, x2, x3)
(b)(b1(x), b2(x), b3(x)) = (x2,−x1, x3)
Chú ý:Học viên được sử dụng tài liệu của mình
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ , NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Bài toán biên elliptic
Mã môn học: Số tín chỉ: 2 Đề số: 2
Dành cho sinh viên khoá: 2010-2012 Ngành học: Toán Giải tích
Chọn dãy hàm ρk(x) =e−kρ(3x−k)với
ρ(x) =
(
ex21− 1 khi|x| <1,
0 còn lại
0,5
Có
+)S−lim
k → ∞ρk =0;
+)R
R
e3x + 5e−kρ(3x−k)dx=e5R
R
(a) A(x, D) = ∂
4
∂x41
+ (x1+x2) ∂
2
∂x12
∂2
∂x22
+x1x2
∂4
∂x42
+2x1 ∂
3
∂x32 với biểu trưng chính a(x, ξ) =x1ξ41+ (x1+x2)ξ21ξ22+x1x2ξ42
1,5
(b) Toán tử A2(x, D)là elliptic đều với hằng số C=1/2, 1
các toán tử A1(x, D), A(x, D) không elliptic đều vì chọn dãy điểm x = (2, 1/n), n =
2, 3,
1
Các biểu trưng chính
+ phương trình a(x, ξ) = (ξ21+ξ22+ξ23)2,
+ điều kiện biên b1(x, ξ) =ξ31, b2(x, ξ) =b1(x)ξ1+b2(x)ξ2+b3(x)ξ3 0,5
Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
η(x) = (x1, x2, x3), ξ(x) = (ξ1, ξ2, ξ3)
0,5
Trang 3Toán tử∆ là elliptic đúng, và
a+(x, ξ+τη) = (τ−i)2
0,5
Có b1(x, η) =x31và
b1(x, ξ+τη) ≡ (3ξ12x1+6iξ1x21−3x3
1)τ+ (ξ31+3x21ξ1+2ix31)(moda+)
0,5
(a) Có b2(x, η) =1 và
b2(x, ξ+τη) = hη , ξ+τηi =τ≡ τ(moda+)
0,5
Như vậy hệ b1, b2là chuẩn tắc khi x16=0 và khi đó
det3ξ2
1x1+6iξ1x2
1−3x3
1 ξ31+3x21ξ1+2ix31
= −(ξ13+3x12ξ1+2ix31) 6=0
Từ đó dẫn đến bài toán biên đang xét là elliptic khi và chỉ khi x16=0
0,5
(b) Có b2(x, η) =x23và
b2(x, ξ+τη) ≡2(x3ξ3+ix32)τ+ξ23+x23(moda+)
Như vậy hệ b1, b2là chuẩn tắc khi x1x36=0, và khi đó
det3ξ2
1x1+6iξ1x2
1−3x3
1 ξ31+3x2
1ξ1+2ix3
1 2(x3ξ3+ix23) ξ23+x23
1,5
Chưa biết bài toán biên có elliptic hay không khi x1x36=0?
Hà nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN (ký và ghi rõ họ tên)
Đặng Anh Tuấn