Sáng kiến kinh nghiệm Môn Vật lý

Gọi diện tích lỗ nhỏ là S, xét một lớp không khí rất mỏng ngay sát ngoài lỗ nhỏ, độ dày và khối lượng của nó là  L và  m. Trong quá trình lớp khí này tiến vào bình thì áp suất không [r]

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA NHỎ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT LÍ

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Giải bài tập là công việc hết sức quan trọng trong quá trình dạy - học môn vật lí Qua mỗi bài tập giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy và hiểu rõ hơn bản chất vật lí trong mỗi bài toán Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, khi gặp các dạng bài tập trong đó các quá trình vật lí diễn ra một cách phức tạp, nếu chúng ta nhìn nhận bài toán này một cách tổng thể để giải thì rất khó khăn Để giải được những bài tập ở dạng này chúng ta có thể sử dụng một phương pháp, gọi là

phương pháp chia nhỏ Đây là một phương pháp tư duy từ nghiên cứu từng bộ phận

đến khái quát tổng thể Dùng phương pháp này có thể giải quyết một cách nhanh chóng các quá trình vật lí phức tạp nhờ các quy luật vật lí mà chúng ta đã quen biết làm cho vấn đề trở nên đơn giản

II Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Trong đề tài nghiên cứu này, tôi sẽ dùng phương pháp chia nhỏ để phân tích và giải một số bài tập vật lí điển hình Từ đó, vận dụng trong quá trình dạy học, đặc biệt

là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Qua việc nắm bắt được phương pháp này, học sinh sẽ có cách nhìn toàn diện hơn trong việc phân dạng, phân tích và giải các bài tập vật lí

III Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp chia nhỏ (có sử dụng tích phân và vi phân)

- Một số bài tập vật lý có thể sử dụng phương pháp chia nhỏ để giải

IV Giới hạn, phạm vi của để tài

Để tài chỉ nghiên cứu cách giải một số bài tập về cơ học, nhiệt học của chương trình lớp 10 và phần điện tích điện trường, cảm ứng điện từ của chương trình lớp 11

1

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận

Phương pháp chia nhỏ là phương pháp chia toàn bộ quá trình thành rất nhiều

các quá trình nhỏ (gọi là quá trình nguyên tố) mà mỗi quá trình nguyên tố đó đều tuân theo cùng một quy luật vật lí Như vậy, chúng ta chỉ cần phân tích một quá trình nguyên tố, sau đó dùng phương pháp toán học hoặc ngoại suy vật lí có thể dễ dàng tìm

ra kết quả Dùng phương pháp này giúp học sinh suy xét lại các quy luật, củng cố, nâng cao kiến thức, nâng cao năng lực giải bài tập vật lí

Để vận dụng thành công phương pháp chia nhỏ ta có thể sử dụng phương pháp

vi phân hoặc tích phân trong toán học để tìm ra kết quả của bài toán

1 Phương pháp vi phân.

Khi giải bằng phương pháp vi phân ta xác định các đại lượng vật lí trong một quá trình nguyên tố (ví dụ: phân tích lực tác dụng lên một phẩn tử nhỏ), khi đó trong kết quả cuối cùng không có mặt các phần tử nhỏ đó

2 Phương pháp tích phân.

Khi giải bằng phương pháp tích phân người ta tiến hành lấy theo tổng các phần

tử nhỏ, đồng thời tận dụng tính chất đối xứng của bài toán, chú ý tránh tối đa việc lấy tích phân trực tiếp.

Cần lưu ý rằng hai phương pháp này ít khi tách rời nhau mà thường liên hệ chặt chẽ với nhau

II Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã vận dụng đề tài này vào đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 và 11 và thu được kết quả như sau:

Đội

tuyển

Trước khi áp dụng đề tài Sau khi áp dụng đề tài

% H/S biết vận dụng phương pháp chia nhỏ

% H/S chưa biết vận dụng phương pháp chia nhỏ

% H/S vận dụng tốt phương pháp chia nhỏ

% H/S chưa vận tốt dụng phương pháp chia nhỏ

C

D E A

B

Từ bảng khảo sát trên và kết quả của các đội tuyển trong kỳ thi học sinh giỏi tỉnh những năm qua của đơn vị nơi tôi công tác cho thấy hiệu quả của đề tài là rất tốt

III Giải một số bài tập bằng phương pháp chia nhỏ

Bài toán 1 Một xích sắt tiết diện đều được treo cố

định vào đỉnh A của một bán cầu, đầu B của xích sắt vừa

đủ chạm đất (hình vẽ) Biết bán cầu có bán kính R, khối

lượng xích sắt trên đơn vị độ dài là , bỏ qua ma sát giữa

xích và mặt cầu Tìm lực kéo T mà đầu A phải chịu

Giải

Nếu xét toàn bộ xích sắt thì không thể bỏ qua chiều dài của nó nên không thể xem toàn bộ xích sắt là một chất điểm được Để phân tích tình trạng chịu lực của dây xích, ta chia dây xích thành rất nhiều đoạn nhỏ mà mỗi đoạn xem như một chất điểm, phân tích sự chịu lực của mỗi đoạn nhỏ và căn cứ điều kiện cân bằng để đưa ra tình trạng chịu lực của toàn bộ dây xích

Xét một đoạn nhỏ bất kì có độ dài ∆L trên dây

xích Đoạn ∆L chịu tác dụng của các lực như hình vẽ Vì đoạn ∆L ở trạng thái cân bằng nên hợp lực tác dụng lên nó bằng 0 Chiếu lên phương tiếp tuyến với mặt cầu ta được:

3

A

B

T T T P  T

Suy ra T Pcos   Lgcos

Vì ở mỗi đoạn nhỏ, lực kéo theo phương tiếp tuyến đi lên lớn hơn lực kéo theo phương tiếp tuyến đi xuống là T , do đó lực kéo của toàn bộ dây xích tác dụng lên điểm A là tổng vô số các lực kéo T , tức là:

T T Lg  gL 

Xét ý nghĩa của tích Lcos: Vì Lchắn cung  rất nhỏ nên coi CDOC, góc DCE=  nên Lcos là thành phần của ∆L theo phương thẳng đứng :

cos

 = CE = R, do đó: Lcos  R R

Vậy: T = gLcos gR

Bài toán 2 Một dây xích sắt khối lượng M, độ dài L, mật độ

khối lượng của dây xích là được treo thẳng đứng mà đầu dưới của

nó vừa chạm đất Bây giờ thả nhẹ để nó rơi trên mặt đất ( hình vẽ)

Hỏi khi dây xích rơi xuống một đoạn x thì áp lực của dây xích tác

dụng lên mặt đất là bao nhiêu?

Giải

Trong quá trính rơi xuống, áp lực của dây xích tác dụng vào đất thực chất là xung lực của nó tác dụng vào đất cùng với trọng lực của một phần dây xích rơi xuống đất Theo định luật III Niuton, xung lực này cũng bằng phản lực của mặt đất tác dụng lên dây xích, xung lực của lực này làm cho động lượng của dây xích rơi xuống đất thay đổi Vì các phần tử của dây xích ban đầu có độ cao khác nhau, vận tốc khi chạm đất khác nhau nên động lượng của chúng sẽ biến đổi khác nhau Chúng ta xét một đoạn nhỏ của dây xích trong một khoảng thời gian t rất nhỏ thì có thể coi xung lực là không đổi

Giả sử thời điểm ban đầu t = 0 dây xích bắt đầu rơi, tại thời điểm t độ dài của dây xích đã rơi xuống đất là x (phần còn lại là L - x), vận tốc phần dây xích chưa rơi xuống là v Ngay sau khi phần dây xích rơi xuống mặt đất, tốc độ của phần đó lập tức bằng không Từ thời điểm t lấy khoảng thời gian ∆t rất ngắn, phần khối lượng

   rơi đến mặt đất và đứng yên Xung lực của mặt đất tác dụng vào M là:

F M g t

Áp dụng công thức : F M g   t P M v

Vì M,t rất là nhỏ nên ta xem M t   0

Do đó ta có : F t M v. v x

Như vậy:

x

t

 





Vì

x

t



 là vận tốc tức thời của dây xích nên ta có: F v2 (1)

Vận tốc v tại thời điểm t là vận tốc tức thời của dây xích khi rơi xuống độ dài là

x, tức là v2 2gx Thay vào công thức (1) ta có: F 2gx

Đây chính là lực do phần dây xích chuyển động tác dụng lên mặt đất tại thời điểm t Ngoài ra, áp lực của dây xích lên mặt đất còn thêm phần trọng lực của phần dây xích đã rơi trên mặt đất trước thời điểm t là Ngx

Do đó, áp lực của dây xích tác dụng lên mặt đất là:

L

5

m R

Bài toán 3 Một sợi dây không giãn, khối lượng không đáng

kể được vắt qua một đĩa cố định, bán kính R Hai đầu dây có treo hai

vật M và m Tìm mật độ phản lực tác dụng lên dây Bỏ qua ma sát

giữa dây và đĩa

Giải

Mật độ phản lực của đĩa tác dụng lên dây là phản lực của đĩa

tác dụng lên một đơn vị chiều dài của dây Chia sợi dây vắt lên ròng rọc thành nhiều phần nhỏ, mỗi phần nhỏ có thể coi là một chất điểm Vì dây không giãn, khối lượng không đáng kể, bỏ qua ma sát giữa đĩa và dây nên lực căng tác dụng lên hai đầu mỗi đoạn nhỏ bất kì đều bằng nhau, nhưng vec tơ phản lực ở các điểm khác nhau trên dây lại không như nhau nên ta không thể xét tổng thể toàn bộ dây mà phải xét từng phần nhỏ trên dây

Trên phần dây tiếp xúc với đĩa (nữa đường tròn) lấy

một đoạn L rất nhỏ có góc ở tâm tương ứng là  (hình

vẽ) Đoạn Lchịu tác dụng của hai lực căng T ở hai đầu và

phản lực N theo phương pháp tuyến của đĩa Vì khối

lượng của dây không đáng kể, hợp lực theo phương pháp

tuyến bằng không và T = T’, nên từ hình vẽ ta có:

sin sin 2 sin

Vì  rất nhỏ nên sin 2 2



, N T   ; và   L R  Nên ta có mật độ phản lực tác dụng lên dây là:

n





Áp dụng định luật II Niu – tơn lần lượt cho hai vật ta có:

T – mg = ma (3)

Từ (2) và (3) ta có:

2Mmg T

M m



 thay vào (1) ta được mật độ phản lực tác dụng lên dây là :

2 (M m) R

Mmg

n 



Bài toán 4 Một bình đựng không khí có áp suất p nhỏ hơn áp suất khí quyển

Trên bình có một lỗ nhỏ được đậy kín Tháo nắp đậy lỗ nhỏ ra cho không khí tràn vào bình Hỏi vận tốc của không khí ngay lúc bắt đầu đi vào bình là bao nhiêu ? Biết áp suất không khí bên ngoài là p0, khối lượng riêng của không khí là 

Giải

Vì không biết ban đầu có bao nhiêu phân tử khí vào bình, không biết chúng phân bố như thế nào và cũng không biết sau khi các phân tử khí đi vào áp suất sẽ biến đổi ra sao nên chúng ta khó tìm ra đường lối để giải Cần chú ý đến từ ‘‘ngay lúc ban đầu’’ gợi cho chúng ta thấy ban đầu có một lớp không khí rất mỏng nằm ngay miệng

lỗ nhỏ tràn vào bình và làm cho áp suất trong bình tăng lên rất ít xem như không thay đổi

Gọi diện tích lỗ nhỏ là S, xét một lớp không khí rất mỏng ngay sát ngoài lỗ nhỏ,

độ dày và khối lượng của nó là Lvà m Trong quá trình lớp khí này tiến vào bình thì áp suất không khí trong bình xem như không biến đổi, do đó lớp khí mỏng này chịu tác dụng của ngoại lực không đổi Từ phân tích trên ta có lực tác dụng lên lớp khí nói trên là :

F = (p – p0)S (1) Theo định lí về động năng ta có :

2

1 2

F L  m v

(2) Trong đó, mS L (3)

7

Từ (1), (2), (3) ta có vận tốc không khí ngay lúc đầu đi vào bình là :

0

2(p p )

v







Bài toán 5 Bên trong một mặt cầu bán kính R người ta tạo một áp suất dư p.

Hỏi bề dày của mặt cầu phải bằng bao nhiêu để khi đó mặt cầu không bị xé rách? Biết rằng điều đó xẩy ra khi ứng suất có giá trị bằng th

Giải

Ta xét một diện tích S(rất nhỏ) ở trên mặt cầu (hình vẽ)

Từ điều kiện cân bằng của bán cầu suy ra rằng lực đàn hồi tại tiết diện đáy bằng tổng hợp các áp lực:

.2 Rd F

Để tính lực tổng hợp này cần lưu ý rằng nó

hướng theo trục đối xứng của bán cầu (hình vẽ)

os

F p Sc  p S p R

(2) Thay vì chiếu lực, ta chiếu yếu tố diện tích

S

 trên mặt phẳng mà bán cầu tựa trên nó (tức là ta

"uốn phẳng" bán cầu)

Thay (2) vào (1) ta được:

2

pR d

 

Từ điều kiện  th, suy ra

2 th

pR d





Bài toán 6 Hai đường ray dẫn điện song song, nằm ngang và cách nhau một

khoảng L, được nối với nhau bởi một điện trở R ở một đầu Một thanh kim loại khối lượng m được đặt trên hai đường ray Điện trở của đường

ray và thanh kim loại không đáng kể Toàn bộ hệ thống

được đặt trong một từ trường đều có cảm ứng từ B thẳng

góc với mặt phẳng chứa hai đường ray Truyền cho thanh

kim loại một vận tốc ban đầu v0 theo phương nằm ngang

hướng sang phải Hỏi thanh kim loại dịch chuyển sang phải

một đoạn tối đa là bao nhiêu ? Giả thiết đường ray đủ dài

Giải

Trong quá trình chuyển động, thanh kim loại chịu tác dụng của các lực như hình vẽ, trong đó F là lực từ do từ trường tác dụng vào thanh Đây là một bài tập tìm

vị trí dịch chuyển của vật dưới tác dụng của lực biến đổi

Giả sử tại thời điểm t bất kì, thanh có vận tốc v và đang chuyển động chậm dần dưới tác dụng của F Xét hệ thống trong khoảng thời gian t (rất nhỏ) sau thời điểm t thanh chuyển động được một đoạn nhỏ x; khi đó từ thông qua mạch biến đổi một lượng là :

BL x

   Cường độ dòng điện trong mạch khi đó là :

c

i

Lực từ tác dụng lên thanh là :

2 2

B L x

F iBL

R t





Vì t rất nhỏ nên có thể xem F không đổi Chọn chiều dương hướng sang phải, trong khoảng thời gian t xung lượng của lực từ là :

E C

K

1

2 M L1 L2 N

P Q

2 2

B L x

I F t

R



   

Để có được độ dịch chuyển có thể lấy tổng các xung lượng của lực từ là :

B L x B L

  



(1) Trong đó x là khoảng dịch chuyển lớn nhất của thanh Mặt khác, áp dụng định luật biến thiên động lượng của thanh kim loại từ khi chuyển động đến lúc dừng lại ta

có :

Từ (1) và (2) ta tìm được :

0

2 2

mv R x

B L



Bài toán 7 Cho mạch điện

như hình vẽ Nguồn điện có suất điện

động E, tụ điện có điện dung C, khóa

K MN và PQ là hai đường ray dẫn

điện trơn nhẵn, song song nằm trên

mặt phẳng ngang, khoảng cách giữa

chúng là L Đường ray đặt trong từ

trường đều, có cảm ứng từ B hướng thẳng góc với mặt phẳng chứa hai thanh ray và có hướng đi vào trong mặt phẳng hình vẽ L1 và L2 là hai thanh nhỏ dẩn điện đặt trên hai thanh ray, khối lượng của chúng lần lượt là m1 và m2 (m1< m2) Khi hai thanh nhỏ chuyển động chúng luôn tiếp xúc và vuông góc với hai thanh ray Bỏ qua ma sát trong quá trình chuyển động, điện trở hai thanh nhỏ bằng nhau Ban đầu hai thanh đứng yên trên đường ray, khóa K đang ở vị trí 1 Đóng K từ 1 sang 2 Hãy xác định :

a) Vận tốc cực đại của hai thanh nhỏ

b) Nhiệt lượng tỏa ra trong toàn bộ quá trình

11

R1

i i1 i2

Khi khóa K ở vị trí 1, nguồn điện nạp điện cho tụ Khi chuyển khóa K sang vị trí 2, tụ điện phóng điện qua hai thanh Trong quá trình phóng điện hai thanh nhỏ chịu tác dụng của lực từ và bắt đầu chuyển động Khi tụ điện phóng hết điện, dòng điện trong hai thanh nhỏ biến mất thì lực từ hết tác dụng, khi đó vận tốc của hai thanh đạt cực đại

a) Gọi vận tốc cực đại của hai thanh nhỏ là v Xét chuyển động của hai thanh trong khoảng thời giant(rất nhỏ) bất kì, trong khoảng thời gian đó cường độ dòng điện qua các thanh xem như không đổi, ta có :

1 1 ' 1 1 1

F t m v   m v

Xét trong toàn bộ thời gian chuyển động:

i

F t m v 

Tương tự với thanh L2 ta có:

i

F t m v 

Từ (1) và (2) ta được: F t i1 F t i2 (m m ) v1 2 (3)

Với F i1BLi1 , F i2 BLi2 và i1 + i2 = i nên ta có:

BLi t  BLi t BL    t BL i t BL  

Trong đó Q = CE là điện tích cực đại mà tụ tích được khi nối với nguồn

và q = CEc = CBLv là điện tích của tụ khi hai thanh đạt vận tốc v (4)

Từ (3) và (4) ta tính được vận tốc cực đại mà hai thanh đạt được là:

2 2

1 2

(m m ) CB

BLCE v

L



h M

b) Vì tổng năng lượng được bảo toàn nên ta có:

2

1 2

( ) v

q

C

Thay q = CBLv với v được tính từ công thức (5) ta được nhiệt lượng tỏa ra trong toàn bộ quá trình là:

2

1 2

2 2

1 2

(m m ) CE 2(m m B L )

Q

C





 

Bài toán 8 Vòng dây mảnh bán kính R mang điện tích q > 0 đặt trong không

khí

a) Tính cường độ điện trường tại tâm O của vòng dây

b) Tính cường độ điện trường tại M trên trục vòng dây cách O một đoạn h Xác định h để E đạt cực đại và tính giá trị cực đại đó

Giải

Để giải được bài toán này nếu ta xét toàn bộ vòng dây thì sẽ không thể giải được Do đó ta chia vòng dây ra nhiều đoạn nhỏ, mỗi đoạn coi như nột điện tích điểm

có điện tích q

a) Xét tại tâm vòng dây

Hai điện tích điểm qnằm ở vị trí xuyên tâm,

đối xứng nhau trên vòng dây sẽ gây nên ở O hai điện

trường ngược chiều, cùng độ lớn Hai điện trường này sẽ triệt tiêu nhau Do đó cường

độ điện trường tổng hợp do cả vòng

dây gây nên ở tâm O sẽ bằng không

E E 

b) Tại điểm M trên trục vòng

dây

13

- Xét hai điện tích điểm q nằm ở vị trí xuyên tâm đối xứng với nhau trên vòng dây Cường độ điện trường tổng hợp do chúng gây nên tại điểm M là:

    

q

r



nên:

E

nằm trên OM và hướng

raxa O

- Cường độ điện trường tổng hợp do cả vòng dây gây nên ở M:

M

E E

M

E nằm trên OM và hướng ra xa O, độ lớn:

M





- Tìm h để EM cực đại

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3

3

Từ đó ta có:

2

3 3

3 3 2

M

E

2 ( )

3 3

kq

R

thì 2

R

h 