Không được sử dụng tài liệu của thí sinh khác..[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ I NĂM HỌC 2013-2014
——oOo——-Môn thi: Hàm suy rộng
Dành cho sinh viên khoá: Lớp K55A1T Ngành học: Toán học
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Cho phiếm hàm∆1: D(R) →C được xác định bởi
h∆1, ϕi =
Z 1
0 ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(R)
Câu 1. (2 điểm) Chứng minh rằng∆1 ∈ E0(R)
Câu 2. (3 điểm) Tính nguyên hàm suy rộng F và đạo hàm suy rộng G của∆1
Câu 3. (3 điểm) Đặt∆2=∆1∗∆1 Tính∆2và giá supp∆2
Chứng minh rằng chuỗi ∑
n∈Z∆2(x−n)hội tụ đến hàm hằng 1 trong S0(R), nghĩa là
S0− lim N→∞
M→ ∞
M
∑
n=−N
∆2(x−n) =1
Câu 4. (4 điểm) Với ∆n = ∆n−1∗∆1, n = 2, 3, , hãy tính biến đổi Fourier của ∆n Từ đó hãy xem với số thực s nào ta có∆1006thuộc không gian Sobolev Ws(R)?
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Hàm suy rộng
Dành cho sinh viên khoá: Lớp K55A1T Ngành học: Toán học
Dạng thông thường của∆1là hàm
∆1(x) =
(
1 nếu 0< x<1,
0 còn lại
Dự đoán nguyên hàm suy rộng của∆1
F(x) =
C nếu x<0,
x+C nếu0<x <1,
1+C nếu x>1
1
Có
∆1∗∆1(x) =DF∗∆1(x) =F∗G= F(x) −F(x−1) =
0 nếu x<0,
x nếu 0≤ x<1,
2−x nếu 1≤ x<2,
0 nếu x≥2
1
Từ đó∆2(x)là hàm liên tục và có giá
cl{x∈R| |∆2(x) 6=0} = [0, 2]
1
Trang 3Với N, M∈N có
FN M(x) =
M
∑
n =− N
∆2(x−n) =
0 nếu x≤ −Nhay x≥ M+2,
x+N nếu −N< x≤ −N+1,
1 nếu −N+1< x≤ M+1,
x−M nếu M+1<x ≤ M+2
Lấy ϕ∈S(R), e>0 có N0 ∈N để
|ϕ(x)| ≤ e
1+x2,|x| >N0 Với N> N0, M > M0có
| Z
R(FN M(x) −1)ϕ(x)dx| ≤
Z
| x |> N 0
2e
1+x2dx<2πe.
1
Có
F (∆n)(ξ) = (2π)n−1(F∆1(ξ))n
1
Lại cóF (∆1)(ξ) = (2π)−1/2i(e−iξ−1)
ξ nên
F (∆n)(ξ) = (2π)−1(i(e−iξ−1)
ξ )n
1
Có
C1(1+ |ξ|2)s−1006≤ (1+ |ξ|2)s|F (∆1006)(ξ)|2≤C2(1+ |ξ|2)s−1006
khi 2kπ+π/2≤ ξ ≤2kπ+3π/2, k∈Z
1.0
màR
R
(1+ |ξ|2)tdξhội tụ khi và chỉ khi t< −1/2 0.5
Hà nội, ngày 19 tháng 12 năm 2013 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN (ký và ghi rõ họ tên)
TS Đặng Anh Tuấn