O1; O2; là tâm hai đường tròn liên tiếp tiếp xúc nhau... Gọi Sn là tổng của n hình tròn đầu tiên nội tiếp các hình vuông.. Tính S10 lấy kết quả với 5 chữ số thập phân Sơ lược cách giải:
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Đề thi chính thức Khối 9 THCS - Năm học 2010-2011
Thời gian làm bài: 90 phút - Ngày thi: 06/01/2011 Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm toàn bài thi (Họ, tên và chữ ký)Các giám khảo (Do Chủ tịch Hội đồng Số phách
thi ghi) Bằng số Bằng chữ
GK1 GK2
Bài 1: Tớnh giỏ trị của biểu thức sau(lấy kết quả với 5 chữ số ở phần thập phõn
a)
3sin15 25' 4cos12 12 '.sin 42 20' os36 15' 2cos15 25' 3cos 65 13'.sin15 12 ' os31 33'.sin18 20'
c A
c
=
B
a) Kết quả A ≈
b) Sơ lược cỏch giải:
Rỳt gọn A rồi tớnh hoặc tớnh trực tiếp
Kết quả: x ≈14,23529
Bài 2:
Tỡm cỏc chữ số a, b, c, d,e,f trong mỗi phộp tớnh sau Biết a, b hơn kộm nhau 1 đơn vị
a) ab cdef5 =2712960
b) 0 a b cdef =600400
c) ab c bac5 =761436
a) ab cdef5 =2 3 5.157 785.34567 3 = suy ra a = 7; b = 8; c = 3; d = 4;e = 5; f = 6;
b) a b cdef0 =2 5 19.79 304.19754 2 = suy ra a = 3; b = 4; c = 1; d = 9; e = 7; f = 5;
5 2 3 13.1627 3254.234
Bài 3:
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = 3 1 3
+ + Tớnh gúc tạo bởi d và trục
Ox (kết quả lấy đến giõy)
B ≈ 14,23529
A ≈ 1,67744
Trang 2b) Giải các phương trình: 2 3 1 6 3 7 15 11
thập phân)
c) Cho hàm số y = f(x), biết
(1) 0,3579
( ) ( 1)
f
f n
f n
nf n
=
với mọi n N∈ * Tính 1
(2011)
f
tan 34 56'52"
b) Từ giả thiết ta biến đổi
−
15 11
2 3 5
−
−
Ta suy ra: Ax + B = C => x =C B 1, 4492
A
− ≈ −
c) Đặt f(1) = a; bằng quy nạp ta tính được:
(2)
1.2
2
(3)
2.3
(4)
3.4
( 1)
.( 1)
2
f
a
f
a
a a
f
a
a
a
f n
n n
a
+
+ +
+
+
L
Vậy
2011.2012
1
(2011)
a
+
= thay số ta được f(2011)1 ≈2 023 068,794
Bài 4: Cho đa thức P(x) biết: P(x) chia cho x – 1 dư 5; x -2 dư 7; x – 3 dư 10; x + 2 dư - 4; Tìm dư
của đa thức P(x) cho (x -1)(x – 2)(x – 3)((x + 2)
Theo bài ra ta có: P(1) =5; P(2) = 7; P(3) =10; P(-2) = - 4
Suy ra P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) (x + 2) Q(x) + ax3 + bx2 +cx + d Theo bài ra ta có hệ
Trang 3Ta có hệ:
3 0,15 20
2,15
20
31 3,1 10
a
a b c d
c
a b c
d
= =
+ + + =
Vậy đa thức dư: R(x) =0,15x3 -0,4x2 + 2,15x + 3,1
x + x+ = + x+ (1)
a) Viết một quy trình ấn phím giải phương trình (1) và lấy kết quả chính xác đến 0,0001
Viết lên màn hình biểu thức: 4 2 28 27
x + x+ = + x+ (trên máy 570 ES), X
SHIFT SOLVE = =
Kết quả x 0, 2222≈
b) Chứng minh nghiệm vừa tìm được là nghiệm duy nhất của phương trình trên.
x + x+ − − x+ (trên máy 570 ES), X
Xét x > 0,2222: Gán X = 0,2222
Sau đó thực hiện viết lên màn hình biểu thức:
x + x+ − − x+ = = Sau đó == liên tục: Kết quả A > 0
Tương tự xét x < 0,2222
Gán X = 0,2222
Sau đó thực hiện viết lên màn hình biểu thức:
x + x+ − − x+ = = Sau đó == liên tục: Kết quả A < 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên.
Bài 6: Cho 8 đường tròn có cùng bán kính r đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc ngoài với đường
đường tròn lớn bán kính R.(Lấy kết quả 5 chữ số thập phân)
a) Tính r theo R
b) Tính r biết R = 2010 cm
a) Gọi O là tâm đường tròn lớn bán kính R O1; O2; là tâm hai đường tròn
liên tiếp tiếp xúc nhau Gọi I là tiếp điểm của hai đường tròn O1; O2
Theo bài ra ta có: góc O OO =1ˆ 2 45 tam giác OO1O2 cân tại O và IO0 O
O 1
O 2
I
Trang 4Vuông góc với O1O2 và OO2 = OO1 = r + R
Ta có góc O1OI = 22030’ Ta có sin 22030’= r
R r+ .từ đây ta suy ra
0
0
.sin 22 30'
1 sin 22 30'
R
r=
−
b) Thay số: ta được r ≈1246, 6478cm
Bài 7: Một hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh a = 2,2011cm, sau đó nội tiếp trong đường tròn
một hình vuông và quá trình đó cứ tiếp diễn như thế Gọi Sn là tổng của n hình tròn đầu tiên nội tiếp các hình vuông Tính S10 (lấy kết quả với 5 chữ số thập phân)
Sơ lược cách giải: Sau mỗi lần thực hiện thì bán kính đường tròn thứ n+1 giảm đi 1
2 so với bán
kính đường tròn thứ n Do đó diện tích hình tròn thứ n + 1 giảm đi 1
2 so với diện tích hình tròn
thứ n
Vậy S10 =
2
7,60214
a
Bài 8: a) Tính tổng các ước dương lẻ của số A = 8863701824
b) Tìm các số có dạng aabb sao cho aabb= +(a 1)(a+ × −1) (b 1)(b−1)
a) Sơ lược cách giải: Ta phân tích A=2 101.11716 2
Vậy tổng các dương lẻ của A bằng: ( ) ( 2)
1 101 1 1171 1171+ + + =139 986 126 b) Từ giả thiết ta suy ra: 100 11( 1)( 1) 10 11
111 11
b
b
−
− với b=1, 2, …, 9
Lập quy trình như sau:
ALPHA B ALPHA = ALPHA B + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = (10 ALPHA B – 11) ÷ (111 –
11 ALPHA B) = = ấn = = cho đến khi B = 10 thì dừng lại ta được kết quả A = 3 ; B = 8
Thử lại ta thấy đúng
Vậy số cần tìm aabb = 3388 = 44 77.