tai lieu hay day moi nguoi
Trang 1ht tp
.m
vn
DIỄN ĐÀN MATH.VN
http://www.math.vn
LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011
Môn thi : Toán Đề số: 07 Câu I 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho hàm số y = x3− 3x2+ (m − 6)x + m − 2 (m là tham số) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 9
Lời giải:
Hàm số y = x3− 3x2+ 3x + 7 = (x − 1)3+ 8
Bảng biến thiên
Đồ thị
2 4 6 8 10
2
−2
Câu I 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A
3
2;
11 4
đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị lớn nhất
Lời giải:
Hàm số có đạo hàm: y0= 3x2− 6x + m − 6
Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 có 2 cực trị khi: y0= 0 phải có 2 nghiệm phân biệt:
⇔∆0= 32− 3(m − 6) > 0 ⇔ m < 9
Ta có : y = y0
1
3x−13
+
2
3m− 6
x+4m
3 − 4
vì điểm cực trị có hoàng độ là nghiệm của y0= 0 nên đường thẳng (d) qua 2 cực trị có pt là:
y=
2
3m− 6
x+4m
3 − 4 ⇔ (2m − 18)x − 3y + 4m − 12 = 0 ⇔ 2kx − 3y + 4k + 24 = 0 với k = m − 9 < 0 Khoảng cách từ A đến d là : l =
2k
3
2− 311
4 + 4k + 24
√
4k2+ 9 =
7 4
|4k + 9|
√
4k2+ 9 >0nên 4k + 9 6= 0 Xét f (k) = (4k + 9)2
4k2+ 9 ⇒ f0(k) = 72(4k + 9)(k − 4)
4k2+ 9
Suy ra không tồn tại k để f (k) đạt giá trị lớn nhất.
Do đó không tồn tại m để khoảng cách từ A đến d lớn nhất.
Câu II 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải phương trình 4 sin2x + tan x +√
2(1 + tan x) sin 3x = 1
Lời giải:
PT ⇔ 4sin2x − 2 + 1 + tanx +√2 sin 3x (1 + tan x) = 0
⇔ 2sin2x− 2cos2x + (1 + tan x)(1 +√
2 sin 3x) = 0
⇔ −2(cos2x− sin2x ) + (1 + tan x)(1 +√
2 sin 3x) = 0
⇔ −2(cosx − sinx)(cosx + sinx) + (cosx + sinx)1+
√
2 sin 3x cos x = 0
⇔ (cosx + sinx) −2cosx + 2sinx +1+
√
2 sin 3x cos x
!
= 0
TH 1 cosx + sinx = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ
Trang 2ht tp
.m
vn
TH 2 −2cosx + 2sinx +1+
√
2 sin 3x cos x = 0 ⇔ −2cos2x + sin 2x + 1 +√
2 sin 3x= 0
⇔ cos2x − sin2x =√2 sin 3x⇔ sin(π4− 2x) = sin3x ⇔ x =20π +k25π hay x =3 π
Câu II 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải hệ phương trình
(
2p
x + y2+ y + 3 − 3√y =√
x+ 2
y3+ y2− 3y − 5 = 3x − 3√3
x+ 2
Lời giải:
Ta có: 2p
x + y2+ y + 3 ≥p(1 + 3)(x + 2 + 3y) ≥√x + 2 + 3√y Đẳng thức xảy ra khi x = −1;y = 1 Thay vào phương trình dưới, thấy thỏa mãn.
Câu III (1 điểm) ————————————————————————————————
Tính tích phân I=
Z 3
1
ln(3 + x2) p
x (4 − x) − 2 dx
Lời giải:
Câu IV (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, d ASB= dASC= dBSC=α nội tiếp trong mặt cầu bán kính bằng R, biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 8
√ 3
27 R
3.Tínhα
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của SA; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Đặt x = SA, a = AB, r = OA Ta có tam giác ABC đều.
a = 2x sinα
2, r =2
3·
√ 3
2 a=2
√ 3
3 x sin
α
2, S ABC=
√ 3
4 a
2=√
3x2sin2α
2, SI · SO = SM · SA = 1
2x
2,
⇒ SO = x
2
2R , SO2= SA2− OA2, ⇒ x2= 4R2
1−4
3sin
2α
2
;
V SABC=1
3SO · S ABC= 8
√ 3
3 R
3
1−43sin2α
2
2
sin2α
2
Vậy V SABC=8
√ 3
27 R
3⇔
1−43sin2α
2
2
sin2α
2 =1
9 ⇔
1−43sin2α
2
· sinα
2 =1 3
⇔ sin3α
2 = 1 ⇔α = π
3+ k4π
3 Vậyα = π
Câu V (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho các số thức a,b,c thỏa mãn 0 < a ≤ b ≤ c và a2a− 1+b
2
− 1
b +c
2
− 1
c = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b2011+ c2012
Lời giải:
Từ giả thiết ta có a ≤1 và c ≥ 1
khi đó b2− 1
b +c
2
− 1
c = −a
2
− 1
a ≥ 0 ⇔ (b + c)(1 − bc1 ) ≥ 0 ⇒ bc ≥ 1 (1)
Lại có c2− 1
c = −
a2− 1
a +b
2− 1
b
= 1
a+1
b − (a + b)= (a + b)
1
ab− 1
≥ 2√ab( 1
ab− 1) =
= 2
1
√
ab−√ab
≥ √1
ab−√ab⇒
c−√1
ab
1+
√
ab c
!
≥ 0 ⇒ c ≥√1
ab ⇒ abc2≥ 1 (2)
Kết hợp (1),(2) và Theo BĐT AM-GM ta có P ≥ 3√3
ab2011c2010= 3p3
abc2(bc)2010≥ 3
Câu VIa 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x−1)2
+ (y −2)2= 4 và hai đường thẳng d1: mx + y −m−1 = 0,
d2: x − my + m − 1 = 0 Tìm m để mỗi đường thẳng d1,d2cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho bốn giao
điểm đó tạo thành một tứ giác có diện tích lớn nhất
Lời giải:
Trang 3ht tp
.m
vn
Cách 1:
Đường tròn (C) có tâm I(1;2) và có bán kính R = 2 Gọi A, B là giao điểm của d1 với (C); C, D là giao điểm của d2với (C)(A, B, C, D theo thứ tự trên đường tròn); h1, h2lần lượt là khoảng các từ I đến d1, d2
Ta có h1=√ 1
m2+ 1 <R , h2= |m|
√
m2+ 1 <R nên d1,d2luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Ta có AB = 2qR2− h2
1, CD = 2qR2− h2
2 Rõ ràng d1⊥ d2nên AB ⊥ CD Nên S ABCD= 1
2AB ·CD = 2qR2− h2
1·qR2− h2
2= 2
p
(4m2+ 3)(3m2+ 4)
m2+ 1 ≤(4m
2+ 3) + (3m2+ 4)
m2+ 1 = 7
Cách 2:
Rõ ràng d1và d2đi qua P(1;1) nằm trong đường tròn với mọi m
nên mỗi đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
Vectơ pháp tuyến của d1và d2lần lượt là −→n1= (m; 1) và −→n2= (1; −m) ⇒ −→n1−→n2 = 0 ⇒ d1⊥ d2.
Gọi A,C và B,D lần lượt là các giao điểm của d1,d2với đường tròn (C),
H, K lần lượt là hình chiếu của tâm I(1;2) trên d1và d2thì
S ABCD= 1
2AC.BD= 1
2
√
AC2.BD2= 2p
(R2− IH2)(R2− IK2) = 2√
R4− R2.IP2+ IH2.IK2≤
≤ 2
s
R4− R2.IP2+
IH2+ IK2
2
2
=
q
(2R2− IP2)2= 2R2− IP2= 7 (Do IH2+ IK2= IP2)
Đẳng thức xảy ra khi IH = IK ⇒ IHPK là hình vuông ⇔ IP = IH√2⇔
√ 2
√
m2+ 1 = 1 ⇔ m = ±1
Câu VIa 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2+ (y − 1)2+ (z + 1)2 = 16
9 và điểm
A
0; 0;1
3
Viết phương trình đường thẳng∆đi qua A vuông góc với đường thẳng chứa trục Oz và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Lời giải:
Câu VIIa (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho số phức z thỏa mãn |z|2
− 2(z + z) − 2(z − z)i − 9 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|
Lời giải:
Đặt: z = a + bi
|z|2− 2(z + z) − 2(z − z)i − 9 = 0 ⇔ a2+ b2− 4a + 4b = 9 ⇔ a2+ b2− 4(a − b) = 9
theo BĐT: a − b ≤p2(a2+ b2) ⇒ 9 = a2+ b2− 4(a − b) ≥ a2+ b2− 4p2(a2+ b2)
⇔ a2+ b2− 4p2(a2+ b2) − 9 ≤ 0 ⇔ 2√2+√
17≥√a2+ b2≥ 2√2−√17
⇔ 2√2+√
17≥ |z| ≥ 2√2−√17
Vậy max|z| = 2√2+√
Câu VIb 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) : x2+ y2− 2x − 4y + 3 = 0, (C2) : x2+ y2− 6x − 8y + 20 = 0
và A(2;2) Viết phương trình đường thẳng∆ đi qua A và cắt mỗi đường tròn (C1), (C2) tại hai điểm phân biệt vàq2− d2
1+
q
5− d2
2=√
13 (d1,d2là khoảng cách từ tâm của các đường tròn (C1), (C2)đến∆)
Lời giải:
Câu VIb 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x −1)2+ (y − 1)2+ z2= 1 Gọi A là một điểm tùy
ý trên đường thẳng∆:x− 1
1 =y− 1
−2 =
z− 1
1 Từ A vẽ các tiếp tuyến AT1,AT2,AT3đến mặt cầu (S) Tìm tọa
độ điểm A biết mp(T1T2T3) tạo với∆một góc 30o
Lời giải:
Trang 4
ht tp
.m
vn
Câu VIIb (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho số phức z 6= 0 thỏaz
z
3
+
z z
3
+ |z|3+ 1
|z|3
!2
= 6
Lời giải:
z = r(cosθ+ i sinθ) đẳng thức trở thành
r
2 cos 6θ+ r6+ 1
r6 = 2 =
z3+
1
z3
=
z +
1
z
z+1
z
2
− 3
≥ P
3− 3P
...Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2011< /small>+ c2012
Lời giải:
Từ giả thi? ??t ta có a ≤1 c ≥ 1
khi b2−...
17? ??√a2+ b2≥ 2√2−√ 17
⇔ 2√2+√
17< i>≥ |z| ≥ 2√2−√ 17
Vậy... ————————————————————————————————
Giải phương trình sin2x + tan x +√
2(1 + tan x) sin 3x = 1
Lời giải:
PT ⇔ 4sin2x
