nhập môn phương trình đạo hàm riêng

Một số bài toán thực hành quan trọng nằm ngoài khả năng tiếp cận bằng phương pháp khai triển hàm riêng. Chẳng hạn như khi không gian biến số được xác định trên toàn tập s[r]

0

TẬP ĐOÀN DẦU KHÍ QUỐC GIA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DẦU KHÍ VIỆT NAM

NHẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

NGUYỄN VĂN TIẾN

THÁNG 10 NĂM 2018

1

CHƯƠNG 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Trong bài toán phương trình đạo hàm riêng (PDEs) ta thường chuyển về bài toán tìm nghiệm của một lớp các phương trình vi phân thường (ODEs) Chương này ta nhắc lại một số phương pháp tích phân để giải các phương trình vi phân thường hay gặp Phần này chỉ đề cập đến nghiệm thực của phương trình vi phân thường với hệ số thực 1.1 Phương trình vi phân cấp 1

Phương trình tách biến Dạng tổng quát của phương trình tách biến như sau:

   

dy

y f x g y dx

Sau đó lấy tích phân hai vế theo biến tương ứng

Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau: y y 2   2 x 0

Trong đó p và q là các hàm cho trước

Ta tính toán thừa số tích phân  theo công thức:  x  x exp p x dx  

1.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

Phương trình bậc nhất Bao gồm các phương trình có dạng sau:

Nghiệm tổng quát dạng: y x  Ceax , C  const

Ví dụ 1.3 Giải phương trình vi phân sau: y   3 y 0

Phương trình đặc trưng: s  3 0

Vậy nghiệm tổng quát là: y x  Ce 3 x , C  const

Phương trình bậc hai Bao gồm các phương trình có dạng như sau:

0, a, b const

y ay  by 

Phương trình đặc trưng: s 2    as b 0

Căn cứ vào nghiệm của phương trình đặc trưng (PTĐT), ta có các trường hợp:

 Nếu PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt s1 s2 thì nghiệm tổng quát dạng:

Hai nghiệm thực phân biệt:

Thông thường, c được chọn để thỏa mãn các điều kiện biên đã cho trước

Ví dụ 1.4 Xét phương trình vi phân sau:

 Phương trình bậc hai có dạng: y   ay    by f , a b ,  const

Trong đó f là hàm số cho trước

Nghiệm tổng quát của các phương trình dạng này là tổng của một hàm bổ sung và một tích phân riêng

 Hàm bổ sung là nghiệm của phương trình thuần nhất

 Tích phân riêng là nghiệm riêng của bài toán không thuần nhất

Để tìm tích phân riêng ta thường dự đoán từ cấu trúc của hàm f đã cho và có thể sử dụng nhiều phương pháp khác, chẳng hạn phương pháp biến thiên hằng số

Nghiệm tổng quát có dạng sau: y yCyP hay y yCF yPI

Trong đó CF: complementary function; PI: particular integral

x x

y  Ce  e C  const

Ví dụ 1.7 Nếu hàm bên vế phải của ví dụ 1.6 được thay bởi e thì ta không thể tìm 3xnghiệm riêng dạng ae 3x vì đây cũng chính là nghiệm của phương trình thuần nhất Để thay thế, ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng axe 3x

Sau khi thay vào phương trình ta giải được a=1

Vậy nghiệm tổng quát trong trường hợp này là:

3 x 3 x ,

y  Ce  xe C  const

Ví dụ 1.8 Giải phương trình sau: y   4 y 4 x 2

Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng: yP ax 2   bx c , a b c , ,  const

2

Hàm bổ sung dạng: yC C 1 cos 2 x  C 2 sin 2 x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

    2

1 cos 2 sin 2 , ,

2

y  C x  C x   x C C  const

1.5 Phương trình Cauchy – Euler

Phương trình vi phân bậc hai có dạng sau:

x y    xy    y     const

Để đơn giản, ta giả sử x  0

Khi này nghiệm của phương trình này được tìm dưới dạng: y  x r , r  const

Thay vào phương trình ta có: r2  1r   0

Nếu phương trình bậc hai trên có hai nghiệm thực phân biệt thì nghiệm của phương trình ban đầu cho bởi:

6

1.6 Một vài chú ý về hàm và toán tử

Ở các phần trên, ta có đề cập đến thuật ngữ phương trình tuyến tính Mục này ta sẽ làm

rõ khái niệm “tuyến tính” này

Định nghĩa 1.1 Cho  là không gian hàm, và L là toán tử tác động trên không gian hàm  theo một luật nào đó

Toán tử L được gọi là tuyến tính nếu:

 1 1 2 2 1 1 2 2

Trong đó f f1, 2  ; , c c1 2 

Ngược lại thì toán tử L được gọi là phi tuyến (không tuyến tính)

Ví dụ 1.10 Các toán tử đạo hàm và tích phân xác định trên không gian các hàm một biến phù hợp là các toán tử tuyến tính, vì

Do đó toán tử L là không tuyến tính Ta nói L là toán tử phi tuyến

Định nghĩa 1.2 Xét phương trình vi phân có dạng sau:

7

Nguyên lý chồng chất nghiệm (principle of superposition)

Định lý 1.3 Nếu Lu  g là một phương trình tuyến tính và u u1, 2 là các nghiệm của phương trình này tương ứng với g  g1 và g  g2 thì u1 u2 cũng là nghiệm của phương trình trên với g   g1 g2

2 2

2 sin sin 2 sin

Trong bài báo “Lý thuyết giải tích của nhiệt lượng” năm 1822, nhà khoa học Pháp Joseph Fourier (1768 – 1830) đã đưa ra một khẳng định đáng chú ý là:

2.2 Chuỗi fourier của hàm có chu kỳ 2𝜋

Trong mục này ta chỉ xét các hàm chu kỳ 2𝜋 Ta cần xác định các hệ số trong chuỗi Fourier để nó hội tụ tới hàm đang xét f(x) có chu kỳ 2𝜋 Với mục đích đó, ta cần nhớ lại các tích phân sau, trong đó m,n là các số nguyên dương

1 ) (

n

n

n nx b nx a

a x

Với giả thuyết chuỗi vô hạn bên vế phải hội tụ về giá trị f(x) với mọi x

Ta giả thiết thêm rằng khi chuỗi vô hạn trong (1) được nhân thêm bởi một hàm liên tục bất kỳ, chuỗi nhận được sẽ tích phân từng số hạng được Kết quả của phép tính tích phân hai vế (1) từ - 𝜋 đến 𝜋 là:

n n

n

n n

Định nghĩa 2.2 Chuỗi Fourier và hệ số Fourier

Cho f(x) là hàm liên tục từng khúc chu kỳ 2𝜋 xác định với mọi x Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) là chuỗi:

0 1

0 1

vì vậy mỗi hàm liên tục từng khúc có một chuỗi Fourier

Chú ý Các công thức tính tích phân sau đây rất hữu ích khi tính toán chuỗi fourier của hàm đa thức:

1 1

x x

f

2

0

0 0

Giải

Giá trị hàm số tại f  không ảnh hưởng đến các giá trị của tích phân trong các hệ số Fourier Vì f x  trên 0 ,0 nên ta chỉ cần tích tích phân trên khoảng

 0,

n n

nchann

nlen

nt x

f

1

1 2

sin 1 cos

2 )

Điều đó có nghĩa là tích phân của hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 trên các khoảng có

độ dài đúng bằng 2𝜋 luôn bằng nhau Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân về khoảng [0, 2𝜋 ] để có các công thức thuận tiện hơn

Ta viết lại công thức tính các hệ số Fourier của một hàm tuần hoàn chu kỳ 2𝜋 như sau:

2.3 Chuỗi Fourier đầy đủ

Trong mục 2.2 ta đã định nghĩa chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn có chu kỳ

2  Bây giờ, giả sử f x là một hàm liên tục từng khúc và có chu kỳ P  2 L  0 Ta gọi L là nửa chu kỳ của hàm f

Vậy g(u) cũng là hàm tuần hoàn và chu kỳ của g là 2 

Ta gọi chuỗi Fourier tương ứng của g là:

0 1

0 1

0 1

1

21

21

L L n

Cho hàm f(x) liên tục từng khúc và có chu kỳ 2L xác định với mọi x Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) là chuỗi

L L n

i) Hàm f liên tục trên mỗi khoảng mở xi1,xi

ii) Tại mỗi điểm chia x của khoảng con, tồn tại hữu hạn giới hạn trái và giới hạn iphải của f x  

Hàm f được gọi là liên tục từng khúc nếu nó liên tục từng khúc trên mọi khoảng giới nội Như vậy một hàm liên tục từng khúc là liên tục ngoại trừ tại các điểm cô lập (điểm gián đoạn) Tại các điểm gián đoạn này ta có:

Nói cách khác hàm liên tục từng khúc là hàm có hữu hạn điểm gián đoạn và các điểm gián đoạn này đều là điểm gián đoạn loại I (điểm nhảy hữu hạn)

Một hàm liên tục từng khúc không cần xác định tại các điểm gián đoạn cô lập

Nếu hàm số liên tục từng khúc trên L L, thì giá trị hàm số f tại các điểm gián đoạn không ảnh hưởng tới việc xây dựng chuỗi Fourier của nó Cụ thể là tích phân

 

L

L f x dx



các điểm gián đoạn

Định lý sau đây khẳng định chuỗi Fourier của một hàm trơn từng khúc hội tụ tại mọi điểm

Định lý 2.6 Sự hội tụ của chuỗi Fourier

Giả sử hàm tuần hoàn f trơn từng khúc Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ:

a) Đến giá trị f(x) tại mỗi điểm mà ở đó f(x) liên tục

Từ đó ta có thể phát biểu lại định lý trên như sau:

giá trị của x.”

2.4.1 Hàm số chẵn và hàm số lẻ

 Hàm số f(x) xác định với mọi x gọi là chẵn nếu: f  x f x ,  x

 Hàm số f(x) xác định với mọi x gọi là lẻ nếu: f  x f x ,  x

Tính chất:

- Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục Oy

- Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

- Chuỗi Fourier của các hàm chẵn chỉ gồm các phần tử cosine

- Chuỗi Fourier của các hàm lẻ chỉ gồm các phần tử sine

2.4.2 Mở rộng hàm chẵn và hàm lẻ

Trong các mục trước ta thường xét hàm số tuần hoàn với mọi x, chuỗi hàm Fourier của các hàm số như vậy được xác định bởi một công thức hệ số Fourier duy nhất Tuy nhiên trong các tình huống thực tế, ta thường sử dụng hàm số xác định trong khoảng 0  và ta muốn biểu diễn giá trị trên đoạn này của chúng bởi chuỗi hàm x L

số Fourier với chu kỳ 2L

Bước đầu tiên là ta phải mở rộng giá trị hàm số f đến khoảng    Sau L x 0

đó, ta khai triển hàm f tới toàn các số thực bằng điều kiện tuần hoàn:

   ? Và ta hiểu rằng chuỗi hàm số Fourier biểu diễn hàm f x trong khoảng  

0  mà ta thu được sẽ phụ thuộc vào sự lựa chọn mở rộng này x L

Các lựa chọn khác nhau của phần mở rộng hàm số f x trên khoảng  

   chúng sẽ hội tụ đến các phần mở rộng khác nhau của hàm số f x  

Trên thực tế, với f x xác định trên khoảng 0    ta thường chọn một x Ltrong hai cách mở rộng tự nhiên của f x : mở rộng chẵn và mở rộng lẻ (mở rộng để  

thu được một hàm chẵn hoặc một hàm lẻ)

Mở rộng chẵn chu kỳ 2L của f là một hàm số, ký hiệu f được định nghĩa Enhư sau:

trọng vì chúng không ảnh hưởng tới chuỗi hàm số Fourier của f Chuỗi hàm số EFourier của f sẽ chỉ bao gồm các phần tử cosine và nó được gọi là chuỗi hàm số EFourier cosine của hàm số f ban đầu

Mở rộng lẻ chu kỳ 2L của f là một hàm số, ký hiệu f được định nghĩa như Osau:

là chuỗi hàm số Fourier sine của hàm số f ban đầu

2.4.3 Chuỗi Fourier Cosine và Fourier Sine

Giả sử hàm số f x liên tục từng khúc trong khoảng    0, L Khi đó:

 Chuỗi Fourier cosine của hàm f là chuỗi:

hội tụ 2.6, các chuỗi Fourier Cosine và Fourier Sine của hàm số f hội tụ về f x với  

mọi x 0,L

Ngoài khoảng này, các chuỗi sẽ hội tụ về các mở rộng của hàm f Nhưng nếu chúng ta không cần quan tâm đến các giá trị hàm số f ngoài khoảng  0, L thì ta có thể lựa chọn một trong hai chuỗi trên để biểu diễn giá trị hàm số f trong khoảng

 Khai triển chuỗi Fourier sine:

Đầu tiên ta mở rộng lẻ trên đoạn 1,0, ta có: f   x f x     1 x 0

1 0

1 0

 Chuỗi Fourier cosine:

Đầu tiên ta mở rộng chẵn trên đoạn 1,0, ta có: f   x f x     1 x 0

n xn

2

n n

2.5 Vi phân từng phần của chuỗi Fourier

Định lý 2.7 Giả sử hàm số f là liên tục với mọi x, tuần hoàn với chu kỳ 2L, có đạo hàm là fvà đạo hàm của nó trơn từng khúc với mọi x Khi đó, chuỗi Fourier của f 

i) Nếu f liên tục trên L L, , f  L f L  và f là hàm trơn từng khúc trên

L L,  Khi đó chuỗi Fourier đầy đủ của hàm f có thể lấy đạo hàm theo từng số hạng và chuỗi thu được chính là chuỗi Fourier của f Chuỗi này hội tụ đến f  tại nhưng điểm mà f tồn tại

ii) Nếu f liên tục trên  0, L , f 0  f L  và f  là hàm trơn từng khúc trên 0

 0, L Khi đó chuỗi Fourier sine của hàm f có thể lấy đạo hàm theo từng số hạng và chuỗi thu được chính là chuỗi Fourier cosine của f Chuỗi này hội tụ đến f  tại nhưng điểm mà f tồn tại

iii) Nếu f liên tục trên  0, L và f là hàm trơn từng khúc trên  0, L Khi đó chuỗi Fourier cosine của hàm f có thể lấy đạo hàm theo từng số hạng và chuỗi thu được chính là chuỗi Fourier sine của f Chuỗi này hội tụ đến f  tại nhưng điểm mà

Trong phần tiếp theo, chúng ta thường xuyên phải giải các bài toán giá trị biên dạng:

Trong đó f x là hàm số cho trước Bài toán dạng này có thể giải bằng phương  

pháp chồng chất nghiệm như trong chương 1 Tuy nhiên ta có thể ứng dụng chuỗi Fourier vào giải bài toán này và trong nhiều trường hợp phương pháp này tỏ ra hiệu quả hơn phương pháp trong chương 1

Bước 1 Mở rộng định nghĩa của hàm số f x đến khoảng      theo một cách L x 0thích hợp

Bước 2 Mở rộng tuần hoàn ra toàn bộ trục số

Bước 3 Nếu hàm số mở rộng có chuỗi Fourier:

và giả sử chuỗi này có thể vi phân từng phần hai lần được

Bước 4 Thay các chuỗi vào phương trình vi phân và cân bằng hệ số

Nếu cách làm này có thể tìm được chuỗi thỏa mãn phương trình vi phân và thỏa mãn các điều kiện biên thì ta có chuỗi Fourier nghiệm hình thức của bài toán giá trị biên Do đó, ta cần chú ý đến tính đúng đắn của việc tính vi phân từng số hạng của chuỗi Fourier

Ví dụ 2.6 Hãy tìm nghiệm dạng chuỗi Fourier của bài toán biên sau đây:

Đầu tiên ta chọn một mở rộng tuần hoàn f x sao cho mỗi phần tử trong chuỗi  

Fourier của nó phải thỏa mãn điều kiện biên Do đó, ta chọn mở rộng lẻ, chu kỳ là 2 vì mỗi phần tử của nó có dạng sin n x đều thỏa mãn điều kiện biên Do đó ta có chuỗi Fourier sau đây:

23

1

18

n n



Chú ý rằng bất kỳ chuỗi nào dạng trên đều thỏa mãn các điều kiện biên

Thay vào phương trình ta được:

18

n n

18

sin4

n n

2.6 Tích phân từng phần của chuỗi Fourier

Định lý 2.9 Giả sử hàm số f x là liên tục với mọi x , tuần hoàn với chu kỳ 2L và  

Bài 2 Xây dựng chuỗi Fourier sine và Fourier cosine của các hàm dưới đây Nêu

khoảng hội tụ của chuỗi về hàm số trong khoảng [0,L]

25

CHƯƠNG 3

BÀI TOÁN STURM - LIOUVILLE

Trong phương trình vi phân thường, có một lớp bài toán bậc 2 có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Mục này, ta giới thiệu và xem xét một số kết quả quan trọng liên quan đến các bài toán như vậy Từ đó, cung cấp các kiến thức nền tảng cho phương pháp tách biến và khai triển hàm riêng trong các chương sau

3.1 Bài toán Sturm – Liouville chính quy

Để tránh sự phức tạp hóa trong ký hiệu, trong phần tiếp theo ta ký hiệu một khoảng nói chung là I, cho dù khoảng này đóng, mở, nửa mở, hữu hạn hay vô hạn Nếu một khoảng đặc biệt thì sẽ được ký hiệu riêng thông qua các đầu mút hoặc bất đẳng thức Các hàm xác định trên các khoảng được giả sử là khả tích trên khoảng đó Định nghĩa 3.1 Cho  là một không gian hàm xác định trên khoảng I Một toán tử vi phân tuyến tính L trên  gọi là đối xứng trên X nếu:

Ví dụ 3.1 Xét  là không gian các hàm khả vi cấp 2 trên đoạn [0,1] và triệt tiêu tại 0,

1 Gọi L là toán tử đạo hàm cấp 2 trên  Như vậy với mọi f f1, 2  ta có:

Vậy L là toán tử đối xứng

Chú ý Một toán tử có thể đối xứng trên không gian hàm này nhưng lại không đối xứng với không gian hàm khác Nếu trong ví dụ trên hàm số không có điều kiện triệt tiêu tại 0 và 1 thì toán tử L không đối xứng

Định nghĩa 3.2 Cho 𝜎 là hàm xác định trên I thỏa mãn 𝜎(𝑥)>0, với mọi 𝑥∈𝐼 Hai hàm f f1, 2 xác định trên khoảng I và được gọi là trực giao với hàm trọng số 𝜎(𝑥) nếu:

Ta cũng có thể nói rằng hai hàm f x 1   x  1 và f x 2  9 x  5 trực giao trên [0,1]

Ví dụ 3.3 Hàm sin 3x  và cos 2x  là hai hàm trực giao trên khoảng  ,  vì:

i) Tất cả các giá trị riêng đều là số thực

ii) Các giá trị riêng tạp thành một dãy vô hạn  1 2  n thỏa mãn lim

n  

iii) Các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là các hàm trực giao

với hàm trọng số  trên (a,b)

Định nghĩa 3.5 Cho [a,b] là một khoảng hữu hạn, và cho p q , , là các hàm số thực,

1 , , , 2 3 4

k k k k là các số thực sao cho:

i) p x  là hàm khả vi liên tục trên [a,b] và p x  0,   x  a b ,

ii) q x   , x là các hàm liên tục trên [a,b] và  x  0,   x  a b ,

iii) k k1, 2 không đồng thời bằng 0 và k k3, 4 không đồng thời bằng 0

Xét bài toán giá trị riêng dạng:

   

p x f x   q x f x      x f x  0, a x b   (2) Thỏa mãn các điều kiện biên:

Bài toán dạng này khá quen thuộc!!!

Ví dụ 3.5 Nếu chọn p q , , , , a b như trong ví dụ 4 nhưng k1 0, k2  1, k3 0, k4 1 thì

ta có bài toán S-L dạng chính quy sau:

28

Trong đó p q , là các hàm thỏa mãn các điều kiện của phương trình (2) trong Định nghĩa 3.5

Khi đó L là một toán tử đối xứng trên không gian hàm 

Chứng minh Xem như bài tập

Bổ đề 3.7 Các giá trị riêng và hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville dạng chính quy có đầy đủ các tính chất nêu trong Định lý 3.4

Trước khi tính toán các giá trị riêng và hàm riêng cho các bài toán S-L cụ thể, ta đưa ra một công thức liên quan đến các đại lượng này Bằng cách nhân phương trình (2) với f (x) ta được:

b a

b a

Điều này mâu thuẫn với giả thiết hàm riêng là nghiệm khác không

Do vậy  0 và nghiệm tổng quát của phương trình trong ví dụ 3.4 là:

  1 cos  1 sin , 1 , 2

f x  C x  C x C C  const

29

Thay vào điều kiện biên f 0  0 ta được: C1 0

Dùng điều kiện biên thứ 2 f L  0 ta có:

0

0 , 1

sin sin cos cos

b a

Từ điều kiện biên: f  0   0 C 2  0

Từ điều kiện f L    0 C 1 sin L  0

Dễ thấy ta loại trường hợp  0

Từ công thức nghiệm tổng quát và điều kiện biên tại 0 ta được: C1 0

Sử dụng điều kiện biên f L   hf L  0 ta có:

 Bài toán không có giá trị riêng  1

 Nếu   1 thì nghiệm tổng quát dạng:

i) Với mỗi giá trị riêng n chỉ tồn tại duy nhất một hàm riêng độc lập tuyến tính fn

ii) Tập hợp  fn n1 các hàm riêng là tập đầy đủ, có nghĩa là, mọi hàm u trơn từng khúc trên [a,b] đều có duy nhất chuỗi Fourier (hay chuỗi hàm riêng) dưới dạng:

1

,

n n n

n b

n a

32

ii) Bài toán S-L trong ví dụ 3.4 và ví dụ 3.8 thì từ công thức khai triển (7) cho ta chuỗi Fourier sine của hàm u Còn bài toán S-L trong ví dụ 3.5 và ví dụ 3.9 thì từ công thức khai triển (7) cho ta chuỗi Fourier cosine của hàm u

iii) Tương tự như ví dụ 3.11 ta có thể tính toán được giá trị riêng và hàm riêng của bài toán S-L tổng quát hơn sau đây

Vậy chuỗi khai triển có dạng:

Các giá trị riêng (theo ví dụ 3.11): n n 22  1, n  1, 2,3,

Các hàm riêng (theo ví dụ 3.11):   x sin , 1, 2,3,

n

f x  e  n x n 

36

CHƯƠNG 4

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG & MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ CƠ BẢN

4.1 Phương trình đạo hàm riêng và phân loại

Định nghĩa 4.1 Một phương trình đạo hàm riêng là phương trình có chứa một hàm nhiều biến chưa biết và một trong các đạo hàm riêng của nó

Để thống nhất ký hiệu, ta ký hiệu các đạo hàm riêng của hàm số bằng các chỉ số dưới, Chẳng hạn với hàm uu x t , ta ký hiệu:

trong đó xx x1, , ,2 xnlà các biến độc lập, u là hàm của các biến đó

Một nghiệm của (4.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Ω Nói chung một PTĐHR thường có vô hạn nghiệm

Ví dụ 4.2 Các hàm ( , ) u x t  ex ct và ( , ) u x t  cos( - )x ct là các nghiệm của a) trong Ví dụ 4.1 Hơn nữa, mọi hàm khả vi của x ct đều là nghiệm của phương trình 

đó

Phân loại Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu chí sau:

1 Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng cao càng phức tạp)

37

2 Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao thì càng phức tạp)

3 Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian thì được gọi

là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trình dừng) Trong tình huống này người ta thường kí hiệu biến thời gian là t, các biến còn lại là biến không gian

Cụ thể hơn ta có các khái niệm sau đây:

Định nghĩa 4.2 Cấp của một PTĐHR là cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình

Định nghĩa 4.3 Một PTĐHR là tuyến tính nếu nó có dạng toán tử:

   

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các hệ số

là các hàm của biến độc lập x Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (4.2) là thuần nhất, trái lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất

Định nghĩa 4.4 Một PTĐHR không tuyến tính thì được gọi là phi tuyến

Nhận xét Nói chung các PTĐHR phức tạp hơn các phương trình vi phân thường

vì với phương trình vi phân thường, để tìm một nghiệm riêng từ nghiệm tổng quát ta chỉ phải tìm các giá trị của các hằng số tùy ý, trong khi đó với PTĐHR, việc chọn nghiệm riêng thỏa mãn các điều kiện bổ sung có khi còn khó hơn cả việc tìm nghiệm tổng quát Đó là vì, nghiệm tổng quát của các PTĐHR phụ thuộc vào các hàm tùy ý (xem ví dụ 4.4 sau đây) và nó có thể có vô hạn các nghiệm độc lập tuyến tính

Ví dụ 4.4 Giải PTĐHR tuyến tính cấp hai: uxy x y,  0

Lấy tích phân phương trình này theo x (giữ y cố định) ta có: u x yy ,  f y 

(do y cố định nên hằng số tích phân có thể phụ thuộc y)

Lấy tích phân theo y (giữ x cố định) ta nhận được: u x y ,  f y dy G x    

Do tích phân ở trên là một hàm của y nên nghiệm của phương trình trên là:

4.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Trong học phần này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Loại phương trình này xuất hiện trong nhiều mô hình thực tế Chúng ta sẽ nghiên cứu ba lớp đặc biệt của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic thông qua các đại diện của chúng

là phương trình Laplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt

Xét PTĐHR tuyến tính cấp hai tổng quát đối với hàm u x u x x 1, ,··· ,2 xn:

đã cho trên Ω, aij ajivà các aij không đồng thời bằng không

Việc phân loại phương trình (4.3) chỉ phụ thuộc vào các hệ số a của các đạo hàm ijriêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như sau

Gọi A x  a xij  là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai

Tại mỗi x cố định, A x là một ma trận thực, đối xứng nên   A x có đúng n giá trị  

riêng thực Ta nói:

 Phương trình (4.3) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giá trị riêng cùng dấu;

 Phương trình (4.3) thuộc loại hyperbolic tại x nếu A(x) có 1 giá trị riêng trái dấu với n−1 giá trị riêng còn lại;

 Phương trình (4.3) thuộc loại parabolic tại x nếu A(x) có 1 giá trị riêng bằng 0 còn n−1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;

 Phương trình (4.3) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) trên miền Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm x ∈ Ω



miềnx1 , thuộc loại hyperbolic trên miền 0 x1 và thuộc loại parabolic trên đường 0thẳng x1 0

Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (4.3) có dạng:

+ Nếu ∆ > 0 thì (4.5) có hai nghiệm trái dấu nên (4.4) thuộc loại hyperbolic;

+ Nếu ∆ = 0 thì (4.5) có một nghiệm bằng không và một nghiệm khác không nên (4.4) thuộc loại parabolic

4.3 Phương trình truyền nhiệt

Sự truyền nhiệt trong thanh một chiều

Trong mục này, năng lượng nhiệt (the heat energy or the thermal energy) sẽ được gọi tắt là nhiệt năng

Ta xét thanh nhiệt một chiều, có tiết diện ngang không đổi A và có chiều dài L (xem hình dưới đây) được định hướng theo trục x