Ứng dụng của định lý Vi-ét để giải một số bài toán trung học phổ thông

- Đưa ra các trường hợp xảy ra khi xét dấu các nghiệm của phương trình ax2  bx  c  0+ Phương trình có hai nghiệm Học sinh nghe và ghi nhận kết quả.. b, Tìm hệ thức liên hệ giữa các ng

Córấtnhiềuđịnhl ý n ổ i tiếngc ó vaitròquantrọngtrongnghănhtoânhọcnhưđịnhlýFermat,địnhlýChebyshev,địnhlýBunhia,địnhlýCauchy….trongđócóđịnhlýVi-

ĩt.Docóđặcthùđặcbiệtgồmđịnhlýthuậnvăđịnhlýđ ả o nínnócónhiềuứngdụngq u a

n trọng,cóvaitrò“mócc h ì a k h ó a ” mởracâchướnggiảiquyếtchonhữngbăitoânliínquanđếnphươngtrìnhbậchai,hệphươngtrình…

NhữngứngdụngphongphúcủađịnhlýVi-ĩtđêgópphầnlămđadạngc â c băitậpvềphươngtrìnhbậchai,quyvềphươngtrìnhbậchai,câcbăitoânl i í n quanđếnnghiệmsốcủa phươngtrìnhbậchai,nhữngthuậtgiảiphươngtrình,hệphươngtrìnhđộcđâo

ViệcvậndụnghệthứcVi-ĩtvăogiảitoânđêtạođượchứngthúgiảibăitậpchohọcsinh,hìnhthănhchohọcsinhnhữnglýtưởngphongphú,traudồit ư duyvẳcsângtạochocâcem.Tuynhiín,cònrấtnhiềuứngdụngcủađịnhl ý Vi-

ĩtmăh ầ u n h ư họcsinhc h ư a nắmđược.Vớiv i ệ c h ệ thốngmộtcâchtươngđốiđầyđủvăcụthểtheotừngdạngcùngphươngphâpgiảivăbăitậpâ p dụngnhằmcungcấpthímtăiliệuchohọcsinhvăgiâoviínthuậnlợitrongquâtrìnhhọctập,cùngvớisựsaymícủa bảnthđn,hammuốnhọchỏi,tìmtò i mongmuốncóđượckiếnthứcvữngvănghơnvề câc băitoânứngdụngcủ a địnhlýVi-

ĩtmătôichọnđềtăi“ỨngdụngcủađịnhlýVi-ĩtđểgiảimộtsốbăitoântrunghọcphổthông”.

2 Mụcđíchnghiêncứu

Cungc ấ p t h ê m t à i liệuchog i á o viênv à họcs i n h thuậnlợitrongq u á trìnhhọc tậpvàgiảngdạy,t ừ đ ó nângcaochấtlượngdạyvàhọctrongnhàtrườngphổthông

n n1 1 0

i

a a

a

1.1 ĐịnhlýVi-ét

NỘIDUNG Chương1 CƠSỞLÝLUẬN

S n 1.2 n

iphânbiệt) x1,x2,x3(cácnghiệm khôngnhấtthiết

12 a

1

1.1.2.2 Địnhlýđảo

Nếuhaisốuvàvcótổngu+v=Svàtíchu.v=Pthìuvàvlànghiệmcủaphươngtrình:

x2

Giảsử x1

x2 thì x1x2= 

3

2 12

TheođịnhlýVi-éttacó: 

b a



xx c

1 2 a

1  1 x1 x2 =

b c

hiệmc ủ a phươngtrìnhkhôngphụthuộcvàot h a m sốm

x22sin.x cos10 (2).

a,Chứngminhrằngphương trình(2)luôn cónghiệmvớimọi

b,Tì m hệthứcliênhệ giữacácnghiệmcủaphươngtrình(1)khôngphụt h u ộ cvào.

 12 12

12 2

xx

1 2 1m2

bx c0a0cónghiệmx 1 ,x 2 thỏamãnđiềukiệnchotrước

Vídụ1 :Vớimỗiphươngtrìnhsau,biết1 nghiệm.T ì m m v à n g h i ệ m c ò n lại

Vậynghiệmcònlạicủaphươngtrìnhlà12vàm =–36.

c,m3x2

Giảia ,Phươngtrìnhcó2nghiệmphânbiệt

( 2 m –3)2–4(m2–2m)>0

–4m+9>0m<9

4Vậyvớim<9

4 thìphươngtrình(1)cóhainghiệmphânbiệt

b,Phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệtkhim <9

4TheođịnhlýVi-éttacó

4

x2

xx

12 2

minf(m) m(;2)(1;) 2khivàchỉkhim=1

Vậymin(x2

x2)

2

m(;2)(1;) khim=1

1;x B=

2lànghiệmcủaphươngtrình.TheođịnhlýVi-éttacó:



b2

X 2

11X280 X1 4

X 27Vậyhaicạnhcủahìnhchữnhậtlà:4m,7m

3< 0(loại).Vậym=1

làgiátrịcầntìm

33

-VớiS=–3,P=2.Tacóx ,ylànghiệmcủaphươngtrình

họccơsởlànềntảngđểhọcsinhcóthểtiếptụccủngcố,nângcaohơncáck i ế n thứcvềđịnhlýVi-

éttrong nhàtrườngphổthông.QuađótacũngthấyđượcvaitròquantrọngđịnhlýVi-

éttrongviệcgiảimộtsốdạngtoántrongc h ư ơ n g trìnhToánTrunghọcphổthông.VớiviệchệthốnghóalạiđịnhlýVi-

étvàmộtsốứngdụngcủađịnhlýởtrênnhằmgiúpcácemhọcsinhcóthểhìnhdungkháiquátcácdạngtoánliênquanđếnứngdụngcủađịnhlýVi-

ét.Sangchương2khóaluậnsẽxâydựnghệthốngbàitậptươngứngvớicácphầnđãđềcậpởtrên

1 2

Chương2 HỆTHỐNGBÀITẬPỨNGDỤNGĐỊNHLÝVI-ÉT

x c.

x11Nếua–b+c=0thìphươngtrìnhcóhainghiệm:

Nghiệmcủaphươngtrìnhlàx 1= 1,x 2= –5.d,Tacóa+

b+c=–5+4 +1=0

1

Nghiệmcủaphươngtrìnhlàx 1= 1,x 2=

5

làbiểuthứccóg i á t r ị khôngt h a y đổik h i t a h o á n vị

Tac ó t h ể b i ể u thịđượccácb i ể u thứcđốix ứ n g giữacácnghiệmt h e o S

x1 x2 4 x1 4 x2

Vớim<2tínhtheomgiátrịcácbiểuthứcsau:

ước

2.4.1 PhươngphápchungT

athựchiệncácbướcsau:

1 2 m1

11 m1tìmđượcm=

1

2

 1

m

B x A

)2–

4x

B x A (*)

x2

y2xy1

d,

2(xy)xy2

c,Tươngtựtìmđượcnghiệmcủahệphươngtrìnhlà(5;3),(3;5),(–5;–3),(–3;–5).d,Tươngtựtìm đượcnghiệmcủahệphươngtrìnhlà(0;1),(1;0).



2 2

(khôngthỏamãnxy) Với S2,P1thì x,ylànghiệmcủaphươngtrình

étđãnêuởchương1.M ỗ i dạngtoánđềucóphươngphápvàhướngdẫngiảicụthểgiúphọcsinhcócáinhìnc ụ t h ể hơnc á c ứngdụngcủađịnhlýVi-

étđ ể giảimộts ố b à i toánTrunghọcphổthông

Chương3 THỰCNGHIỆMSƯPHẠM

3.1 Mụcđíchthựcnghiệm

Mụcđíchcủathựcnghiệmn h ằ m t h ă m dòkhản ă n g dạyv à học,đồngt h ờ i bư

ớc đầuxemxétk hả năngcủaviệc vậndụngđịnhlýViétđể giảicácb ài toánTrunghọcphổthông

3.2 Nộidungthựcnghiệm

+Sốtiếtthựcnghiệm:2tiết

+Lớptiếnh à n h thựcnghiệm:10A,10BtrườngTrunghọcphổthôngMỹLộchuyệnMỹLộctỉnhNamĐịnh

Mỗitiếtthựcnghiệmtrướckhidạyđềuđượcsoạngiáoánđầyđủ,chặtc h ẽ cósựphêduyệt,chỉdẫncủagiáoviênhướngdẫn,đảmbảođủthờigianc ủ a mộttiếthọc,phùhợpvớikếhoạchquyđịnhdạyhọcvàcácyêucầucơb ả n củabộgiáodụcvàđàotạo,đảmbảođượcmụcđíchđềra.

3.4 Đánhgiáthựcnghiệm

3.4.1 Biệnphápđánhgiákếtquảthựcnghiệm

Kếtquảthựcnghiệmđượcđánhgiáthôngquabàikiểmtrabanđầuvàb à i kiểmtrasauquátrìnhthựcnghiệm

BàikiểmtrabanđầunhằmmụcđínhthămdòhiểubiếtvàkhẳnăngvậndụngđịnhlýVi-

étđểgiảimộtsốbàitoántrunghọcphổthôngcủađốitượngt h ự c nghiệm.TiếtthựcnghiệmthứhainhằmtìmhiểukỹnăngvậndụngcácứngdụngcủađịnhlýVi-

étmàhọcsinhđãđượcgiớithiệu

Saukhitiếnhànhhaibàikiểmtratrên,tasosánhchấtlượngcủahaibàik iể m

tr ađểthấysựkhácbiệttrongnhậnthứccủađốitượngthựcnghiệm

8;10 7 8 20 21,1

Nhìnchungkếtquảbài kiểmtraở hailớptươngđốiđồngđều Sốhọcsinhđạtđiểmdưới6ởcáclớpchiếmtỉlệkhácao(cụthểlàtrên,dưới40%).Sốhọcsinhđạtđ i ể mgiỏichiếm tỉl ệ thấp( c h ỉ khoảnghơn20%).Điềun à y chứngtỏkhảnăngvậndụngđịnhlýVi-étvàogiảibàitậpcủahọcsinhcònh ạ n chế

GiáoÁnThựcNghiệm Mộtsốứng dụngcủađịnhlýVi-étđểgiảicác

Giáoviêntổngk ế t lạicácbướcđể b.Tacó:

tínhgiátrịc á c biểut h ứ c đốixứng 1 1 x 2

a0

'0khivàchỉkhi P0

- Đưa ra các trường hợp xảy ra khi xét dấu các nghiệm của phương trình ax2  bx  c  0

+ Phương trình có hai nghiệm

Học sinh nghe và ghi nhận kết quả

trái dấu x  0  x  c  0

a+ Phương trình có hai nghiệm

  0

P  0cùng dấu  + Phương trình có hai nghiệm

  0dương 0  x  x  P  0



12

S  0 + Phương trình có hai nghiệm

a, Xác định m để tổng bình phương nghịch đảo các nghiệm của phương trình bằng 4

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc

vào tham số

-Giáoviêngợiý:Đểtìmhệthức x 1x22m 1

liênhệgiữacácnghiệmcủa

x1.x2 2phươngtrìnhtadựavàohệthứcvề 1 1 x2

- Yêu cầu học sinh xác định cácbước của bài toán này.

- Giáo viên nhận xét và tổng kết lại kết quả: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình ax2  bx  c  0 (a ≠ 0) không phụ thuộc vào tham số (giả sử tham sốm) ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của tham

số m để phương trình có hai Học sinh nghe và ghi nhận kết quả.

Kếtquảthuđượctừbàitoánkiểmtrađượcthốngkêtrongbảngphânbốtầnsốvàtầnxuấtnhưsau:

Đốivớilớpđ ố i chứng,vìđề kiểmtrasaumứcđ ộ khóhơnnênsốhọcsinhkhông

c k i ể m tra,đánhg i á kếtquảh ọ c tậpcủah ọ c sinhb ằ n g trắcn g h i ệ m kháchquancóthểđápứngphầnnàonhữngyêucầucủaviệcđổimớiđiều trađánhgiátrongtìnhhìnhhiệnnay

Quaviệcthửnghiệmsưphạm,bướcđầuđãkiểmnghiệmđượctínhkhảt h i củaviệcnghiêncứukhóaluận

Khóaluậnđãtrìnhbàyvàgiảiquyếtmộtcáchcóhệthốngnhiệmvụđặtr a làđưarahệthốngcácứngdụngcủađịnhlýVi-

MỹLộc.Quátrìnhtiếnhànhthựcnghiệmchothấykếtquảthựcnghiệmđãgópphầnkhẳngđịnhtínhthựctế,khảthicủađịnhlýVi-

étvàcácứngdụngvàoviệckhắcsâukiếnthức,rènluyệnkỹnăngchohọcsinhtrunghọcphổthông

Dokhuônkhổcủathờigiancóhạn,nênkhithựchiệnkhóaluậntôichỉg i ớ i thiệumộtsốứngdụngcủađịnhlýVi-

étđểgiảicácbàitoánTrunghọcphổthôngdànhchohọcsinhlớp10,vàmộtsốứngdụ

ngđểgiảihệphươngtrìnhđốixứngh a i ẩnk i ể u I.Trongq u á trìnhviếtđềt à i khôngtránhkhỏinhữngthiếusót,tôikínhmongcácbạnđộcgiả,cácthầycôgiáođónggópýk iế n giúptôihoànthànhđềtàicủamình.

Trongquátrìnhnghiêncứu,khảos á t thựct ế t ạ i trườngtrungh ọ c p h ổ t h ô n gMỹLộc,b ê n cạnhsựnỗlựccủab ả n thânt ô i đãn h ậ n đượcsựđộngviên,giúpđỡnhiệttìnhcủacácthầycô.Tôixingửilờicảmơnchânthànhtớic á c thầycôtrongkhoaToáncùngcácthầycôtrườngtrunghọcphổthôngMỹLộc.Đ ặ c biệttôixint ỏ lòngb i ế t ơnsâus ắ c nhấtt ớ i ThS.DươngThịHàngườiđãtậntìnhchỉbảo,hướngdẫnvàgiúpđỡtôitrongthờigianthựchiệnk h ó a luận

Tôixintrântrọngcảmơn!

HàNội,tháng5năm2013Si

nhviên

LêThịThanhThảo

Khóaluậnđượchoànthànhdướisựhướng dẫntrựctiếpcủacôDươngT h ị Hà.Trongquátrìnhnghiêncứut ô i cót h a m khảomộtsốt à i liệunhưngkhôngh ề saoc h é

p hoàntoàn.T ô i x i n camđoank h ó a l u ậ n nàykhônghoànto à n trùngkhớpvớibấtkìcôngtrìnhnàođãđượccôngbốtrướcđó

Nếusaitôixinhoàntoànchịutráchnhiệm

HàNội,tháng5năm2013Si

nhviên

LêThịThanhThảo

MỞĐẦU 1

1 Lýdochọn đềtài 1

2 Mụcđíchnghiêncứu 2

3 Nhiệmvụnghiêncứu 2

4 Phươngphápnghiêncứu 2

5 Cấutrúcđềtài 2

NỘIDUNG 3

Chương1.CƠSỞLÝLUẬN 3

1.1 ĐịnhlýVi-ét 3

1.2 MộtsốứngdụngcủađịnhlýVi-étđểgiảicácbàitoánTrunghọc phổthông 5

Chương2.HỆTHỐNGBÀITẬPỨNGDỤNGĐỊNHLÝVI-ÉT 30

2.1 Bàitoánnhẩmcácnghiệmcủaphươngtrìnhbậchai 30 2.2. Bàitoántínhgiátrịcácbiểuthứcđốixứnggiữacácnghiệmcủaphươngtrìnhbậch ai 31 2.3. Bàitoántìmhệthứcliênhệgiữacácnghiệmcủaphươngtrình ax2  bxc0a0khôngphụthuộcvàothamsố 33

2.4. Bàitoántìmđiềukiệncủathamsốđểphươngtrìnhax 2 bxc0a0 cónghiệm x1,x2thỏamãnđiềukiệnchotrước 35

2.5.Bàitoánxétdấucácnghiệmcủaphươngtrìnhax2 bx c0a0 382.6 Bàitoánvềhàmsố 40

2.7 Bàitoáncónộidunghìnhhọc 43

2.8 Bàitoángiảihệphươngtrìnhđốixứnghaiẩnkiểumột 44

Chương3.THỰCNGHIỆMSƯPHẠM 48

3.1 Mụcđích thựcnghiệm 48

3.2 Nộidungthựcnghiệm 48

3.3 Tổchứcthựcnghiệm 49

3.4 Đánhgiáthựcnghiệm 49

3.5 Kếtluậnrútratừthựcnghiệm 59

KẾTLUẬN 60

TÀILIỆUTHAMKHẢO 61