Tìm các điểm trên trục tung để từ điểm đó kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị C.. Cho hình chóp S.ABC, có tổng các góc phẳng ở đỉnh của tam diện đỉnh S bằng 1800, các cạnh bên của
Trang 1UBND tỉnh Bắc Ninh Đề thi chọn học sinh giỏi
tỉnh
Sở Giáo Dục và đào tạo Năm học 2006 – 2007 Môn thi: Toán lớp
12 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể giao đề)
Ngày thi 06 tháng
04 năm 2007
Câu 1 (3 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1) 2)
Câu 2 (3 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C)
Tìm các điểm trên trục tung để từ điểm đó kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C)
Câu 3 (4 điểm)
1) Giải hệ phơng trình:
2) Giải hệ bất phơng trình:
Câu 4 (3 điểm) Giải phơng trình:
Câu 5 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC, có tổng các góc
phẳng ở đỉnh của tam diện đỉnh S bằng 1800, các cạnh bên của hình chóp bằng 1 Chứng minh rằng tổng diện tích các mặt bên và diện tích mặt đáy của hình chóp đó không lớn hơn
Câu 6 (2 điểm) Trong góc XOY nhọn, cho hình bình
hành AOBM Tìm tập hợp các điểm M sao cho hình bình hành AOBM có diện tích bằng 1và các đỉnh A, B tơng ứng chuyển động trên cạnh OX, OY
Câu 7 (2 điểm) Cho , với x > 0
Chứng minh rằng: f(n) < f(n+1), n N*
Hết
Đề này có 01 trang Đề chính thức
Trang 2Hä vµ tªn……….SBD……….
§¸p ¸n, thang ®iÓm §Ò thi HSG THPT n¨m häc
2006-2007 C©
1
(3,
0)
1
T×m giíi h¹n
+) §Æt ;
+)
+)
1,5
0,5 0,5
0,5
2
T×m giíi h¹n
+)
+)
1,5
0,5
0,5
0,5
Trang 32
(3,
0)
+) TXĐ: R, giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại
M(x0; y0)
+) Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0; y0) là:
(d): y = f’(x0)(x – x0) + f(x0) B(0; b) (d)
+) Xét hàm số
+) ,
t 0
+) g’(t) + 0
1
g(t)
1/2
-1/2
+) Qua điểm B(0; b) kẻ đợc duy nhất một tiếp
tuyến với đồ thị (C)
3,0
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
0,5 3
(4,
0) 1
+) ĐK:
Xét hàm số:
f(t) đồng biến trên
+) Giả sử x = min{x, y, z}
Nếu x<y f(x)<f(y) y<z f(y)<f(z) z<x điều
này vô lý x = y = z
+) Xét phơng trình:
2,0
0,5
Trang 4h(x) đồng biến trên
+) Ta có h(1) = 0,…
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiêm là: x = y =
z = 1
0,5
0,5 0,5
2 Giải hệ bất phơng trình:
+) (1)
+) Hệ đã cho tơng đơng với:
(I)
+) Vì do đó hệ (I)
+) Vậy hệ bất phơng trình đã cho có tập nghiệm
là:
và
2,0
0,5
0,5
0,5
0,5 4
(3,
0)
Giải phơng trình:
+) Đặt
Ptđcho có dạng:
+) Xét f(t) = t3 – 3t – 1 liên tục trên [-2; 2]
Có f(-2) < 0; f(-1) > 0; f(0) < 0; f(2) > 0
3,0
0,5
Trang 5Khi đó f(t) có đúng 3 nghiệm thuộc (-2; 2)
+) Đặt t = 2cos , với ( do t > 0)
+) Phơng trình có dạng: 8cos3 - 6cos - 1 = 0
+) Khi đó:
+) Đặt
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
5
(3,
0)
Cho hình chóp S.ABC có tổng các góc phẳng ở
đỉnh của tam diện đỉnh S bằng 1800, các cạnh
bên của hình chóp bằng 1 Chứng minh rằng tổng
diện tích các mặt bên và diện tích mặt đáy của
hình chóp đó không lớn hơn
+) Gọi 3 góc ở đỉnh S là: ta có:
Sxq=
+) Gọi các cạnh đáy của hình chóp là: a, b, c theo
định lý hàm số sin ta có:
+) Chứng minh
+) Khi đó Sđ
+) Vậy Stp = Sxq + Sđ , dấu “=” xẩy ra
0
3,0
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
6
(2,
0)
Trong góc XOY nhọn, cho hình bình hành AOBM
Tìm tập hợp các điểm M sao cho hình bình
hành AOBM có diện tích bằng 1và các đỉnh A, B
tơng ứng chuyển động trên cạnh OX, OY
+) y
2,0
Trang 6Y
B M
x
O X A Hình (H1) Xét hệ trục toạ độ xOy nh (H1), Ox là phân giác của góc XOY Đặt , gọi M(x; y) +) +) , với (1)
Và ngợc lại…………
+) Vậy tập hợp M là một nhánh Hypebol ở bên trong góc XOY có phơng trình (1) trong hệ trục xOy 0,5 0,5 0,5 0,5 7 (2, 0) Cho , với x > 0 Chứng minh rằng: f(n) < f(n+1), với mọi n N*
+) Đặt g(x) = lnf(x) +) +)
x 2
h’(x) 0 + 0
+
-9
h(x)
2,0
0,5 0,5
Trang 7-+) g’(x) là hàm nghịch biến trên [2; ); và
Do đó g’(x) > 0, g(x) đồng biến trên [2;
)
f(x) đồng biến trên [2; ) f(n) < f(n+1),
Xét f(1) = 5/2; f(2) = 81/32 , nên f(1) < f(2)
Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác thì
phân chia điểm ở các bớc tơng đơng với đáp
án.
0,5
0,5
