Giáo án phụ đạo Môn Toán lớp 10

Tìm điều kiện để ph−ơng trình, bất ph−ơng trình bậc hai có đúng một nghiệm thuộc tập hîp D cho tr−íc cã nghiÖm duy nhÊt trªn D Bµi to¸n 1a Tìm điều kiện để ph−ơng trình ax2+ bx + c = 0 c[r]

T TOÁN

NGUY N VĂN XÁ

MÔN TOÁN

L P 10A13

−

A H m số bậc nhất v Phương trình bậc nhất

i h m số bậc nhất

1 định nghĩa v tính chất

a Định nghĩa

H m số bậc nhất l h m số cho bởi công thức y = ax + b (a ≠ 0), ở đó a v b l hằng số

thực, x l biến số hay đối số

VD: Các h m số y = 2x – 1, y = -3x + 5, y = 1

2x l h m số bậc nhất H m y = (m – 2).x + 5 chỉ l h m bậc nhất khi m ≠ 2, với m = 2 thì h m số n y l h m hằng, không phải l h m

bậc nhất

b Tập xác định v tập giá trị

H m số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) có tập xác định D = ℝ, tập giá trị G =ℝ

c Chiều biến thiên

Vì ∀x1, x2∈ ℝ, x1≠ x2, ta có y1 = a x1+ b, y2 = ax2 + b, v

a

nên nếu a > 0 thì h m số bậc nhất y = ax + b đồng biến trên tập ℝ, nếu a < 0 thì h m số bậc nhất

y = ax + b nghịch biến trên tập ℝ Chẳng hạn h m số y = 2x-1 đồng biến trên tậpℝ, h m số y =

-3x + 5 nghịch biến trên tập ℝ, còn h m số y = (m – 2)x đồng biến trên tậpℝkhi m > 2, v

nghịch biến trên tập ℝkhi m < 2

Ta có bảng biến thiên:

x - ∞ + ∞ x - ∞ + ∞

y=ax+b

(a>0)

+ ∞

- ∞

y=ax+b (a<0)

+ ∞

- ∞

d Đồ thị h m bậc nhất

Đồ thị h m số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) l một đường thẳng không song song v không

trùng với các trục toạ độ Ox, Oy, cắt Ox, Oy lần lượt tại các điểm

A( b

a

ư , 0), B(0, b), có hướng đi lên (đi xuống) từ trái sang phải nếu a > 0 (tương ứng

a < 0) Nếu b = 0 thì đồ thị h m số đi qua gốc toạ độ O(0, 0) v điểm C(1, a) Xem hình 1.1 v 1.2

Để vẽ đồ thị h m bậc nhất ta chỉ cần xác định hai điểm tuỳ ý thuộc đồ thị rồi vẽ đường

thẳng đi qua hai điểm đó

Hình 1.1

Hình 1.2

2 đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

1) Đường thẳng có phương trình y = ax + b (d)

Nếu a ≠ 0 thì (d) l đồ thị của h m số bậc nhất, nó cắt cả hai trục toạ độ Ox v Oy Xem

hình 1.1 v 1.2

Nếu a = 0 thì (d) l đồ thị của h m hằng y = b, nó l một đường thẳng cùng phương với Ox

(vuông góc với Oy) v đi qua điểm B(0, b) Xem hình 1.3

Hình 1.3

Trong cả hai trường hợp trên, mỗi đường thẳng vuông góc với Ox luôn cắt (d) tại duy nhất

một điểm

Gọi α l góc tạo bởi chiều dương trục Ox v phần đường thẳng (d) nằm phía trên Ox Nếu a

= 0 thì coi α = 0o Rõ r ng 0o ≤ α < 180o v α ≠ 90o Người ta chứng minh được rằng tanα = a Vì

thế hệ số a được gọi l hệ số góc của (d) Xem hình 1.4 v 1.5

Đường thẳng (d) luôn cắt Oy tại điểm B(0, b) nên hệ số b được gọi l tung độ gốc của (d)

Cho hai đường thẳng (d) y = ax + b, (d/) y = a/x + b/ v xét hệ phương trình

y = ax + b

(1)

y = a x + b





d≡d/ ⇔ a = a/ v b = b/ ⇔ Hệ (1) vô số nghiệm

H×nh 1.4

H×nh 1.5

Hình 1.6

d//d/ ⇔ a = a/

v b ≠ b/ ⇔ Hệ (1) vô nghiệm

d cắt d/⇔a ≠ a/ ⇔ Hệ (1) có nghiệm duy nhất (khi đó nghiệm của (1) l toạ độ giao điểm duy

nhất của d v d/) Đặc biệt d⊥d/ ⇔a a/

= -1

2) Đường thẳng x = x 0

Trong mặt phẳng Oxy đường thẳng có phương trình x = x0 cùng phương với Oy, vuông góc

với Ox tại điểm có ho nh độ bằng x0, v vuông góc với tất cả các đường thẳng có phương trình

dạng y = b Xem hình 1.6

Đường thẳng x = x0 không phải l đồ thị của h m số

3) Đường thẳng Ax + By + C = 0

Trong mặt phẳng Oxy có hai loại đường thẳng, loại thứ nhất l những đường thẳng không

cùng phương với Oy, chúng có phương trình dạng y = ax + b, v l đồ thị của h m số y = ax + b,

loại thứ hai l những đường thẳng cùng phương với Oy, chúng có phương trình dạng x = x0, v

không l đồ thị của h m số n o Phương trình của cả hai loại đường thẳng nói trên đều có thể đưa

được về dạng Ax + By + C = 0, với A2 + B2 ≠ 0 Như vậy, mọi đường thẳng trong mặt phẳng đều

có dạng Ax + By + C = 0 (A2+ B2 ≠ 0) Ngược lại, tập hợp tất cả các điểm trong mặt

phẳng có toạ độ (x, y) thoả mkn phương trình Ax + By + C = 0 (A2+ B2 ≠ 0) l một đường thẳng

gọi l đường thẳng Ax + By + C = 0 Nếu A = 0 thì đường thẳng n y cùng phương với Ox (vuông

góc với Oy), nếu B = 0 thì đường thẳng n y cùng phương với Oy (vuông góc với Ox), nếu C = 0 thì

đường thẳng n y đi qua gốc toạ độ O(0, 0) Nếu A, B, C đồng thời khác 0 thì phương trình Ax +

By + C = 0 có thể được viết ở dạng x

a + y

b = 1 v đường thẳng n y cắt hai trục toạ độ Ox, Oy

lần lượt tại M(a, 0), N(0, b) khác O(0, 0) V ngược lại nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng đi qua hai

điểm M(a, 0), N(0, b) có phương trình dạng x

a + y

b = 1, gọi l phương trình viết theo đoạn chắn

Phương trình Ax + By + C = 0 (A2 + B2≠ 0) được gọi l phương trình tổng quát của đường

thẳng trong mặt phẳng

Cho hai đường thẳng (D1) A1x + B1y + C1 = 0 (A12 + B12≠ 0)

(D2) A2x + B2y + C2 = 0 (A22 + B22 ≠ 0)

v xét hệ phương trình 1 1 1

A x + B y + C = 0

(2)

A x + B y + C = 0





 Có ba khả năng sau xảy ra:

D1≡ D2 ⇔ Hệ (2) vô số nghiệm ⇔ 1 1 1

2 2 2

A = B = C (nếu A2, B2, C2 ≠ 0)

D1// D2 ⇔ Hệ (2) vô nghiệm ⇔ 1 1 1

2 2 2

A = B ≠ C (nếu A2, B2, C2 ≠ 0)

D1 cắt D2 ⇔ Hệ (2) có nghiệm duy nhất (khi đó nghiệm của (2) l toạ độ giao điểm duy nhất

của D1 v D2)⇔ 1 1

2 2

A B

A ≠ B (nếu A2, B2 ≠ 0) Đặc biệt D1⊥D2 ⇔A1A2+ B1B2= 0

4) Lập phương trình đường thẳng

- Đường thẳng song song với đường thẳng Ax + By + C = 0 có PT dạng Ax + By + C/ = 0

- Đường thẳng vuông góc với đường thẳng Ax + By + C = 0 có PT dạng Bx - Ay + C/ = 0 hoặc -Bx + Ay + C/ = 0

- Đường thẳng đi qua điểm M(xo, yo) có PT dạng A(x – xo) + B(y – yo) = 0, với A2 + B2≠ 0

- Đường thẳng đi qua điểm M(xo,yo), hệ số góc k, có PT l y – yo= k(x – xo) hay y = k(x – xo) + yo

- Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M1(x1,y1), M2(x2,y2) có phương trình dạng

(x2 – x1)(y – y1)= (y2 – y1)(x – x1) Trong đó nếu x1 = x2 thì đường thẳng M1M2 có PT l x = x1, nếu

y1 = y2 thì nó có phương trình y = y1, v nếu x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 thì nó có phương trình

2 1 2 1

5) Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M(xo,yo) tới đường thẳng ( )Ax + By + C = 0 ( với A2 + B2≠ 0) được

tính theo công thức d(M/∆) 2 2

o o

=

6) Góc giữa hai đường thẳng

1) Cho hai đường thẳng ( 1) A1x + B1y + C1 = 0 (A12 + B12 ≠ 0)

( 2) A2x + B2y + C2 = 0 (A22 + B22≠ 0)

v góc giữa chúng l ϕ (0 ≤ ϕ ≤

2

π ) Ta có công thức cosϕ = 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

A A B B

+ + + Như vậy 1 ⊥

2⇔ A1A2+ B1B2= 0

2) Nếu 1, 2 lần lượt có hệ số góc l k1, k2 v chúng không vuông góc với nhau thì tanϕ

1 2

1

k k

ư

+ , còn 1⊥ 2⇔ k1k2 = -1

7) Chùm đường thẳng

Tập hợp tất cả những đường thẳng trong mặt phẳng v đi qua điểm M cho trước gọi l chùm

đường thẳng tâm M

Cho hai đường thẳng (d1) a1x + b1y + c1 = 0 (a2

1+b2

1 ≠ 0), (d2) a2x + b2y + c2 = 0 (a2

2+b2

2 ≠

0), cắt nhau tại M Mọi đường thẳng thuộc chùm đường thẳng tâm M đều có phương trình dạng

λ( a1x + b1y + c1) + à( a2x + b2y + c2) = 0, với λ2 + à2≠ 0

8) Phương trình đường phân giác

Đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) a1x + b1y + c1 = 0 (a2

1+b2

1 ≠ 0), (d2) a2x + b2y + c2 = 0 (a2

2+b2

2 ≠ 0) có phương trình dạng

2 2

1 1

a x + b y + c

a +b =

2 2

2 2

a x + b y + c

a +b

9) Vị trí trương đối của hai điểm so với đường thẳng

Cho hai điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2) v đường thẳng ( )Ax + By + C = 0 Nếu

(Ax1 + By1 + C).( Ax2 + By2 + C) > 0 thì M1 v M2 nằm cùng phía so với ( ), còn nếu (Ax1 + By1

+ C).( Ax2 + By2 + C) < 0 thì M1 v M2 nằm khác phía so với ( )

3 VÍ D

1 L p b ng bi n thiờn và v ủ th hàm s

x a)y 2x 3 b)y 1 c)y 3x 1 d)y 2 x 3 e)y 3x x 1 f )y x 2x 1

2

x 1 khi x 1

2x khi x 1



=

ư < ư



2 Tỡm a, b ủ ủư ng th ng y = ax + b ủi qua hai ủi m A, B trong m i trư ng h p sau:

a) A(2; 1), B(1; 2) b) A(1; 3), B(3; 2) c) A(1; 2), B(2; 0) d) A(2; ư5), B(ư1; ư1)

3 Tỡm a, b ủ ủ th hàm s (d) y = ax + b:

a) Song song v i ủư ng th ng (d’) y = 2x, và c t Ox t i ủi m cú hoành ủ b ng 3

b) Vuụng gúc v i ủư ng th ng ( ) : y 1x 1,

3

∆ = ư + và c t ( ') : y∆ = ưx 1 t i ủi m cú tung ủ b ng 1

c) ði qua M(1; 3) và gúc gi a chi u dương Ox v i ph n ủư ng th ng (d) n m phớa trờn Ox là 600

4 Cho (d) : y=(m 1)xư +m; ( ) : y∆ = ư +5x 1 Tỡm m ủ :

a) (d) c t Oy t i ủi m cú tung ủ b ng 1ư 2 b) (d) //( ).∆ c) (d)⊥ ∆( )

d) (d) và ( )∆ ủ i x ng v i nhau qua Ox e) (d) và ( )∆ ủ i x ng v i nhau qua Oy

f) (d) và ( )∆ ủ i x ng v i nhau qua O g) Hàm s (d) ủ ng bi n trờn

h) Hàm s (d) ngh ch bi n trờn i) Tỡm ủi m c ủ nh mà (d) luụn ủi qua v i m i m

5 Tỡm a ủ ba ủư ng th ng (d ) : 3x1 y 1, (d ) : 2x2 ay a, (d ) : y3 1x 3

2 2

6 Tỡm a ủ hai ủư ng th ng (d) : x+ + =ay a 0; ( ) : y∆ =ax+2a 1ư c t nhau t i ủi m M(x ; y )0 0 th a

món x0<0, y0<0 Cũng cõu h i tương t" nhưng v i hai ủư ng th ng

(d) : xưay= ưa; ( ) : y∆ = ư ưax 1

7 Tỡm m, n ủ hai ủư ng th ng (d) : mxư +(n 1)y 1ư =0; ( ) : nx∆ +2my+ =2 0 c t nhau t i

M( 1;3).ư

8 Cho (d) : y= ư(1 4m)x+ ưm 2

a) Tỡm m ủ d//Ox

b) Tỡm m ủ (d) ủi qua g c t a ủ

c) Khi nào thỡ gúc α (là gúc gi a chi u dương Ox v i ph n ủư ng th ng d n m phớa trờn Ox) là

gúc nh n, là gúc tự?

d) Tỡm m ủ (d) c t Oy t i ủi m cú tung ủ b ng 5

2

ư V ủ th v i m v#a tỡm ủư c

e) Tỡm m ủ (d) c t Ox t i ủi m cú hoành ủ õm

9 Tỡm a ủ ba ủư ng th ng (d ) : ax1 y 2, (d ) : x2 ay 3, (d ) : y3 x

2

ii phương trình bậc nhất

1 Định nghĩa

Phương trình bậc nhất một ẩn l phương trình có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) với a, b l các

hằng số thực, x l biến số, hay ẩn số

Tập xác định của phương trình ax + b = 0 l D = ℝ

Nghiệm của phương trình l giá trị của x sao cho khi thay v o phương trình ta được đẳng

thức đúng Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình được gọi l tập nghiệm của phương trình

Giải phương trình l tìm tập nghiệm của phương trình đó

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) có nghiệm duy nhất x = - b

a, tập nghiệm

S = {- b

a}

2 cách giải phương trình dạng ax + b = 0

+ Nếu a ≠ 0 thì phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất x = - b

a + Nếu a = 0 v b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiện đúng với mọi x

3 v i ví dụ

Dạng 1: Giải v biện luận phương trình

1, 2

6 4 3

m x+ = x+ m 2, 2

1 ( 1)

m x+ = mư x m+ 3, (m x mư + =3) m x( ư +2) 6

4, 2

( 1)

7, a x b( ư ư =) 1 b(1 2 )ư x

10, 2

( )

a x=a x b+ ưb

13, 1 2

1

mx

x + =

ư

5,

2 2

( 2) ( ) 8

1 4

m x x m

x

+

( 2 ) ( )

a ax+ b ư =a b x a+

1

mx m

+

14,

2 2

x m

x = x

(m+1) x mư =(2m+5)x+2

9, x a x a 22 2

b a b a a b

1

x m x

x x m

15, ( 1) 2

3

m x m

m x

+

Dạng 2: phương trình có nghiệm thoả m&n điều kiện cho trước

Câu 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:

2

2

1 1

x m x

x x

Câu 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy

nhất: 1 2

1

x x

x x m

Câu 3: Tìm m để phương trình sau có tập nghiệm

l R: 2

( 1) 1

m m xư = ưx

Câu 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

x m x m

x

x x

Câu 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x

thoả mkn: -1 < x < 0 :

(2m xư ) + ư(1 m) = ư(x m) + ư(1 x)

(xư1)(m ư + =m 1) m +1

a, Cm phương trình luôn có nghiệm

b, Gọi x1, x2 l nghiệm của pt tương ứng với hai

giá trị m1, m2 của m CM:

1 2 2 1 2 5( 1 2) 2 1 2 12

m +m = m m ⇔ x +x ư x x =

Câu 7: Xác định m để các pt sau vô nghiệm:

(mư1) x=4x m+ +1

b, 2

( 1) 2( 2)

m xư = mxư

4xư3mư =2 m x( ư ư1) 4

Câu 8: Xác định m để các pt sau có nghiệm

duy nhất:

1 1

x m x

x x

( 2 ) ( )

a ax+ b ư =a b x a+

Câu 9: Xác định m để các pt sau có tập

nghiệm l R:

a, 2

( 1) 2 (2 1)

m mxư = m x+

b, a x( ư +1) b(2x+ = +1) x 2

Câu 10: Tìm m để các pt sau có nghiệm:

2(| |x + + =m 1) m x| |+m +3

b, 2

( 1) 4 3 2

m xư = xư m+ với x > 0

x m x m

x

x x

d, 2(| |x + ư =m 1) | |x ư +m 3

B H m sè bËc HAI v Ph−¬ng tr×nh bËc HAI

I HÀM S$ B%C HAI

1 KHÁI NI&M

2 BÀI T%P

1 Ch ng minh hàm s y=2x2− −x 1 có giá tr nh nh't, nhưng không có giá tr l n nh't, trên ℝ

2 Xét s" bi n thiên và v ñ th c(a hàm s :

a)y x 2x 3 b)y x 2x c)y x 2x 1

2

3 a) V ñ th hàm s y = − x2 + 2x và tìm x ñ y > 0

b) V ñ th hàm s y = x2

+ 4x và tìm x ñ y ≤ 0

c) V ñ th hàm s y = x2− 2x và tìm giá tr nh nh't c(a hàm s trên

4 Tìm giá tr l n nh't và giá tr nh nh't c(a hàm s :

a) y = − x2 + 1 trên ño n [− 2; 1] b) y = x2− 2x − 2 trên ño n [− 3; 0]

5 L p b ng bi n thiên và v ñ th hàm s :

2

2 x 4x 5 khi x 1

a)y x 2 | x | b)y x | x 2 | c)y

x 1 khi x 1



6 V ñ th hai hàm s y = x + 1 và y = x2− 2x + 1 trên cùng m t h) t a ñ và tìm giao ñi m c(a

chúng

7 Xác ñ nh các h) s a, b, c ñ (P) y = ax2

+ bx + c (a ≠ 0):

a) ði qua A(0; − 3) và có ñ*nh I(1; − 2)

b) ði qua M(0; 4), N(− 1; 1), và có ñ*nh n m trên Ox

c) ði qua B(−1; −8) và hàm s ñ t giá tr l n nh't b ng 2 khi x = 1

d) ði qua Q(1; 1 + b + c) và hàm s ñ t giá tr nh nh't b ng −1 khi x = 1

e) C t tr+c tung t i ñi m có tung ñ b ng 2 và ñi qua D(1; 5), E(−2; 8)

f) C t tr+c tung t i ñi m có tung ñ b ng 2, c t tr+c hoành t i các ñi m có hoành ñ b ng 2 và 1

8 a) Tìm a và m ñ ñ th hàm s y = a(x − m)2ñi qua A(1; 4) và có tr+c ñ i x ng x = −1

b) Tìm m ≠ 0 ñ ñ th hàm s y = mx2− 2mx −m − 2 có ñ*nh n m trên ñư ng th ng y = 2x − 1

9 Cho (P): y = x2 + 2mx − 2m

a) Tìm qu, tích ñ*nh c(a parabol (P)

b) Tìm ñi m c ñ nh mà (P) luôn ñi qua v i m i m

10 Dùng ñ th , bi)n lu n theo m s nghi)m c(a phương trình:

2

a)x −3x 1 m− + =0 b) | x 1| (x 3)+ − =m

11 Ch ng minh r ng (P) y = 2x2 + x − 3 và (d) y = mx luôn c t nhau t i hai ñi m phân bi)t A, B

v i m i m Tìm qu, tích trung ñi m I c(a ño n AB

12 Cho (P) y = x2 + 2x, (d) y = −2x + m

a) Tìm m ñ (P) và (d) có duy nh't m t ñi m chung

b) Tìm m ñ (P) và (d) có hai giao ñi m phân bi)t A, B và tìm qu, tích trung ñi m c(a ño n AB

13 Xác ñ nh d'u c(a các h) s a, b, c bi t ñ th (P) y = ax2

+ bx + c có d ng:

a) b) c)

14 Tỡm m ủ phương trỡnh cú nghi)m

a) x ư2x = ưx m b) xư2m = ư1 x c) xưm = x +x

II TAM TH-C B%C HAI

1 CÁC ð.NH NGHĨA

Tam thức bậc hai l biểu thức có dạng f(x) = ax2+ bx + c (a ≠ 0) với a, b, c l các hệ số,

còn x l biến số

Nghiệm của tam thức l giá trị của x l m cho f(x) có giá trị bằng 0 Như vậy, việc tìm

nghiệm của tam thức f(x) tương đương với việc giải phương trình f(x) = 0

2 ð.NH LÍ

Khi cho x một giá trị thực thì f(x) = ax2+ bx + c (a ≠0) có thể nhận giá trị âm, dương, hoặc

bằng 0 Với mỗi tam thức f(x), một vấn đề được đặt ra l xét dấu của nó trên những miền nhất

định Định lí sau đây nêu lên mối liên hệ giữa dấu của tam thức f(x) với dấu của biệt thức ∆ v dấu

của hệ số a

a) Định lí thuận

Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠0) v ∆=b2 - 4ac

- Nếu ∆< 0 thì af(x) > 0 ∀∈R

- Nếu ∆= 0 thì af(x) > 0 ∀x≠

a

b

2

ư , f(

a

b

2

ư ) = 0

- Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 (x1< x2) v 1 2

1 2

af(x) < 0, x (x , x ), af(x) > 0, x R\[x , x ]

∀ ∈





∀ ∈



b) Định lí đảo

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠0) v số thựcα Nếu a.f(α) < 0 thì f(x) có hai

nghiệm x1, x2 thoả mkn x1 < α < x2

Chứng minh định lí n y có thể áp dụng định lí Viét

c) So sánh các số với nghiệm của tam thức