Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng.. Gọi T là trực tâm tam giác ABC, chứng minh rằng T và M đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng BC.. Họ và tên thí sinh.... Giám thị 1 Giám thị 2 Sở GD&
Trang 1Sở GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Năm học 2007 - 2008
Đề chính thức Môn thi: TOáN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: ngày 28 tháng 3 năm 2008
(Đề bài gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm): Giải các phơng trình sau:
1 (x+ 1 ) 2 +y2 = 0
2 (x+ 1 ) 5 − 32 = 0
Câu 2 (4,0 điểm): Cho biểu thức A
2
2 :
25 10
25
2 2
3
2
−
−
− +
−
−
=
y y
y x x
x x
1 Rút gọn A
2 Tính giá trị của biểu thức A biết rằng 2x2 + 9y2 − 6xy− 6x+ 9 = 0
Câu 3 (2,0 điểm): 1 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết đợc dới
dạng p = 6m±1, với m là số tự nhiên
2 Tìm số nguyên tố p sao cho 8p2 + 1 là số nguyên tố
Câu 4 (3,0 điểm): Cho hình thang cân ABCD, gọi M, N, K lần lợt là hình chiếu của D
trên các đờng thẳng AB, AC, BC Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng
Câu 5 (3,0 điểm):
1 Giải phơng trình 3x3−3x2 − − =3x 1 0
2 Giải hệ phơng trình
1 0 3 1 0 3 1 0 3
− − − =
− − − =
− − − =
Câu 6 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O); các đờng cao AH,
BE, CF cắt (O) tại M, N, K
1 Gọi T là trực tâm tam giác ABC, chứng minh rằng T và M đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng BC
2 Tính
CF
CK BE
BN AH
Câu 7 (2,0 điểm): Tìm nghiệm x, y, z nguyên dơng của phơng trình x+y+z -1 = xyz
Hết
Họ và tên thí sinh
Số báo danh Phòng thi số
Giám thị 1 Giám thị 2
Sở GD&ĐT Hòa Bình Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Trang 2N¨m häc 2007-2008
híng dÉn chÊm m«n TO¸N
Trang 3
A
1 1
2
0 )
1 (x+ 2 +y2 =
=
−=
⇔
0
1
y
x
0 32 ) 1 (x+ 5 − = ⇔ (x+ 1 ) 5 = 2 5 ⇔x= 1
1 đ
1 đ
2 1
2
- Kết quả rút gọn A= .
) 5 (
) 1 )(
5 (
−
+ +
x x
y x
- Giả thiết ⇔ ( 3y−x) 2 + (x− 3 ) 2 = 0 ⇔
=
=
1
3
y x
thay vào
3
8
−
=
A
2 đ
1 đ
1 đ
3 1
2
- Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên
≠
+
≠
+
≠
m p
m p
m p
6
2 6
3 6
, từ đó
+
=
+
=
1 6
5
6
m p
m
p
hay p =6m±1
- Xét p>3 thay p = 6m±1 vào biểu thức A=8p2 + 1 thấy 3 <A 3
(loại) thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận) p=2, A=33 (loại)
1 đ
1 đ
4
- Chứng minh ãMND BCD=ã , ãDNK =ãDCK
từ đó ãMND DNK+ã =2v , suy ra M, N, K thẳng hàng
Chú ý: Học sinh sử dụng đờng thẳng Sim
sơn không đợc tính điểm
1 đ
1 đ
1 đ
5
Câu
1
2
ý
Biến đổi chuyển về 4x3 = (x+ 1 ) 3
1 4
1
=
⇔x
- Lập luận x, y, z >0, thật vậy từ pt (1):
0 12
1 ) 2
1 ( 3
2
x
Giả sử x≥ y ⇒
2
1 2
1 )
2
1 ( ) 2
1 (y+ 2 ≥ z+ 2 ⇒y+ ≥z+ (Vì y, z>0) từ đó
z
y≥ , tơng tự z ≥ x từ đó x=y=z
Dẫn về giải hệ
+ +
=
=
=
3
1
2
3 x x x
z y x
1 4
1
=
=
=
Nội dung
1,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Điểm
N
K
M
C
A
D B
Trang 4M H
N E
Chú ý: Mọi cách giải khác và đúng đợc điểm tơng đơng.