Gọi K là trung điểm của SC... I là giao điểm của AK và SO.
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh hoá Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 Năm học: 2008 – 2009. 2009.
Môn thi: Toán - Thời gian: 180 phút
Cõu 1 (5.0 điểm):
1) Khảo sỏt hàm số yx1 2 2 x.
2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trỡnh
x1 2 2 x m1 2 2 m
Câu 2 (2.0 điểm):
Giải hệ phơng trình:
20 1 1
5 1 1
3
3 3
3
y
y x x
y
y x x
Câu 3(2.0 điểm):
Tìm số nguyên dơng n sao cho:
2 2 3 2 4 2 ( 2 1 ) 2 2 1 2009
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
n n
n n
n n
Câu 4(2.0 điểm):
Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.
( 4 x)( 6 x) x2 2xm
Câu 5(2.0 điểm):
Giải phơng trình:
sinx sin 2x sin 3x sin 4x cosx cos 2x cos 3x cos 4x
Câu 6(6.0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung
điểm của SC Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lợt tại
M và N Đặt V 1 = V S.AMKN , V = V S.ABCD
1) Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V
V1
.
2) Đặt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
Tính
V
V1
theo x và y.
3) Chứng minh rằng:
8
3 3
V V
Câu 7(1.0 điểm):
Cho n là số nguyên dơng lẻ và n3, R, 0
Chứng minh rằng:
!
! 2 1
2
n
n
!
! 3
! 2 1
3 2
n
n
Hết
Sở GD&ĐT Thanh hoá hớng dẫn chấm
Trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 Thi chọn HSG Năm học: 2008 – 2009. 2009.
Môn thi: Toán
* TXĐ: R
* Giới hạn: y
Họ tên : ……… ……
SBD: : ……… ………
Trang 2*Bảng biến thiên:
y’ = 2(x+1)(2-x) – 2009 (x+1)2 = (x+1)(3-3x)
y’ = 0
1
1
x x
x - -1 1 +
y’ 0 + 0
*Vẽ đồ thị:
y’’= - 6x; y’’= 0 x = 0 y = 2
Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng
Giao với Ox: (-1; 0) và (2 ; 0)
0.5
0.5
0.5
Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và đờng
thẳng y = (m +1)2(2 – 2009 m)
Dựa vào đồ thị ta có:
Khi (m +1)2(2 - m) > 4 m < -2 thì có 1nghiệm
Khi (m +1)2(2 - m) = 4 m = -2 hoặc m =1 thì có 2 nghiệm
0 m) -(2 1) (m
4 m) -(2 1) (m
2
2
trình có 4 nghiệm
Khi (m +1)2(2 - m) = 0 m = -1 hoặc m = 2 thì có 2 nghiệm
Khi (m +1)2(2 - m) < 0 m > 2 thì có 1nghiệm
0.5 0.25 0.5 0.25 0.5
Đặt
v y y
u x
x
1
1
, Điều kiện: u 2 ;v 2
Tacó hệ
15 3 3
5
3 3
v v u u
v u
2 3 3 2 6
5
v u v u uv
v u
Suy ra các nghiệm là:
1
; 2
5 3
1
; 2 5 3
2 5 3
;
2 5 3
; 1
0.5 0.5 0.5
0.5
Xét hàm số:
1 2
) 1 ( )
x
f
= 20 1 21 1 22 1 2 23 1 3 24 1 4 22 11 2 1
Ta có f' (x) ( 2n 1 )( 1 x) 2n=
0.5
0.5
-
4
O
0
x
y
-1
2
1 2 4
-2
Trang 3=C n C n x C n x C n x n C2n n 1x2n
1 2 3
4 1 2 2 3 1 2
2 1 2
1
1
Do đó f' ( 2 ) 2n 1
= 21 1 2 2 22 1 3 22 23 1 4 23 24 1 ( 2 1 ) 22 22 11
Suy ra:
2009 2
) 1 2 ( 2
4 2
3 2
.
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
n n
n n
n n
2n + 1 = 2009
n = 1004
0.5 0.5
4 Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.
( 4 x)( 6 x) x2 2xm
2
Đặt ( 4 x)( 6 x) t t2 = -x2 + 2x + 24
Do 4 x 6 suy ra 0 t 5
Khi đó ta có bất phơng trình:
t2 + t – 2009 24 m.(*)
Xét hàm số ( ) 2 24
t t t
Có bảng biến thiên:
t 0 5
-24
Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải nghiệm
đúng với mọi t thoả mãn0 t 5
Từ bảng biến thiên suy ra: m 2
0.5 0.5
0.5
0.5
5 Giải phơng trình:
sinx sin 2x sin 3x sin 4x cosx cos 2x cos 3x cos 4x(*)
2 (*) (sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0
) 2 ( 0 cos sin ) cos (sin
2 2
) 1 ( 0 cos sin
x x x
x
x x
) ( 4 1
tan )
1
( x x k kZ
4 sin(
2 cos
2
1 cos
sin
2
x
Tacó t2 + 4t +3 = 0 t = -1 v t = -3(loại)
4
sin(
2
2 )
4 sin(
) ( 2
) ( 2 2
Z n n
x
Z m m x
0.5 0.5 0.5 0.5
6.1
Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V
V1
Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo
I là giao điểm của AK và SO
Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với
BD cắt SB và SD tại M và M
Trong tam giác SAC có I là trọng tâm
Suy ra:
3
2
SB
SM
;
3
2
SD
SN
.
0.5
0.5
S
C
D
M O I
Trang 4V× SABCD lµ hbh nªn V s.ABC = V s.ADC =
2
1 V.
SC
SK SB
SM V
V
AMK S ABC
S
AMK S
6
1 3
1 2
1 3
2
.
.
T¬ng tù ta cã V S ANK V
6
1
Mµ V = V s.ABC + V s.ADC vµ V 1 = V S.AMK + V S.ANK
Suy ra
3
1 1
V V
0.5 0.5
6.2
§Æt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
TÝnh
V
V1
SC
SK SB
SM V
V
AMK S ABC
S
AMK S
4 2
1
.
.
T¬ng tù ta cã V S ANK y V
4
Suy ra
4
V
1.0 0.5 0.5
6.3
Chøng minh r»ng:
8
3 3
V
Do V 1 = V S.AMN + V S.MNK vµ V s.ABC = V s.ADC =
2
1 V
SD
SN SB
SM V
V
AMK S ABD
S
AMN S
2
.
.
SC
SK SD
SN SB
SM V
V
KMK S CBD
S
KMN S
4 2
1
.
.
Suy ra
4
3
V
V
Tõ (1) vµ (2) suy ra
1
3
x
x y
Do x>0; y> 0 nªn x>
3 1
V×
2
1 1
1 3
x
x
y VËy ta cã ; 1
2
1
x
XÐt hµm sè f(x) =
4
3
V
V
) 1 3 ( 4
3 2
x
x
víi ; 1
2
1
Cã f’(x) = 2
) 1 3 ( 4
) 2 3 ( 3
x
x x
. BBT:
x
2
1
3
2 1 f’(x) - 0 +
f(x)
8
3
8 3
3 1
Tõ BBT suy ra
8
3 3
V V
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,5
Trang 57 Cho n lµ sè nguyªn d¬ng lÎ vµ n3, R, 0
Chøng minh r»ng:
!
! 2 1
2
n
n
< 1
1
§Æt F(x) =
!
! 2 1
2
n
x x
x
n
!
! 3
! 2 1
3 2
n
x x
x x
n
)!
1 (
! 2
n
x x
x n = F(x) -
!
n
x n
G’(x) =
)!
1 (
! 3
! 2 1
1 3
2
n
x x
x x
n
§Æt f(x) = F(x) G(x).
f’(x) = F’(x).G(x) + F(x).G’(x)
= [F(x) -
!
n
x n
].G(x)+ F(x) [- G(x) -
!
n
x n
]
=-
!
n
x n
[F(x)+G(x)]
=- 2
!
n
x n
)!
1 (
! 4
! 2 1
1 4
2
n
x x
Do n lÎ nªn víi mäi x kh¸c 0 ta cã:
)!
1 (
! 4
! 2 1
1 4
2
n
x x
Suy ra b¶ng biÕn thiªn:
x 0
f’(x) + 0
Tõ BBT suy ra f(x)< 1 x 0 , suy ra (®pcm)
0,25
0.25 0.25
0,25