Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với C mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.. 2 1 1 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt v[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 136 )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + )
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3(2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
2 Giải phương trình: 2
2
log (x 2) log (x 5) log 8 0
Câu III (1,0 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex1, trục hoành và hai đường thẳng x = ln3, x = ln8
Câu VI (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Câu V (1,0 điểm)
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y z)2 y (z x) z (x y)2 2
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tìm điểm M
thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:
x 1 2t
y 1 t
z t
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d
Câu VIIa (1,0 điểm)
Tìm hệ số của x2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = (x2 + x – 1) 6
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tìm điểm M
thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:
x 1 y 1 z
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d
Câu VIIb (1,0 điểm)
Tìm hệ số của x3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = (x2 + x – 1)5
………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Lop10.com
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 136 )
1 (1,25 điểm)
2 (0,75 điểm)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ) y’ = – 3x2 – 6x + m 0, x > 0
3x2 + 6x m, x > 0 (*) 0,25
I
(2,0
điểm)
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x2 + 6x trên (0 ; + )
Từ đó ta được : (*) m 0
x
0
0
0,50
1 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
2sin x 3 3 sin x cos x 0 2
3 sin x cos x 0
0,50
II
(2,0
điểm)
n
x ( 1) n , n
3
x k , k 6
A A
0,50
2 (1,0 điểm)
Điều kiện: x > – 2 và x 5 (*)
Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
log (x 2) x 5 log 8 (x 2) x 5 8 (x 3x 18)(x 3x 2) 0
0,50
2 2
x 3; x 6; x
2
x 3x 2 0
Đối chiếu với điều kiện (*), ta được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là:
và
x 6 x 3 17
2
0,50
Kí hiệu S là diện tích cần tính
Vì
ln 8
ln 3
e 1 0 x [ln 3 ; ln8] nên S e 1dx 0,25 Đặt ex1 = t, ta có dx 2tdt2
t 1
Khi x = ln3 thì t = 2, và khi x = ln8 thì t = 3
0,25
III
(1,0
điểm)
Vì vậy:
Do SA = SB = AB (= a) nên SAB là tam giác đều
Gọi G và I tương ứng là tâm của tam giác đều SAB và tâm của hình vuông ABCD
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD
Ta có OG (SAB) và OI (ABCD)
0,50
IV
(1,0
điểm)
Suy ra: + OG = IH = , trong đó H là trung điểm của AB.a
2 + Tam giác OGA vuông tại G
A
D H
I
S
0,25
Lop10.com
Trang 3Kí hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD,
ta có:
R OA OG GA
0,25
Ta có : P x2 x2 y2 y2 z2 z2 (*)
y z z x x y
Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y A
Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay x2 y2 x y x, y > 0
y x
0,50
V
(1,0
điểm)
Tương tự, ta có : y2 z2 y z y, z > 0
z y
x, z > 0
z x
z x
x z Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = Vì vậy, minP = 2 1
3
0,50
1 (1,0 điểm)
Viết lại phương trình của (C) dưới dạng: (x – 3)2 + y2 = 4
Từ đó, (C) có tâm I(3 ; 0) và bán kính R = 2 0,25
VI.a
(2,0
điểm)
Suy ra trục tung không có điểm chung với đường tròn (C) Vì vậy, qua một điểm bất kì trên tục tung
Xét điểm M(0 ; m) tùy ý thuộc trục tung
Qua M, kẻ các tiếp tuyến MA và MB của (C) (A, B là các tiếp điểm) Ta có:
Góc giữa 2 đường thẳng MA và MB bằng 600 A
A
0 0
AMB 60 (1) AMB 120 (2)
0,25
Vì MI là phân giác của AMBA nên :
0
IA
sin 30
0
Dễ thấy, không có m thỏa mãn (*)
Vậy có tất cả hai điểm cần tìm là: (0 ; 7) và (0 ; 7)
0,25
2 (1,0 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc
Vì H d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; 1 + t ; t)
Suy ra : MH= (2t 1 ; 2 + t ; t)
Vì MH d và d có một vectơ chỉ phương là = (2 ; 1 ; 1), nên :u
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = Vì thế, 2 =
1 4 2
; ;
3 3 3
0,50
Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là:
x 2 t
y 1 4t
z 2t
0,25
Lop10.com
Trang 4P = 0 6 1 2 5 k 2k 6 k 5 10 6 12
C (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x2 chỉ xuất hiện khi khai triển 0 6và
6
C (x 1) 1 2 5
6
C x (x 1) 0,25
Hệ số của x2 trong khai triển 0 6là :
6
C (x 1) 0 2
6 6
C C
Hệ số của x2 trong khai triển 1 2 5là :
6
C x (x 1) 1 0
6 5
C C
(1,0
điểm)
Vì vậy, hệ số của x2 trong khai triển P thành đa thức là : 0 2 = 9
6 6
C C 1 0
6 5
C C
1 (1,0 điểm) Xem phần 1 Câu VI.a.
2 (1,0 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc
d có phương trình tham số là:
x 1 2t
y 1 t
z t
Vì H d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; 1 + t ; t)
Suy ra : MH= (2t 1 ; 2 + t ; t)
Vì MH d và d có một vectơ chỉ phương là = (2 ; 1 ; 1), nên :u
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = Vì thế, 2 =
1 4 2
; ;
3 3 3
0,50
VI.b
(2,0
điểm)
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là:
x 2 y 1 z
0,25
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
P = 0 5 1 2 4 k 2k 5 k 4 8 5 100,25
C (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x3 chỉ xuất hiện khi khai triển 0 5và
5
C (x 1) 1 2 4
5
C x (x 1) 0,25
Hệ số của x3 trong khai triển 0 5là :
5
C (x 1) 0 3
5 5
C C
Hệ số của x3 trong khai triển 1 2 4là :
5
C x (x 1) 1 1
5 4
C C
VII.b
(1,0
điểm)
Vì vậy, hệ số của x3 trong khai triển P thành đa thức là : 0 3 = 10
5 5
C C 1 1
5 4
C C
.
Lop10.com