MỘT SỐ PP GIẢI PT BẬC CAO

Tuy nhiªn trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt cã thÓ ®a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ ph¬ng tr×nh bËc mét, bËc hai... - Nhãm nhiÒu h¹ng tö.[r]

1 Định nghĩa phơng trình bậc cao

Ta gọi phơng trình đại số bậc n (n  3) ẩn x trên tập số thực là các ph) ẩn x trên tập số thực là các phơng trình

đợc đa về dạng: anxn + an-1xn-1+ + a1x + ao = 0, trong đó n   ; a ;a ; a  1 2 n

; an 

0

2 Định lý: Trên tập số thực, mọi phơng trình bậc n luôn phân tích đợc thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai

3 Phơng trình bậc nhất một ẩn

Dạng tổng quát ax + b = 0 trong đó a,b  

; a  0

Phơng trình có nghiệm:

b x a





* Chú ý: Giải phơng trình mx + n = 0, phơng trình đã cho cha chắc đã là phơng trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trờng hợp :

+ Nếu m  0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất



x

m + Nếu m = 0 thì phơng trình có dạng 0x = n.

- Nếu n = 0 thì phơng trình vô số nghiệm

- Nếu n  0 thì phơng trình vô nghiệm

4 Phơng trình bậc hai một ẩn

Dạng tổng quát: ax2 bx c 0  với a 0

Xét  = b2 – 4ac

+  < 0 thì phơng trình vô nghiệm

+  = 0 thì phơng trình có nghiệmkép: 1 2

b

2a



+  > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: 1,2

b x

2a

  



5 Định lý: + Phơng trình anxn + an-1xn-1+ + a1x + ao = 0 nếu có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là ớc của

0

n

a a + P(x) = 0 có nghiệm là a thì P(x)  ( x - a)

Một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình bậc cao.

ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phơng trình bậc 3) ẩn x trên tập số thực là các ph, bậc 4 còn phơng trình bậc 5 không có phép giải tổng quát Tuy nhiên trong một số trờng hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải về phơng trình bậc một, bậc hai Ta phải dựa vào

đặc thù của phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp

Giải và giảng dạy các bài toán về giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất một

ẩn số hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phơng trình bậc nhất, bậc hai Nói chung là bao gồm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm và đề cập tới nhều trong tài liệu, tập san toán học Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra

và thực tế giảng dạy chơng phơng trình Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phơng pháp đặc trng bộ môn,

áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình bậc cao về phơng trình bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách

I Phơng pháp 1: Đa về phơng trình tích

Phơng trình tích là phơng trình có dạng: F(x).G(x)… H(x) = 0 (1) H(x) = 0 (1)

F(x) 0

G(x) 0

H(x) 0







 



Để đa phơng trình đã cho về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau:

- Phân thích đa thức thành nhân tử:

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức

- Nhóm nhiều hạng tử

- Thêm (bớt) các hạng tử

- Phối hợp nhiều phơng pháp nêu trên

* Ví dụ 1: Giải phơng trình:

(x 1) x (x1) (x2) (1)

* Lời giải

(x 1) x (x 1) (x 2)

 x3) ẩn x trên tập số thực là các ph - 3) ẩn x trên tập số thực là các phx2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phx - 1 + x3) ẩn x trên tập số thực là các ph + x3) ẩn x trên tập số thực là các ph + 3) ẩn x trên tập số thực là các phx2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phx + 1 = x3) ẩn x trên tập số thực là các ph + 6x2 + 12x + 8

 x3) ẩn x trên tập số thực là các ph - 3) ẩn x trên tập số thực là các phx2 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phx - 4 = 0

 x3) ẩn x trên tập số thực là các ph - 1 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phx2 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phx - 3) ẩn x trên tập số thực là các ph = 0

 (x-1)(x2 + x + 1) - 3) ẩn x trên tập số thực là các ph(x2 + x + 1) = 0

 (x2 + x + 1)(x - 4) = 0

Với học sinh lớp 8 làm nh sau:

Do x2 + x + 1 =

2

  nên phơng trình có một nghiệm x = 4

Với học sinh lớp 9:

(*) 

[ x2+ x + 1=0 (∗) [ x-4 =0 (**) [

Giải phơng trình (*) Δ=1−4=−3<0 nên (*) vô nghiệm

Giải (**) ta đợc x =4

Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm là x = 4

Việc nhẩm nghiệm các phơng trình dựa trên các cơ sở sau:

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x - 1.

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số (x + 1).

- Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc của hệ số tự do là a 0

* Ví dụ 2: Giải phơng trình: x3 – 7x2 + 12x – 6 = 0 (2)

* Lời giải

(1)  x3) ẩn x trên tập số thực là các ph – x2 – 6x2 + 6x + 6x – 6 = 0

 x2(x – 1) – 6x(x – 1) + 6(x – 1) = 0

 (x –1)(x2 – 6x + 6) = 0



2

x 1

x 1





 



* Ví dụ 3: Giải phơng trình: (x – 1) 3 +(2x + 3) 3 = 27x 3 + 8 (3)

* Lời giải

(2)  x3) ẩn x trên tập số thực là các ph – 3) ẩn x trên tập số thực là các phx2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phx – 1 +8x3) ẩn x trên tập số thực là các ph + 3) ẩn x trên tập số thực là các ph6x2 + 54x + 27 = 27x3) ẩn x trên tập số thực là các ph + 8

 18x3) ẩn x trên tập số thực là các ph – 3) ẩn x trên tập số thực là các ph3) ẩn x trên tập số thực là các phx2 –57x – 18 = 0

 3) ẩn x trên tập số thực là các ph(6x3) ẩn x trên tập số thực là các ph –11x2 – 19x – 6) = 0

 6x2(x – 3) ẩn x trên tập số thực là các ph) + 7x(x – 3) ẩn x trên tập số thực là các ph) + 2(x – 3) ẩn x trên tập số thực là các ph) = 0

 (x – 3) ẩn x trên tập số thực là các ph)(6x2 + 7x + 2) = 0



2

x 3

x 3

12













* Ví dụ 4: Giải phơng trình:

4 2

5x







(Đề thi vảo trờng Lê Hồng Phong, TPHCM , năm 2003 - 2004)

* Lời giải

2





2

2











Việc nhẩm nghiệm nh ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng tự do là a 0 lớn và có nhiều ớc số Trong trờng hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bớt các ớc không là nghiệm của phơng trình một cách nhanh chóng.

* Ví dụ 5: 4x 3 - 13x 2 + 9x - 18 = 0 (5)

* Lời giải

U(18) ¿(±1;±2;±3;±6 ;±9;±18)

Hiển nhiên -1, 1 không là nghiệm của (4)  f(1)  0, f(-1)  0

Ta thấy

f (1) 18

9



f ( 1) 44

11

 Phơng trình (4) có khẳ năng có nghiệm là x1 = 3) ẩn x trên tập số thực là các ph

áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa phơng trình (5) về dạng sau:

(x - 3) ẩn x trên tập số thực là các ph)(4x2 - x + 6) = 0

 x - 3) ẩn x trên tập số thực là các ph = 0 (*)

4x2 - x + 6 = 0 (**)

(*)  x = 3) ẩn x trên tập số thực là các ph

(**)  4x2 - x + 6 = 0

 = (-1)2 - 4.4.6 < 0  (**) vô nghiệm

Nên phơng trình (4) có một nghiệm là: x = 3) ẩn x trên tập số thực là các ph

Chú ý:

- Việc nhẩm nghiệm phơng trình có thể nhẩm miệng rồi dùng thuật chia đa thức cho đa thức để hạ bậc rồi đa phơng trình về dạng tích.

- Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào của a 0 là nghiệm, ớc số nào không là nghiệm và đa ra ngay dạng phân tích.

- Bài tập dạng này tơng đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phơng pháp nào, hằng đẳng thức nào phân tích cho thích hợp Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các kiến thức cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng để bồi dỡng học sinh giỏi nhằm phát triển t duy.

II Phơng pháp 2: Đặt ẩn phụ

Phơng pháp này thờng đợc dùng với các dạng phơng trình sau:

2.1 Phơng trình trùng phơng

* Là phơng trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) (1)

* Cách giải

Đặt x2 = y (với y  0) thì (1)  ay2 + by + c = 0

2.2 Phơng trình đối xứng bậc chẵn

Là phơng trình có dạng:

a0x2n + a1x2n-1 + + an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 + + a1x + a0 = 0 (2) với a0 0

* Cách giải

- Nếu x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2) thì ta chia cả hai vế của phơng trình (2) cho xn  0

(1) 

a a



= 0







Đặt

1

y x

x

 

 ta đa phơng trình (2) về phơng trình bậc n với ẩn y

2.3 Phơng trình đối xứng bậc lẻ

* Là phơng trình có dạng

a0x2n+1 + a1x2n + + an+1xn+1 +anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 (3) ẩn x trên tập số thực là các ph) với a0 0

* Cách giải

Phơng trình này luôn có nghiệm x = -1  ta chia cả hai vế của phơng trình (3) ẩn x trên tập số thực là các ph) cho x + 1 ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn

2.4 Phơng trình phản thơng

* Là phơng trình có dạng: ax4 + bx3) ẩn x trên tập số thực là các ph + cx2- bx + a = 0 (4) với a 0

hoặc ax4- bx3) ẩn x trên tập số thực là các ph + cx2 + bx + a = 0 (5) với a0

* Cách giải

Ta nhận thấy x = 0 không là nghiệm của (4) suy ra ta chia cả hai vế của ph ơng trình cho x2 ta có:

(4) 

2

2



2 2

Đặt

1

y x

x

 



2

1

x

 ta có phơng trình ay2 + by + c + 2a = 0

Tơng tự cho phơng trình (5) ta đặt

1

y x

x

 

2.5 Phơng trình hồi quy

* Là phơng trình có dạng : ax4 + bx3) ẩn x trên tập số thực là các ph + cx2 + dx + e = 0 (6) trong đó 2

2

t

 

  

  với a 0

* Cách giải: Khi x = 0 không là nghiệm của (6) thì ta chia cả hai vế của (6) cho

x2 ta có: (6) 

2

2



2 2



2 2 2

Đặt

t

y x

x

 

lúc đó (6)  ay2 + by + c + 2at = 0

2.6 Phơng trình có dạng: (x+a) 4 +(x+b) 4 = c (7)

* Cách giải:

Đặt

(7) 

4

8



* Cách giải:

Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx2

 [x2 + (a+d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = mx2 (8)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (8) ta chia cả hai vế của phơng trình (8) cho x2

thì (8) 

Đặt

ad

y x

x

 

(8)  (y a d)(y c d) m    

2.8 Phơng trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m trong đó a+d = b+c

* Cách giải Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m (1)

Đặt y = (x+a)(x+d) thay vào phơng trình (1) ta tìm đực y0

Giải phơng trình (x+a)(x+d) = y0 ta có x0 là nghiệm của phơng trình (1)

2.9 Phơng trình tam thức

Là phơng trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (10) với a ≠ 0 trong đó a, b, c   ,

n là nguyên dơng, n > 2

Nếu a, b, c   * và n = 2 thì phơng trình (10) là phơng trình trùng phơng

* Cách giải :

Đặt xn = y thì (10) 

n 2







2.10 Phơng trình có dạng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó

2

 

a b c

d

, m = (d - a)(d - b)(d - c).

* Cách giải :

* Chú ý : Trên thực tế, nhiều phơng trình bậc cao phải biến đổi mới đa về các dạng cơ bản nói trên

* Ví dụ 1: Giải phơng trình x 4– 5x 2 + 6 = 0 (1)

* Lời giải:

Đặt x2 = y (y  0)  (1)  y2 – 5 y + 6 = 0

 (y – 2)(y – 3) ẩn x trên tập số thực là các ph) = 0 

y 2

y 3





 + Nếu y = 2  x2 = 2  x 2

+ Nếu y = 3) ẩn x trên tập số thực là các ph  x2 = 3) ẩn x trên tập số thực là các ph  x 3

* Ví dụ 2: Giải phơng trình: x 4– 5x 3 + 6x 2– 5x + 1 = 0 (2)

(Đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Hng Yên , năm 1996 - 1997)

* Lời giải:

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (2), chia cả hai vế của (2) cho x2  0 ta đợc 2

2

2 2

Đặt

2

(*)  y2 – 5y + 8 = 0

Xét  = 25 – 40 < 0  phơng trình đã cho vô nghiệm

* Ví dụ 3: Giải phơng trình x 5 + 4x 4 + x 3 + x 2 + 4x +1 = 0 (3)

* Lời giải:

(2)  (x + 1)(x4 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phx3) ẩn x trên tập số thực là các ph – 2x2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phx + 1) = 0











Giải (*) : x4 +3) ẩn x trên tập số thực là các phx3) ẩn x trên tập số thực là các ph – 2x2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phx + 1 = 0

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (*), chia cả 2 vế của (*) cho x2  0 ta đợc: 2

2



2

2

Đặt

2

ta đợc y2 + 3) ẩn x trên tập số thực là các phy - 4 = 0  y1 = 1, y2 = -4

- Nếu y1 = 1 

1

x

 x2 - x + 1 = 0  PT vô nghiệm

- Nếu y2 = -4 

1

x

 x2 + 4x + 1 = 0  x1,2  2 3

* Ví dụ 4: Giải phơng trình (3x + 4)(x + 1)(6x + 7) 2 = 6 (4)

(Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2006 - 2007)

* Lời giải:

2 (3x 4)(x 1)(6x 7)   6



2 (6x 8)(6x 6)(6x 7)   72 (*)

Đặt 6x + 7 = t, ta có:

(*)  (t 1)(t 1)t  2 72 t4  t2  72 0  t 3

- Với t = 3) ẩn x trên tập số thực là các ph, ta có

2

3



- Với t = -3) ẩn x trên tập số thực là các ph, ta có

5 6x73x 3





* Bài toán trên ta cũng có thể giải theo cách sau:

2 (3x 4)(x 1)(6x 7)   6



(3x 7x 4)(6x 7)  6 (**)

Đặt t 3x 2 7x 4  36x2 84x 49 12t 1   , khi đó (**) trở thành:

1 2

2

3 t 4

2 t 3











- Với

 PT vô nghiệm

- Với

1

2

5 x

2

x 3













* Ví dụ 5: Giải phơng trình (x2 3x2)(x27x12) 24 (5)

(Đề thi vào THPT Chuyên SPNN Hà Nội, năm 2004 - 2005)

* Lời giải:

(x 3x 2)(x 7x 12) 24 

(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0

Đặt tx2 5x 4 ta đợc:

1 2

2









- Nếu t 6 x2 5x 10 0   PT vô nghiệm

- Nếu

2

t 4  x 5x 0  x 0 ; x 5 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 0 ; x = -5

* Ví dụ 6 : Giải phơng trình: x 4 - 3x 3 - 2x 2 + 6x + 4 = 0 (6)

* Lời giải:

Ta thấy x = 0 không là phơng trình của (6)  ta chia cả hai vế của (1) cho 2

x 0, ta đợc:

2

2

2 2

Đặt

2

Ta đợc phơng trình y2 - 3) ẩn x trên tập số thực là các phy + 2 = 0

Nhẩm nghiệm ta đợc y1 = 1, y2 = 2

- Nếu y1 = 1 

1 2

2

2

x









- Nếu y2 = 2 

2

1,2

2

x

* Ví dụ 7 : Giải phơng trình (x – 5) 4 + (x – 7) 4 = 16 (7)

(Đề thi chọn HSG Toán 8, tỉnh Hải Dơng, năm 2001 - 2002)

* Lời giải:

Đặt

5 7

2

 

(7)  (y + 1) + (y - 1) = 16 

 2y4 + 12y2 + 2 = 16

 y4 + 6y2 – 7 = 0

 (y2 – 1)(y2 + 7) = 0 

2 2





 + Nếu y = 1 ta có x = 7

+ Nếu y = -1 ta có x = 5

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x1 = 7; x2 = 5

* Ví dụ 8: Giải phơng trình (x +3)(x + 5)(x + 6)(x + 10) = 2x 2 (8)

* Lời giải:

(8)  (x2 + 13) ẩn x trên tập số thực là các phx + 3) ẩn x trên tập số thực là các ph0)(x2 + 11x + 3) ẩn x trên tập số thực là các ph0) = 2x2 (*)

Vì x = 0 không là nghiệm của (*) nên ta chia cả hai vế của (2) cho x2 ta có:

Đặt

30

x

 y(y+2) = 2  y2 + 2y –2 = 0 (**)

Giải phơng trình (**) ta có y0; giải phơng trình 0

30

x

có x0 là nghiệm của phơng trình (8)

* Ví dụ 9: Giải phơng trình (x + 7)(x + 8)(x + 9) = 5x (9)

* Lời giải:

Phơng trình (9) có dạng 12(x + 7)(x + 8)(x + 9) = 60x (*) trong đó

7 8 9

2

 

Đặt y = x + 12

Ta có (9) (y – 5)(y – 4)(y – 3) ẩn x trên tập số thực là các ph) = 5( y –12)

 y(y2 – 12y + 42) = 0



2

y 0

y 0









* Ví dụ 10: Giải phơng trình 5(x-1)(x-5)(x-3)(x-15) = 7x 2 (10)

* Lời giải:

(10)  5(x2 - 16x + 15)(x2 - 8x + 15) = 7x2 (*)

Vì x = 0 không là nghiệm của (*) nên ta chia cả hai vế của (*) cho x2 ta có:

Đặt

15

x

ta có: 5y(y - 8) = 7  5y2 - 40y – 7 = 0 (**) Giải phơng trình (**) ta có y0; giải phơng trình 0

15

x

ta có x0 là nghiệm của phơng trình (10)

III Phơng pháp 3: Đa về luỹ thừa cùng bậc

Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đa về hai

vế của phơng trình về luỹ thừa cùng bậc

Bằng cách biến đổi hai vế của phơng trình ta đa phơng trình đẵ cho về phơng trình có dạng: An = Bn

+ Nếu n là số chẵn thì A = B ± B

+ Nếu n là số lẻ thì A = B

* Ví dụ 1: Giải phơng trình x 4 = 2x 2 + 8x +3 (1)

(Đề thi vào THPT tình Hng Yên, năm học 2006 - 2007)

* Lời giải:

* Nếu

1,2

x  1 2x 2  x  2x 1 0   x  1 2

* Nếu x2  1 2x 2  x2 2x 3 0   PT vô nghiệm

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x1,2  1 2

* Ví dụ 2: Giải phơng trình

3

(2) (Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2002 - 2003)

* Lời giải:

3

 4x3 (x 1) 3

 3 4x x 1 

 x 3 4 1  1

1 x

4 1





* Ví dụ 3: Giải phơng trình

3

3

(Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2000 – 2001)

* Lời giải:

ĐK: x  1

Đặt

Do đó x + t = xt

Phơng trình đã cho trở thành:

3 3

3

(x t) 3xt(x t) 3(x t) 2 0

 (x t 1)  3  1 x t 1 1    x t 2 

Khi đó ta có:

2

2 x

x 1      , phơng trình vô nghiệm.

* Ví dụ 4: Giải phơng trình 5x 3 + 6x 2 + 12x + 8 = 0 (4)

(Đề thi vào THPT Chuyên SPNN Hà Nội, năm 2005 - 2006)

* Lời giải:

 4x3(x36x2 12x 8) 0 

 (x 2) 3 4x3



3

IV Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức

* Ví dụ 1: Giải phơng trình

(1) (Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Hải Dơng, năm học 2006 - 2007)

* Lời giải:

Dễ thấy x = 9 và x = 10 là nghiệm của phơng trình (1)

Xét các giá trị còn lại của x

+ Nếu x < 9 thì  x - 9 > 0   x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các ph > 0 và  x - 102004 > 1

  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các ph +  x - 102004 > 1  phơng trình (1) vô nghiệm

+ Nếu x > 10 thì  x - 10 > 0   x - 102004 > 0 và  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các ph > 1

  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các ph +  x - 102004 > 1  phơng trình (1) vô nghiệm

+ Nếu 9 < x < 10 thì

0 < x – 9 < 1   x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các ph < x – 9;

0 < 10 – x < 1   x - 102004 <  x - 10 < 10 – x

  x - 92003) ẩn x trên tập số thực là các ph +  x - 102004 < x – 9 + 10 – x = 1  phơng trình vô nghiệm