Gián án DE THI HSG TOAN9 CO DA

Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.. Rút gọn biểu thức A.. Vẽ đồ thị của hàm số.. Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ của y, giá trị lớn nhất của y.. Gọi I là đường tròn nội tiếp tam giác..

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN TOÁN ( Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề )

Câu 1(4đ): Cho biểu thức:

A = x x2  4x 4

a Tìm điều kiện xác định của biểu thức A

b Rút gọn biểu thức A

Câu 2(2đ): Tính giá trị của biểu thức:

7 5 2   7 5 2 

Câu 3(4đ): Cho hàm số

y = x2  2x  1 x2  2x 1

a Vẽ đồ thị của hàm số

b Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ của y, giá trị lớn nhất của y

Câu 4(4đ): Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2

Câu 5(6đ): Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác Đường vưông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự tại M,N Chứng minh rằng:

a AM.BN = IM2 = IN2 ;

b IA2 IB2 IC2 1

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM.

1 a.Biến đổi biểu thức được:

A = x (x 2) 2  x x  2

Điều kiện xác định của A là:

2 2

2 0 4x 4 1

x

x

 





 

  



 

b Nếu x 2  thì x (x 2)  2

Nếu 1 x <2 thì x  ( (x 2))  2x 2 

0,75 đ

0,75 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ

2

3

3

3 3

7 5 2

1 3 2 6 2 2 (1 2)

1 2



   

 

 

Tương tự: 3 7 5 2 1    2

Do đó: A = 1+ 2 1   2 = 2

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,75 đ 0,5 đ

3

a y =

( 1) ( 1)

   

L p b ng xét d uập bảng xét dấu ảng xét dấu ấu

x -1 1

x +1 - 0 + +

x - 1 - - 0 +

Với x  1 thì y = (- x -1) – ( 1- x) = -2

Với -1 < x < 1 thì y = ( x +1) – ( 1- x) = 2x

Với x  1 thì y = ( x +1) – ( x - 1) = 2

Đồ thị của hàm số được vẽ trên hình 1

0,25 đ 0,25đ

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

y

2

-1 o

1 x

-2

b Trên đồ thị ta thấy: min y = -2  x 1 ; max y = 2  x > 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 4 a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (a2 b2 )(c2 d2 )  a2 + b2 + c2 + d2 + 2ac + 2bd  (a2 b2 )(c2 d2 )  ac + bd (2)

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh Nếu ac + bd  0 thì (2) tương đương với (a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd  a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2 + 2abcd  (ad – bc)2  0 (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) được chứng minh 0,5 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 5 Gt ABC có BC = a, AC = b, AB = c (I) nội tiếp tam giác Đường vưông góc với CI tại I cắt AB, AC theo thứ tự tại M,N

Kl a AM.BN = IM2 = IN2 ;

b IA2 IB2 IC2 1

A

0,25 đ

Vẽ hình M

â

B N C

a Ta có

2

C AMI INB AIB   



AMI

 AIB g g( ), AIB INB(g.g)

Nên các tam giác AMI và INB đồng dạng

Suy ra:

IM AM

Do đó: AM.BN = IM.IN = IN2 = IM2

b Đặt AM = m, BN = n, IN = IM = x

Do AMI AIB nên:

AM AI

AI AB  IA = AM.AB = m.c AI2 m

  (1)

Tương tự IB2 n

ca a (2) Xét tam giác MIC vuông tại I, ta có IC2 = CM2 – IM2

Do IM2 = m.n (câu a) và CM = CN nên

IC2 = ( b – m )( a – n) – mn = ab – bn – am + mn - mn

= ab – bn – am

Do đó IC2 1 n m

ab   a b (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra IA2 IB2 IC2 1

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ 0,25 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ

I